《云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型② 图形面积存在性问题探究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型② 图形面积存在性问题探究（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页类型图形面积存在性问题探究,备考攻略)1三角形面积的最大值(1)“抛物线上的顶点，使之和一条定线段构成的三角形面积 ”的问题(2)“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大 ”的问题(3)“三边均动的动三角形面积最大”的问题2四边形面积的最大值(1)“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大 ”的问题(2)“定四边形面积的求解”问题3图形运动过程中出现重叠部分的图形面积1动点坐标与动线段，长度的转化不能较好理解2列出面积的表达式后，化简能力缺乏3对图形运动过程缺乏分析，遗漏答案1过动点向 y 轴作平行线，找到与定线段(或所在直线) 的交点 ，从
2、而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标设好，转化为长度代入，利用二次函数最值进一步可得到题目要求出的最大值2先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在 x 轴或 y 轴上的三角形，或者有一边平行于 x 轴或 y 轴的三角形，称为基本模型的三角形)面积之差，设出动点在 x 轴或 y 轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形) 利用相似三角形的性质(对应边 的比等于对应高的比 )可表示出分割后的一个三角形的高从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了3
3、经过三角形的 3 个顶点构造矩形，利用矩形面积减去 3 个三角形面积4一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题，由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连接两个定点，即可得到一个定三角形) 的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大5 “定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案(一) ：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；方案(二) ：过不在 x 轴或 y 轴上的四边形的一个顶点，向 x 轴(或 y 轴)作垂线，或者把该点与原点连接起来，分割成一个梯形(常为直角梯形) 和一些三角形的面积之和 (
4、或差)，或几个基本模型的三角形面积的和(差) ，转化为一个开口向下的二次函数问题1三角形面积(1)已知抛物线三定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再与抛物线上的顶点形成三角形，并求出这个三角形面第 2 页积(2)已知抛物线上一动点与两定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再在抛物线上求一动点与它们形成三角形，并求出这个三角形面积的最大值(3)三边都在变化的三角形的面积：两个动点沿两条直线运动与一个定点形成的三角形的面积最大值2四边形面积的最大值(1)抛物线上的顶点，使之和另外三个定点构成的
5、四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与顶点形成的四边形的面积(2)一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与另一动点形成的四边形的最大值3重叠部分的面积几何图形由于折叠、平移与一基本图形出现重叠部分，求重叠部分的图形面积,典题精讲)三角形面积【例 1】如图，一小球从斜坡 O 点抛出，球的抛出路线可以用二次函数 yx 24x刻画，斜坡可以用一次函数 y x 刻画12(1)请用配方法求二次函数图象最高点 P 的坐标；(2)小球的落点是 A，求点 A 的坐标；(3)连接抛物线的最高点 P 与点 O，A 得POA，求POA 的面积；(4)在 OA 上方的
6、抛物线上存在一点 M(点 M 与点 P 不重合)，MOA 的面积等于POA 的面积 ， 请写出点 M 的坐标【解析】(1)配方法即可求得 P 点坐标；(2) 联立方程组可求点 A 的坐标；(3) 过点 P 作PBx 轴 交 OA 于点 B，可得点 B 的坐标，表示出 PB 的长，以 PB 为公共边求出两个三角形的面积之和即可；(4)利用三角形同底等高的知识，过点 P 作 PMOA 交抛物线于点 M，保证两个三角形的高相等，从而面积相等【答案】解：(1)yx 24x(x 24x)(x 24x4)4(x2) 24，最高点 P 的坐标为(2，4)；(2)点 A 的坐标满足方程组 y x2 4x，y
7、12x， )解得 或x 0，y 0， ) x 72，y 74， )第 3 页点 A 的坐标为 ；(72， 74)(3)如图，过点 P 作 PBx 轴交 OA 于点 B，则点 B 的坐标为(2，1)，PB3.S POA S OPB S APB 32 3 ；12 12 32 214(4)过点 P 作 PMOA 交抛物线于点 M，连接 OM，AM，则MOA 的面积等于POA 的面积 ，设直线 PM 的解析式为 y xb，代入 P(2，4) ，得 2b4，解得 b3，12 12直线 PM 的解析式为 y x3，12根据题意可列方程组 y x2 4x，y 12x 3， )解得 或x 2，y 4， ) x
8、 32，y 154， )点 M 的坐标为 .(32， 154)【例 2】(2014 昆明中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bx3(a0)与x 轴交于点 A( 2，0) ，B(4， 0)两点，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个也停止运动，当PBQ 存在时，求运动多少秒使PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 M
9、，使 SCBM S PBQ 52，求 M 点坐标【解析】(1)待定系数法求出二次函数解析式；(2)设经过 t s 时，可知PB6 3t，BQt，B(4，0) ，C(0，3) ，则 BC5，过 Q 点作 QKx 轴于 K 点，利用三角形相似表示 KQ 的长度，从而表示出PBQ 的面积为 二次函数，利用二次函数的最值即可求出面积最大值；(3)根据(2)的结果求出CBM 的面 积，依据函数解析式表示出动点 M 的坐 标，过 M 点作 y 轴的平行线交 BC 于 N 点，交 x 轴于 R 点，表示 N 的坐标，分第 4 页割CBM 为两个三角形，列出方程即可求出答案【答案】解：(1)yax 2bx3
10、经过 A(2，0) ，B(4，0)， 解得：4a 2b 3 0，16a 4b 3 0， ) a 38，b 34， )y x2 x3；38 34(2)设经过 t s 时，PBQ 面积最大PB 63t， BQt，B(4，0)，C(0，3) ，BC5.过 Q 点作 QKx 轴于 K 点OCx 轴，QKx 轴，OCQK， ，即 ，BKBO BQBC KQOC t5 KQ3KQ t，35S BPQ BPKQ t(63t)12 12 35 (t1) 2 ，910 910当 t1 时，S BPQ 取最大值为 ；910(3)当 SBPQ 取最大值 时，S CBM S PBQ 52，即 SCBM ，910 94
11、M 在抛物线上，且在 BC 下方，设 M ，(t， 38t2 34t 3)过 M 点作 y 轴的平行线交 BC 于 N 点，交 x 轴于 R 点， 设直线 BC 的解析式为ykxb，代入 B(4，0)，C(0 ，3) ，得 解得4k b 0，b 3， ) k 34，b 3， )直线 BC 解析式为 y x3，34N 点坐标为 ，(t， 34t 3)第 5 页S CMB S CMN S NMB MNOR MNBR MN(ORBR) MNOB，12 12 12 12 4 ，94 12 34t 3 (38t2 34t 3)解得 t11，t 23，M 1 ，M 2 .(1， 278) (3， 158)
12、四边形面积【例 3】如图，抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A，B 两点，B 点坐标为(3，0)，与 y轴交于点 C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 在抛物线位于第四象限的部分上运动 ，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P的坐标和四边形 ABPC 的最大面积【解析】(1)由 B，C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)连接BC，则ABC 的面积是不变的，过 P 作 PMy 轴，交 BC 于点 M，设出 P 点坐标，可表示出 PM 的长， 可知当 PM 取最大 值时PBC 的面积最大，利用二次函数的性质可求得 P点的坐标及四边形 ABPC 的最大面积【
13、答案】解：(1)把 B，C 两点坐标代入抛物线解析式，得 解得9 3b c 0，c 3， )b 2，c 3， )抛物线解析式为 yx 22x3；(2)连接 BC，过 P 作 y 轴的平行线，交 BC 于点 M，交 x 轴于点 H.在 yx 22x3 中，令 y0，得 0x 22x3，解得 x1 或 x3，A 点坐标为(1，0)，AB3(1)4，且 OC3，S ABC ABOC 436，12 12B(3，0)，C(0，3)，直线 BC 解析式为 yx3，设 P 点坐标为(x，x 22x3)，则 M 点坐标为(x ，x3)，P 点在第四限，PM x3 (x22x3)x 23x，S PBC PMOH
14、 PMHB PM(OHHB) PMOB PM，12 12 12 12 32第 6 页当 PM 有最大值时 ，PBC 的面积最大，则四边形 ABPC 的面积最大，PM x2 3x ，(x 32)2 94当 x 时，PM max ，则 SPBC ，32 94 32 94 278此时 P 点坐标为 ，S 四边形 ABPCS ABC S PBC 6 ，(32， 154) 278 758即当 P 点坐标为 时，四边形 ABPC 的面积最大， 最大面积为 .(32， 154) 758【例 4】如图所示，已知抛物线 yx 2bxc 过点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于点 D.(1)求抛物线的
15、解析式；(2)设抛物线的顶点为 M，求四边形 ABMD 的面积；(3)在 y 轴上找一点 E，使 S ABES 四边形 ABMD，求出点 E 的坐标【解析】(1)由 C，D 两点的坐 标，利用待定系数法可求得抛物 线的解析式；(2) 求出顶点 M 的坐 标，过点 M 作 MNx 轴于点 N，得出点 N 的坐 标，把四边形 ABMD 分割成两个直角三角形，一个梯形，求出面积之和；(3)设出点 E 的坐 标，直接列方程求解【答案】解：(1)抛物线 yx 2bxc 过点 D(0，5) ，C(3，8)， 解得c 5， 9 3b c 8， ) b 4，c 5， )抛物线的解析式为 yx 24x5；(2)抛物线 yx 24x5 与 x 轴交于点 A(1，0)，B(5，0)，顶点为 M(
