《2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、16.2垂直关系的性质1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)基础初探教材整理 1直线与平面垂直的性质定理阅读教材 P39“练习 2”以下至 P40“例 3”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.2.符号语言： l ， m l m.3.图形语言：如图 1618 所示.图 16184.作用：证明两直线平行.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所
2、在直线的位置关系是()A.相交 B.平行C.异面 D.相交或平行【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知 B 正确.【答案】B教材整理 2平面与平面垂直的性质定理阅读教材 P40“例 3”以下至 P41“例 4”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.2.符号语言： ， m， l ， l ml .23.图形语言：如图 1619 所示.图 16194.作用：证明直线与平面垂直.若平面 平面 ，且平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的一条直线 b，则()A.直线 a 必垂直于平面 B.直线 b 必垂直于平面 C.直线 a 不
3、一定垂直于平面 D.过 a 的平面与过 b 的平面垂直【解析】 ， a ， b ， a b，当 a 时， b ；当 b时， a ，其他情形则未必有 b 或 a ，所以选项 A，B，D 都错误，故选 C.【答案】C小组合作型线面垂直的性质如图 1620，正方体 ABCDA1B1C1D1中， EF 与异面直线 AC， A1D 都垂直相交.求证： EF BD1.图 1620【精彩点拨】连接 AB1与 CB1，证明 EF， BD1都与平面 AB1C 垂直.【自主解答】连接 AB1， B1C， BD， B1D1，如图所示. DD1平面 ABCD， AC 平面 ABCD， DD1 AC.又 AC BD，
4、BD DD1 D， AC平面 BDD1B1， AC BD1.3同理 BD1 B1C，又 AC B1C C， BD1平面 AB1C. EF A1D，且 A1D B1C， EF B1C.又 EF AC， AC B1C C， EF平面 AB1C， EF BD1.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.再练一题1.如图 1621，已知平面 平面 l
5、， EA ，垂足为 A， EB ，垂足为 B，直线 a ， a AB.求证： a l.图 1621【证明】因为 EA ， l，即 l ，所以 l EA.同理 l EB.又 EA EB E，所以 l平面 EAB.因为 EB ， a ，所以 EB a，又 a AB， EB AB B，所以 a平面 EAB，因此， a l.面面垂直性质的应用如图 1622， A， B， C， D 为空间四点，在 ABC 中， AB2， AC BC .等2边三角形 ADB 以 AB 为轴转动.4图 1622(1)当平面 ADB平面 ABC 时，求 CD；(2)当 ADB 转动时，是否总有 AB CD？证明你的结论. 【
6、导学号：39292040】【精彩点拨】(1)利用面面垂直构造直角三角形，使所求线段为其一边，通过解三角形求解.(2)分 D 是否在平面 ABC 内进行讨论.【自主解答】(1)如图，取 AB 的中点 E，连接 DE， CE.因为 ADB 是等边三角形，所以 DE AB.当平面 ADB平面 ABC 时，因为平面 ADB平面 ABC AB，所以DE平面 ABC，可知 DE CE.由已知可得 DE ， EC1.3在 Rt DEC 中， CD 2.DE2 EC2(2)当 ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB CD.证明：当 D 在平面 ABC 内时，因为 AC BC， AD BD，所以 C， D 都
7、在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB CD.当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 AB DE.又 AC BC，所以 AB CE.又 DE CE E，所以 AB平面 CDE.又 CD 平面 CDE，所以 AB CD.综上所述，总有 AB CD.1.面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2.证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线.以上三点缺一不可.再练一题52.
8、如图 1623，四棱锥 VABCD 的底面是矩形，侧面 VAB底面 ABCD，又 VB平面VAD.图 1623求证：平面 VBC平面 VAC.【证明】平面 VAB平面 ABCD，且 BC AB，平面 VAB平面 ABCD AB， BC 平面ABCD， BC平面 VAB， VA 平面 VAB， BC VA，又 VB平面 VAD， VB VA，又 VB BC B， VA平面 VBC， VA 平面 VAC，平面 VBC平面 VAC.探究共研型垂直关系的综合应用探究 1如图 1624，四边形 ABCD 是正方形， SA平面 ABCD， BK SC 于点 K，连接DK.判断平面 SBC 与平面 KBD
9、是否垂直，并说明理由.图 1624【提示】垂直.连接 AC.四边形 ABCD 是正方形， AC BD.又 SA平面 ABCD， SA BD， BD平面 SAC， SC BD.又 SC BK， BK BD B， SC平面 KBD.又 SC 平面 SBC，平面 SBC平面 KBD.探究 2在上述问题中，判断平面 SBC 与平面 SDC 是否垂直，并说明理由.【提示】不垂直.假设平面 SBC平面 SDC. BK SC， BK平面 SDC. DC 平面 SDC， BK DC，6又 AB CD， BK AB. ABCD 是正方形， AB BC， AB平面 SBC，又 SB 平面 SBC， AB SB，这
10、与 SBA 是 Rt SAB 的一个锐角矛盾，故假设不成立.原结论成立，即平面 SBC 不垂直于平面 SDC. 如图 1625 所示 ，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是 DAB60且边长为a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.图 1625(1)求证： AD PB；(2)若 E 为 BC 边的中点，能否在 PC 棱上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD，并证明你的结论.【精彩点拨】解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论.【自主解答】(1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG， BG，
11、 PAD 为正三角形， PG AD.在菱形 ABCD 中， DAB60，G 为 AD 的中点， BG AD.又 BG PG G， AD平面 PGB. PB 平面 PGB， AD PB.(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD.证明：取 PC 的中点 F，连接 DE， EF， DF，在 PBC 中， FE PB.在菱形 ABCD 中， GB DE，而 FE 平面 DEF， DE 平面 DEF， EF DE E，平面 DEF平面 PGB.由(1)得 PG平面 ABCD，而 PG 平面 PGB，平面 PGB平面 ABCD，平面 DEF平面 ABCD.立体几何中的垂直关系有三类
12、：线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时，要7注意三者之间的内在联系.转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下：再练一题3.如图 1626，在三棱锥 PABC 中， E， F 分别为 AC， BC 的中点.图 1626(1)求证： EF平面 PAB；(2)若平面 PAC平面 ABC，且 PA PC， ABC90，求证：平面 PEF平面 PBC.【证明】(1) E， F 分别为 AC， BC 的中点， EF AB.又 EF 平面 PAB， AB 平面 PAB，/ EF平面 PAB.(2) PA PC， E 为 AC 的中点， PE AC.又平面 PAC平面 ABC，
13、PE平面 ABC， PE BC.又 F 为 BC 的中点， EF AB. ABC90， BC EF. EF PE E， BC平面 PEF.又 BC 平面 PBC，平面 PBC平面 PEF.1.已知 l， m， n 为两两垂直的三条异面直线，过 l 作平面 与直线 m 垂直，则直线 n与平面 的关系是()A.n B.n 或 n C.n 或 n 与 不平行 D.n 8【解析】 l ，且 l 与 n 异面， n ./ 又 m ， n m， n .【答案】A2.已知平面 平面 ， l，点 P l，给出下面四个结论：过 P 与 l 垂直的直线在 内；过 P 与 垂直的直线在 内；过 P 与 l 垂直的直
14、线必与 垂直；过 P 与 垂直的平面必与 l 垂直.其中正确的命题是()A. B. C. D.【解析】因为 ， l， P l，所以过点 P 作 的垂直直线必在平面 内且和 l 垂直，的情况则可能成立，也可能不成立.【答案】A3.已知 a， b 为直线， ， 为平面.在下列四个结论中，正确的是_.若 a ， b ，则 a b；若 a ， b ，则 a b；若 a ， a ，则 ；若 b， b，则 .【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知正确；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知错；由“垂直于同一直线的两平面平行”知正确；错.【答案】4.如图 1627，在三棱锥 PABC 内，侧面 PAC底面 ABC，且 PAC90，PA1， AB2，则 PB_.图 1627【解析】侧面 PAC底面 ABC，交线为 AC， PAC90(即 PA AC)， PA平面ABC， PA AB， PB .PA2 AB2 1 4 5【答案】 55.如图 1628， ABC 为正三角形， EC平面
