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1、高二数学必修 2 二面角专项训练班级_姓名_一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.例 1 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a ，求二面角 B-PC-D 的大小。二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形， PA平面 ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角 P-BC-A 的正切。三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角例 3 在四棱锥 P-ABCD
2、 中，ABCD 是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a ，求 B-PC-D 的大小。四、投影面积法:一个平面 上的图形面积为 S，它在另一个平面 上的投影面积为 S，这两个平面的夹角为 ，则 S=Scos 或 cos= . /例 4 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，PAAB a ，求平面PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。pAB CDLHjAB CDPHlAB CDPPA BCD五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法） 。例 5、在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方
3、形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下：基础练习 1 二面角是指 （ ）A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2平面 与平面 、 都相交，则这三个平面可能有 （ ）A 1 条或 2 条交线 B 2 条或 3 条交线C 仅 2 条交线 D 1 条或 2 条或 3 条交线3在 300 的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是 10，则它到棱的距离是( )A
4、5 B 20 C D0254在直二面角 -l- 中，RtABC 在平面 内，斜边 BC 在棱 l 上，若 AB 与面 所成的角为 600，则 AC 与平面 所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 12005如图，射线 BD、BA、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD= ，26则弧度数为 的二面角是（ ）3A D-AC-B B A-CD-B C A-BC-D D A-BD-C6ABC 在平面 的射影是A 1B1C1，如果ABC 所在平面和平面 成 ，则有（ ）A SA1B1C1 =SABC sin B SA1B1C1 = SABC cosC SABC =SA1B1C1 s
5、in D SABC =SA1B1C1 cos7如图，若 P 为二面角 M-l-N 的面 N 内一点，PBl ，B 为垂足，AB CDABMNPlP C1A1 B1A B CDA 为 l 上一点，且PAB=，PA 与平面 M 所成角为 ，二面角 M-l-N 的大小为 ，则有 （ ） A.sin=sinsinB.sin=sinsin C.sin=sinsinD 以上都不对8在 600 的二面角的棱上有两点 A、B，AC、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6 ，AC=3 ，BD=4，则 CD= 。9已知ABC 和平面 ，A=30 0，B=60 0，AB=2，AB ，且
6、平面 ABC 与 所成角为 300，则点 C 到平面 的距离为 。10正方体 ABCDA1B1C1D1 中，平面 AA1C1C 和平面 A1BCD1 所成的二面角（锐角）为 。11已知菱形的一个内角是 600，边长为 a，沿菱形较短的对角线折成大小为 600 的二面角，则菱形中含 600 角的两个顶点间的距离为 。12如图，ABC 在平面 内的射影为ABC 1，若ABC 1=，BC 1=a,且平面 ABC 与平面 所成的角为 ，求点 C 到平面 的距离13.ABC 中，A=90，AB=4，AC=3，平面 ABC 外一点 P 在平面 ABC 内的射影是 AB 中点M，二面角 PACB 的大小为
7、45。求（1）二面角 PBCA 的大小；（2）二面角 CPBA 的大小14在二面角 -AB- 的一个平面 内，有一直线 AC，它与棱 AB 成 450 角，AC 与平面 成 300 角，求二面角 -AB- 的度数。ABC1CCDPMBA15若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为 a 和 ，到棱的距离为 2a，则此二2面角的度数是 。16把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角，若BAC=60 0，则此二面角的度数是 。17如图，已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面成 600 的二面角，求直线 BD 与平面 ABEF 所成角的正弦值。18如图，在棱长
8、为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求：（1）面 A1ABB1 与面 ABCD所成角的大小；（2）二面角 C1BDC 的正切值。 A FEBDCA BCDA1D1C1B1二面角专项训练例题分析1.过 B 作 BHPC 于 H，连结 DH DHPC故 BHD 为二面角 B-PC-D 的平面角cosBHD ， BHD= 2222263163aaDBg 232. PA平面 BD，过 A 作 AHBC 于 H，连结 PH，则 PHBC又 AHBC，故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角，在 RtPHA 中，tanPHA=PA/AH=2a3.过 BD 作平面 BDHPC 于 H BHD
9、为二面角 B-PC-D 的平面角. 图及计算同例 14.AD面 PBA 于 A，BC 平面 BPA 于 B ，故PBA 是 PCD 在平面 PBA 上的射影设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 ，则 cos= =452PBACDsS5将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-P1A1B1C1，则面 PAB面 PCD= P C1 ，且 P C1PA、P C1PD，于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=AD ，则APD=45。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45。 参考答案17 DDBA ABB 8. 7cm 9. 10. 11. 4
10、3a2312. 13? 13. 450 14. 700或 1650 15. 900 tgasin16.正弦值为 17.(1)900 (2)正切值为46二面角专项训练参考答案1.AB=AD=a ，PABDPaBDCPC过 B 作 BHPC 于 H，连结 DHDHPC故BHD 为二面角 B-PC-D 的平面角因 PB= a,BC=a,PC= a, PBBC=SPBC= PCBH231212则 BH= =DH 又 BD=3aa在BHD 中由余弦定理，得：cosBHD 又2222263163aaBHDg0BHD 则 BHD= ，二面角 B-PC-D 的大小是 。322 解：（三垂线法）如图PA平面 B
11、D，过 A 作 AHBC 于 H，连结 PH，则 PHBC又 AHBC，故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角，在 RtABH 中，AH=ABsinABC=aSin30= 2a在 RtPHA 中，tanPHA=PA/AH= 3 解（垂面法）如图PA平面 BDBDAC BDBC过 BD 作平面 BDHPC 于 HPCDH、BHBHD 为二面角 B-PC-D 的平面角，jAB CDPH因 PB= a,BC=a,PC= a, PBBC=SPBC= PCBH231212则 BH= =DH，又 BD= 在BHD 中由余弦定理，得：3aacosBHD 又 0BHD 22222631aaBHDg则BHD= ，二面角 B-PC-D 的大小是 。34解（面积法）如图APDBAI 于同时，BC平面 BPA 于 B ，故 PBA 是PCD 在平面 PBA 上的射影设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 ，则 cos= =452PBACDsS5 解（补形化为定义法）如图将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-P1A1B1C1，则 P C1PA、PD，于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=AD，则 APD=45。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45jAB CDPHP C1A1 B1A B CD
