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1、 衡阳个性化教育倡导者第八讲 空间向量的运算及空间位置关系教学目标：1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会推导空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1、知识回顾 课前热身知识点 1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系名称 内容空间直角坐标系以空间一点 O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz
2、.坐标原点 点 O坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴坐标平面 通过每两个坐标轴的平面(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向时，中指指向 z 轴的正方向(3)空间中点 M 的坐标：空间中点 M 的坐标常用有序实数组 (x，y ，z) 来表示，记作 M(x，y，z)，其中 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标建立了空间直角坐标系后，空间中的点 M 和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系知识点 2空间两点间的距离(1)设点 A(x1， y1，z 1)，B(x 2， y2，z 2)，则|AB| .x1 x22 y
3、1 y22 z1 z22特别地，点 P(x，y，z)与坐标原点 O 的距离为| OP| .x2 y2 z2(2)设点 A(x1， y1，z 1)，B(x 2， y2，z 2)是空间中两点，则线段 AB 的中点坐标为 .(x1 x22 ，y1 y22 ，z1 z22 )知识点 3空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标知识点 4空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b( b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使
4、得 ab.(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y)，使 p xayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x， y，z ，使得 px aybzc.其中，a，b，c 叫做空间的一个基底 衡阳个性化教育倡导者知识点 5两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作 a， b，则角AurBrAOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b 通常规定 0a，b.若a，b ，则称向量2a，b 互相
5、垂直，记作 ab.(2)两向量的数量积：两个非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b (3)向量的数量积的性质：ae |a|cosa，e ；abab0；|a |2 aaa 2；|a b|a|b|.(4)向量的数量积满足如下运算律：(a)b (ab)；abb a(交换律)；a(bc)aba c(分配律) 知识点 6空间向量的坐标运算(1)设 a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3 b3)，ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3 b3)，a(a 1，a 2，a 3)，aba 1b1a 2b2a 3b3.aba 1b2a 2
6、b2a 3b30；aba 1b 1，a 2b 2，a 3 b3(R)；cosa，b .ab|a|b| a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23 b21 b2 b23(2)设 A(x1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则 ( x2 x1， y2 y1， z2 z1)urOr例题辨析 推陈出新例 1已知点 M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段 MN 的长度；(2)到 M，N 两点的距离相等的点 P(x，y，z) 的坐标满足的条件自主解答 (1)根据空间两点间的距离公式得线段 MN 的长度MN 2 ，3 12 2 02 1 52 6所以线段 MN 的长度为 2
7、.6(2)因为点 P(x，y，z)到 M，N 的距离相等，所以有x 32 y 22 z 12 ，x 12 y 02 z 52化简得 xy2z30，因此，到 M，N 两点的距离相等的点 P(x，y，z)的坐标满足的条件是 xy2z30.变式练习 1已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC 90 ， 衡阳个性化教育倡导者ABACAA 12，M 为 BC1 的中点，N 为 A1B1 的中点，求| MN|.解：如图，以 A 为原点，AB， AC，AA1为 x 轴， y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系 Axyz，则 B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，N(
8、1,0,2)，M(1,1,1)，|MN| .1 12 0 12 2 12 2例 2(1) 如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点化简 _；1AOur12 B12 Dur用 ， ， 表示 ，则 _.11C1ur(2)向量 a(3,5，4)，b(2,1,8)计算 2a3b,3a2b 的值自主解答 (1) ( ) 1r12A12 r1O12ABrDu1Or .Aur1ur ( )，OC12 12 BrDu ( ) .1r112Ar112ABur12 1ur(2)解：2a3b2(3,5，4) 3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(
9、3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12) (4,2,16)(13,17,4)答案(1) 1ur12 Br12 Du1r本例中(1)条件不变，结论改为：设 E 是棱 DD1 上的点，且 ，若 x y zDEur23 1OurABDur，试求 x， y，z 的值1Aur解： ( )EODur23 1ur12DACr ，23 112A12 B由条件知，x ，y ，z .23 12 12变式练习 2.如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，向量 a， b， c，若ABurCrADurM 为 BC 中点，G 为BCD 的重心，试用 a、b、c 表示下列向量：(1) ；(2) .DurAr解：(1)
10、在ADM 中， ，由 线段中点的向量表示知 ( ) (ab) ，MuDrAuMr12 r12由相反向量的概念知 c.r 衡阳个性化教育倡导者所以 (ab)cDMurAur12 (ab2c)；12(2)由三角形重心的性质，得 cGrADur23 Mrc23(12 12)c ( )c (ab2c )13ABurCr13 (abc) 13例 3已知 E，F，G ，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，用向量法证明：(1)E，F，G，H 四点共面；(2)BD 平面 EFGH.自主解答 (1)连接 BG，则 ( ) EGurBrEu12BCrDuErBFHurE，EHur
11、由共面向量定理的推论知：E、 F、G、H 四点共面(2)因为 ( ) ，所以 EHBD.rAr12 D12Ar12 r12又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.变式练习 3证明三个向量 ae 13e 22e 3， b4e 16e 22e 3，c3e 112e 211e 3 共面证明：若 e1，e2，e3 共面，显然 a，b，c 共面；若 e1，e2，e3 不共面，设 c aub，即3e 112e 211e 3(e 13e 22e 3)u(4e 16e 22e 3)，整理得3e 112e 211e 3(4u )e1(36u)e 2(22 u)e3.由空间向量基本定
12、理可知Error!解得 Error!即 c5a b，则三个向量共面.12例 4如图所示，直三棱柱 ABCA 1B1C1，底面ABC 中，CA CB1，BCA90， 衡阳个性化教育倡导者棱 AA12，M、N 分别是 A1B1、A 1A 的中点(1)求 BN 的长；(2)求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值；(3)求证：A 1BC 1M.自主解答 (1)| |2 urNr( )( )r| |2| |22 213，A| | .N3(2) ( )( )1Brr1Bur1 AuCCAr 1cos 1350043，2又 | |2( )21r1Ar| |22 | |2u2046，| | .1B6又
13、 | |2( )21Crr| |22 | |2u11045，| | .u5cos ， ，1BAr| | 36 5 3010异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值为 .3010(3)证明： ( )( )urCMAurBCrAMu 1111r001 cos 135 cos 00.2 222 ，A1BC1M.1ur变式练习 4已知空间三点 A(2,0,2) ，B(1,1,2)，C(3,0,4) 设 a ，b ，ABurCr(1)求 a 和 b 的夹角 的余弦值；(2)若向量 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值解： A(2,0,2)，B( 1,1,2)，C (3,0,4)，a ，b ，urra (1,1,0)，b(1,0,2) (1)cos ，ab|a|b| 1 0 025 1010a 和 b 的夹角 的余弦值为 .1010(2)kabk(1,1
