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1、 衡阳个性化教育倡导者第十四讲 合情推理与演绎推理教学目标：1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2、了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1、知识回顾 课前热身知识点 1、合情推理(1)归纳推理：定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理 定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特
2、点：类比推理是由特殊到特殊的推理知识点 2、演绎推理(1)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理课前练习1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180；某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100分；三角形的内角和是 180，四边形的内角和是 360，五边形的内角和是 540，由此得出凸多边形的内角和是( n2)180.AB C D解析：选 C是类比推理，是归纳推理， 是
3、非合情推理2观察下列各式：5 53 125,5 615 625,5 778 125，则 52 013 的末四位数字为() 衡阳个性化教育倡导者A3 125 B5 625 C0 625 D8 125解析：选 A553 125,5615 625,5778 125，58390 625，591 953 125，可得 59 与 55 的后四位数字相同，由此可归纳出 5m4k 与 5m(kN*，m5,6,7,8) 的后四位数字相同，又 2 01345025，所以 52 013与 55 后四位数字相同为 3 125.3给出下列三个类比结论(ab) na nbn与( ab) n类比，则有(ab) na nb
4、n；log a(xy)log axlog ay 与 sin()类比，则有 sin() sin sin ；(ab) 2a 22abb 2 与( ab) 2 类比，则有(ab) 2a 22abb 2.其中结论正确的个数是( )A0 B1 C2 D3解析：选 B不正确，正确2、例题辨析 推陈出新例 1、 (1)(2012江西高考) 观察下列各式：ab1，a 2b 23，a 3b 34，a 4b 47，a 5b 511，则 a10b 10()A28B76 C123 D199(2)设 f(x) ，先分别求 f(0)f (1)，f (1)f (2)，f (2)f(3) ，然后归纳猜想一般性结论，并给出证1
5、3x 3明解答(1)记 anb nf(n)，则 f(3)f (1)f(2)134；f(4) f (2)f (3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现 f(n)f( n1) f (n2)( nN*，n3) ，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5) f (6)29；f (8)f (6)f(7)47；f(9)f(7) f(8)76；f(10)f (8)f (9)123. 所以 a10b 10123.(2)f(0)f(1) ，f( 1)f(2) ，f (2)f(3) ，猜想 f(x)f (1x) ，33 33 33 33证明：f( x) ，f(1 x) .13x 3 13
6、1 x 3 3x3 33x 3x3 3 3xf(x)f(1 x) . 答案(1)C13x 3 3x3 3 3x 3 3x3 3 3x 13 33利用本例(2)的结论计算 f(2 014) f (2 013) f (1)f(0) f (1)f (2 015)的值解： f(x)f(1 x) ，f(2 014) f (2 013)f(1) f(0)f(1)f(2 015)33f(2 014) f(2 015) f(2 013) f (2 014)f(0) f (1)2 015 . 33 2 015 33 衡阳个性化教育倡导者变式练习1观察下列等式：1 11 2 31 2 3 61 2 3 4 101
7、 2 3 4 5 1513 113 23 913 23 33 3613 23 33 43 10013 23 33 43 53 225可以推测：1 32 33 3n 3_( nN *，用含 n 的代数式表示)解析：第二列等式右边分别是 11,33,66,1010，1515，与第一列等式右 边比较即可得，132 33 3n 3(12 3n) 2 n2(n1) 2. 答案： n2(n1) 214 14例 2、(2013广州模拟)已知数列 an为等差数列，若 ama，a nb(nm1，m ，nN *)，则amn .类比等差数列a n的上述结论，对于等比数列 bn(bn0，nN *)，若nb man m
8、bmc，b nd(n m2，m， nN *)，则可以得到 bmn _.解答法一：设数列 an的公差为 d1，则 d1 .所以 amn a mnd 1an .an amn m b an m b an m bn amn m类比推导方法可知：设数列b n的公比为 q，由 bnb mqnm 可知 dcq nm ，所以 q ，所以n mdcbmn b mqnc .n m(dc)n n mdncm法二：(直接类比)设数列 an的公差为 d1，数列 bn的公比为 q，因为等差数列中 ana 1( n1)d 1，等比数列中 bnb 1qn1 ，因为 amn ，所以 bmn . 答案nb man m n mdn
9、cm n mdncm变式练习2在ABC 中，AB AC，ADBC 于点 D. 求证： .1AD2 1AB2 1AC2那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由证明：如图所示，ABAC，AD BC，ABD CAD，ABCDBA，AD2BD DC，AB2BD BC，AC2BC DC， 衡阳个性化教育倡导者 .又BC 2AB 2AC 2，1AD2 1BDDC BC2BDBCDCBC BC2AB2AC2 . .1AD2 AB2 AC2AB2AC2 1AB2 1AC2 1AD2 1AB2 1AC2猜想：类比 ABAC，ADBC，猜想四面体 ABCD 中， AB，AC，AD
10、两两垂直，AE平面 BCD，则 .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2下面证明上述猜想成立如右图所示，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，连接 AF.ABAC，ABAD，ACADA， AB平面 ACD.而 AF平面 ACD，ABAF.在 RtABF 中，AEBF ， .同理可得在 RtACD 中，AF CD， . .1AE2 1AB2 1AF2 1AF2 1AC2 1AD2 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2故猜想正确.例 3、已知函数 f(x) (a0 且 a1)aax a(1)证明：函数 yf(x )的图象关于点 对称；(2) 求 f(2) f (1)f(0)f(1)f(2)f(3
11、) 的值(12， 12)解答(1)证明：函数 f(x)的定义域为 R，任取一点 (x，y)，它关于点 对称的点的坐标为(1 x ，1y) (12， 12)由已知得 y ，则 1y 1 ，aax a aax a axax af(1x) ，1yf(1x)，aa1 x a aaax a aaxa aax axax a即函数 yf(x) 的图象关于点 对称(12， 12)(2)由(1)可知1f(x)f(1 x)，即 f(x)f (1x )1.则 f(2)f(3)1，f(1)f(2) 1，f(0)f(1)1，则 f(2)f (1)f(0)f (1)f (2)f(3) 3.变式练习3已知函数 f(x) b
12、x，其中 a0，b0，x(0，)，试确定 f(x)的单调区间，并证明在每个单调区ax间上的增减性 衡阳个性化教育倡导者解：法一：设 00 ，b0，x2x 10,0b，f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2)，ab ab ax1x2f(x)在 上是减函数；当 x2x1 0 时， x2x 10，x1x2 ， 0，b0，x (0，)，令 f( x) b0，得 x ，当 0x 时， b，ax2 ab ab ax2 b0，即 f(x)0，f(x)在 上是减函数；当 x 时， b0，即 f(x )0，ax2 (0， ab ab ax2f(x)在 上是增函数ab， )3、归纳总结 方法在握归纳 1、归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳归纳 2、类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深
