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1、高等数学（一）试题 第 1 页 共 10 页全国 2009 年 4 月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1函数 f(x)= 的定义域为（）21A ,B 3,1C(-1,1) D(-1,3)知识点：函数的定义域答案：B 2103xx解 ： 依 题 意 可 得2设函数 f(x)= 在 x=0 点连续，则 k=（）023sin kxA0 B1 C2 D3知识点：函数的连续性答案：C高等数学（一）试题 第 2 页
2、 共 10 页00()sin2lmli2i()2xxfkfkQ解 ： 又 3设函数 ,则其弹性函数 =（）2150yxExyA 24B 150xC 24D 150x知识点：弹性函数答案：D 24=()150Eyxxfxy解 ： 4曲线 y= 的渐近线的条数为（）2)1(4A1 B2 C3 D4知识点：曲线渐近线答案：B 221lim=0()4li()xxQ解 ： 曲 线 有 水 平 渐 近 线 y 曲 线 有 垂 直 渐 近 线 x=1高等数学（一）试题 第 3 页 共 10 页5设 sin x 是 f(x)的一个原函数，则 （）xfd)(Asin x+C Bcos x+C C-cos x+C
3、 D-sin x+C知识点：不定积分答案：A解：不定积分的概念：如果 F (x)是 f(x)的一个原函数，则 ()d()fxFC二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.函数 的反函数是_.2x-1y=0知识点：函数的反函数答案： (x-2)lg21lgl2yxyx-1解 ： =0 7.极限 =_.0limxx31知识点：函数极限答案： 1e13300limlixxx e解 ：高等数学（一）试题 第 4 页 共 10 页8.当 x 0 时， 与 是等价无穷小，则 a=_.2sinxa知识点：等价无穷小量答案：2 220
4、0silmli1xxaaQ解 ： 9.极限 =_.2sinli1x知识点：函数极限答案：0 22sinsinlim=l=011xx解 ： 10.设函数 f(x)= ，则 (0)=_.00)ln2x f知识点：函数的导数答案：1 20022ln(1)()()limin1lxxxxff解 ： 11.设 y=x sin x，则 =_.y知识点：函数的高阶导数答案： 2cosincsi2cosinyxxx 解 ： 12.曲线 的拐点为_.321知识点：曲线的拐点高等数学（一）试题 第 5 页 共 10 页答案：（-1，1） 2360,1,-(-1,)yxxyQ解 ： 令 得 当 时 当 时 当 时 曲
5、 线 的 拐 点 为13.微分方程 =x 的通解是_.y知识点：可分离变量微分方程答案： 2C22dyxydxCyxQ解 ： 两 边 同 时 积 分 得 则 14.设 y= ，则 =_.1tedy知识点：变限积分函数的导数答案： -x-d=ey解 ： 注：2006 年 1 月真题。 15.设 z= ，则全微分 dz=_.xycos知识点：全微分高等数学（一）试题 第 6 页 共 10 页21cosinydxy2z=cssi1oinyydxd解 ： 三、计算题（一） （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）16.设 ，求 .lnta5xyy知识点：函数的导数答案： lnta2sixl
6、t 2lnta2ltn5t1secoi25siuxyx解 ： 注：教材习题 3.5 第 2 题第 8)小题。17.求极限 .0limx)1n(siex知识点：函数的极限答案： 2高等数学（一）试题 第 7 页 共 10 页2200200020esin1esin1lim=li()co =liliesin1ecosecosli =li=lim()+xilimxxxxxxxx解 ： 法 一 ： 法 二 ： 18.求不定积分 .dlnx知识点：不定积分答案： 2l4Cln1l2ln2ln4xdxdxCxC解 ：注：教材习题 5.4 第 1 题第 7)小题。08 年 1 月考过的真题。19.某公司生产的
7、某种产品的价格为 155 元/件，生产 q 件该种产品的总成本是 C(q)=9+5q+0.15q2 元.假设该种产品能全部售出，问产量为多少时，该公司可获最大利润？知识点：函数的最值应用答案：500 22050()()1590.1590.151.3()().()()qLRCqqqLqQ解 ： 解 得 ， 是 的 唯 一 驻 点 为 的 极 大 值 点 ， 也 为 的 最 大 值 点20.设 z=z(x,y)是由方程 所确定的隐函数，求 , .sin()1xyzey xzy知识点：隐函数求导高等数学（一）试题 第 8 页 共 10 页答案： ，cos()1xyzxyzecos()1xyzze=i
8、n()cos()1cos()cs()11cs()xyzzxyzxyz xyzxyzxyzFeeFexezFyezQ解 ： 设 (,) cs()xyzze四、计算题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）21.设 y=arctan - ln(x+ ),求 .12x12y知识点：函数的导数答案： 22ln()22 22 22 2222 2222 22111=ln()(1)+1l(1)1ln()11l(1)yxxxxxxxxx 解 ： 高等数学（一）试题 第 9 页 共 10 页22.计算定积分 dx. 210x知识点：定积分答案： 32822 260sin,1cos,insin
9、6001cos13(si)622128xtxtdtddttttt解 ： 令 则 注：070118求不定积分 2xda23.计算二重积分 I= ，其中 D 是由直线 x=1,y=x 及 x 轴所围成的平面区域.Dy)cos(知识点：二重积分答案： 1cos21100011122200()dcossincosinsinx xDxyydxyd解 ： 五、应用题（本大题 9 分）24.设曲线 xy=1 与直线 y=2，x=3 所围成的平面区域为 D（如图所示）.求（1）D 的面积；（2）D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.高等数学（一）试题 第 10 页 共 10 页知识点：平面图形的面积和旋转体的体积答案： 25ln6,3312122331122ln5l65()-0dxxxx Dv解 : ()S 六、证明题（本大题 5 分）25.设函数 f(x)在 上连续，在(1,2)内可导，且 f(2)=0，F(x)=( x-1)f(x)，证明：至少存在一,1点 (1,2)，使得 ( )=0.F知识点：罗尔定理证： 因为 f(x)在 上连续，在 (1,2)内可导，所以 F(x)=(x-1)f(x)在 上连续，在(1,2)2,1 2,1内可导，又 F(1)=0,F(2)=f(2)=0，因此由罗尔定理可知，至少存在一点 ，,使得 ()0F
