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1、名校试卷网 http:/复旦、交大、同济推优考试试题，251交通大学 2000 年保送生数学试题一、选择题(本题共 15 分，每小题 3 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二，则 31998 天之后是 ( )A星期四 B星期三 C星期二 D星期一2用 13 个字母 A，A，A，C，E，H，I ，I，M，M，N，T，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN” 一词的概率是 ( )A B C D4813!2163!17283!813!3方程 cos2xsin2x+sinxm+1 有实数解，则实数 m 的取值范
2、围是 ( )A Bm 3 Cm 1 D m4若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x2+px+q0 的两个根，则此数列各项的积是 ( )Ap m Bp 2m Cq m Dq 2m5设 f (x0)2，则 ( )00()()lihfxfhA2 B2 C4 D4二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）1设 f(x)的原函数是 ，则 _1x0()fxd2设 ，则函数( 的最小值是_0,22221sincos)ix3方程 的解 x_68536xx4向量 在向量 上的投影 _2aijv4bijv()bav5函数 的单调增加区间是_3yx6两个等差数列 200，203，206，和 5
3、0，54，58都有 100 项，它们共同的项的个数是_7方程 7x2(k+13)x+k2k20 的两根分别在区间(0,1) 和(1,2) 内，则 k 的取值范围是_8将 3 个相同的球放到 4 个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有 3 个盒子各放一个球”的概率是_三、证明与计算（本题 61 分）1(6 分) 已知正数列 a1，a 2，a n，且对大于 1 的 n 有 ，123naL2naL试证：a 1，a 2，a n 中至少有一个小于 1名校试卷网 http:/复旦、交大、同济推优考试试题，2522(10 分) 设 3 次多项式 f(x)满足：
4、f (x+2)f (x)，f (0)1，f(3)4，试求 f(x)3(8 分) 求极限 12lim(0)ppnnL4(10 分) 设 在 x0 处可导，且原点到 f(x)中直线的距离为 ，原2,()xbcflm 13点到 f(x)中曲线部分的最短距离为 3，试求 b，c，l ，m 的值 (b,c0)5(8 分) 证明不等式： ， 341sincos2x0,x6(8 分) 两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 若射手甲先12射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率7(11 分) 如图所示，设曲线 上的点与 x 轴上1y的点顺次构成等腰直角三角形 OB1A1，
5、A1B2A2，直角顶点在曲线 上试求 An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是OyxB1A2A1B2名校试卷网 http:/复旦、交大、同济推优考试试题，253否存在复旦大学 2000 年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题 10 分，共 60 分）1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第 n 组含 n 个数，即 1；2，3；4，5，6；令 an 为第 n 组数之和，则an_2 _2sii()sin()33 _222lm)log1log(logn n4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于 60 度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面
6、成 60 度角，则两对角面面积之比为_5正实数 x,y 满足关系式 x2xy40，又若 x1，则 y 的最小值为_6一列火车长 500 米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台 1000 米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_米二、解答题（每小题 15 分，共 90 分）1数列a n适合递推式 an+13a n+4，又 a11，求数列前 n 项和 Sn2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明3正
7、六棱锥的高等于 h，相邻侧面的两面角等于 ，12arcsin(326)求该棱锥的体积( )1cos(624名校试卷网 http:/复旦、交大、同济推优考试试题，2544设 z1,z2,z3,z4 是复平面上单位圆上的四点，若 z1+z2+z3+z4=0求证：这四个点组成一个矩形5设 ，其中 xn,yn 为整数，求 n时， 的极限(12)2nnxy nxy6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过 1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点请证明你的结论名校试卷网 http:/复旦、交大、同济推优考试试题，2552001 年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共 40 分，每小题 4
8、分）1数 的位数是_1285N2若 log2log3(log4x)log 3log4(log2y)log 4log2(log3z)0，则 x+y+z_3若 log23p，log 35q，则用 p 和 q 表示 log105 为_4设 sin和 sin分别是 sin与 cos的算术平均和几何平均，则 cos2:cos2_5设 ，则函数 f(x)cosx+xsinx 的最小值为_ 0,x6有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多 2 个小球，则这盒小球的个数为_7若在数列 1，3，2，中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则
9、这个数列的前 100 项之和是_8在(1+2xx 2)4 的二项展开式中 x7 的系数是_ 9某编辑在校阅教材时，发现这句：“从 60角的顶点开始，在一边截取 9 厘米的线段，在另一边截取 a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中 a 厘米在排版时比原稿上多 1虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的 a_10任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为 1 的等差数列的概率为_二、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）11a0，b0，若(a+1)( b+1)2，则 arctana+arctanb ( )A B C D234612一个人向正东方向
10、走 x 公里，他向左转 150后朝新方向走了 3 公里，结果他离出发点 公3里，则 x 是 ( )A B C3 D不能确定32313 ( )1111126842()()()A B C D13 13132 13214设t 表示 t 的最大整数，其中 t0 且 S( x,y)|(xT)2+y2T2,Tt t，则 ( )A对于任何 t，点(0,0)不属于 S BS 的面积介于 0 和 之间C对于所有的 t5，S 被包含在第一象限 D对于任何 t，S 的圆心在直线 yx 上15若一个圆盘被 2n(n0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交名校试卷网 http:/复旦、交大、同济
11、推优考试试题，256迭区域的最大个数是 ( )A2n+2 B3n 1 C3n D3n+116若 i21，则 cos45+icos135+incos(45+90n)+i40cos3645 ( )A B C D22(10)i210i17若对于正实数 x 和 y 定义 ，则 ( )xyA ”*”是可以交换的，但不可以结合 B ”*”是可以结合的，但不可以交换C ”*”既不可以交换，也不可以结合 D ”*”是可以交换和结合的18两个或两个以上的整数除以 N(N 为整数，N1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余若 69，90 和 125 对于某个 N 是同余的，则对
12、于同样的 N，81 同余于 ( )A3 B4 C5 D7三、计算题（本题共 78 分）19(本题 10 分)已知函数 f(x)x 2+2x+2，xt,t +1的最小值是 g(t)试写出 g(t)的解析表达式20(本题 12 分)设对于 x0， ，求 f(x)的最小值66331()(2)1xfx21(本题 16 分)已知函数 ，对于 n1,2,3, 定义 fn+1(x)f 1fn(x)若 f35(x)f 5(x)，12()fx则 f28(x)的解析表达式是什么？22(本题 20 分)已知抛物线族 2yx 2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数 tR (1) 求抛物线顶点的轨迹方
13、程；(2) 求在直线 y12 上截得最大弦长的抛物线及最大弦长23(本题 20 分)设 xn为递增数列， x11，x 24，在曲线 上与之对应的点列为 P1(1,1),yxP2(4,2), , ，33()nnP且以 O 为原点，由 OPn、OP n+1 与曲线PnPn+1 所围成部分的面积为 Sn，若S n(nN)是公比为 的等比数列，图形45XnXn+1Pn+1Pn 的面积为 ，321()nx试求 S1+S2+Sn+和 lim xPnyO Xn+1Xn Pn+1名校试卷网 http:/复旦、交大、同济推优考试试题，257复旦大学 2001 年选拔生考试数学试题一、填空(每小题 5 分，共 45 分)1sinx siny0，则 cos2xsin2y_2平面 1, 2 成 的二面角，平面 1 中的椭圆在平面 2 中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为_3(x 2+2x+2)(y2-2y+2)1，则 x+y_4电话号码 0，1 不能是首位，则本市电话号码从 7 位升到 8 位，使得电话
