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1、习题 1.1 222222223.3,.3,.3,1.961,941.,9,., ,ppqqppkkkqpaapbpb证 明 为 无 理 数若 不 是 无 理 数 则 为 互 素 自 然 数 除 尽必 除 尽 否 则 或 除将 余 故 类 似 得 除 尽 与 互 素 矛 盾设 是 正 的 素 数 证 明 是 无 理 数设 为 互 素 自 然 数 则 素证 证 1. 22222 ,. .:(1)|3.;()|.0,1,1,(0);(0);,/,3.(1)( apkkxxxX数 除 尽 故 除 尽类 似 得 除 尽 此 与 为 互 素 自 然 数 矛 盾 .解 下 列 不 等 式若 则若 则若 则
2、3解 222.3,5,1|,|5,(1)(5,1).,);()|,|()|(|,.xxxabababab设 为 任 意 实 数 证 明 设 证 明证4.(1)|6|0.;(2)|.16015.96.1(,6.1)(5.9,).2,(,);0,;0.1,1.1nnxxalxXlXllalaba解 下 列 不 等 式 或 或若 若 若若 证 明 其 中 为 自 然 数若 显 然解证5: 120000 ()1)().(),)./.|.(,),|,1| /1()/()/ nnnn nnnn babbmAAABCxbCxaBmb ZL设 为 任 意 一 个 开 区 间 证 明 中 必 有 有 理 数取
3、自 然 数 满 足 考 虑 有 理 数 集 合= 若 则中 有 最 小 数-=证7.(,),.1/. 2|.10n nnabmAZ此 与 的 选 取 矛 盾 设 为 任 意 一 个 开 区 间 证 明 中 必 有 无 理 数取 自 然 数 满 足 考 虑 无 理 数 集 合 以 下 仿 8题8.证习题 1.2 22 2222151ln(4);ln;(3)ln;(4).530,|,|,.10(). .1(1)53,54.54,4xxyxyyyxDxxx求 下 列 函 数 的 定 义 域或1. :()解 122 122 40,4.(1,).0.(1)30,/.(,3)(/,).,(),.(,).l
4、nsi)/2(,ln.3 xDxxDfXfxfXf 求 下 列 函 数 的 值 域 其 中 为 题 中 指 定 的 定 义 域.22122,1,3030,(1)30,(0(4.(4)sico,)n/)sin/sin(/4),(2,.l(1),(1)0xxxxxfffXxxxfXff求 函 数 值 ：设 求3.2,0.),(1;2arcsin,l()(3) (3),0(5)., 0,cos1(4)/2, (),(/2),.31lx fxxff fff ffff 设 求设 求设 求解 64g,()log0,.1log(0),(10)log(2)0,arcsin1/6()arcsin/.3l4,5.
5、o()/232,4.4.(),ff fffffxf =.设 函 数 1,(),1(),.()2,;1,3,2fxxffxx 求 解333223222412/1()1,; ,01/2,.()()(,() 3.6.lxxf xf xffxfxxf xxxx设 求 ， 其 中 为 一 个 不 等 于 零 的 量 .设解5. 22422n,0(),(),(),(),()()ln1;() ;,ln,0., , 0;7.()()0;gxfgfgfff ggfxxxfg试 求设解 ()(),.() , ,().0.8. :(1), ;2;1(3)sinh()();24cox fgfxxfgfxxyexy求作
6、 下 列 函 数 的 略 图其 中 为 不 超 过 的 最 大 整 数解 2, 0,(5)1.x（1 ） （ 2）（3 ） （4） （5）2242222,09.() : 1;|()|;();(|).(),.,0| .,0(3) .4|,xfyyfyfxyfxxfxxyfx设 求 下 列 函 数 并 且 作 它 们 的 图 形解 .2 222210. :2()();sinh(3)co(0).1,40,4,4().(),1,1,ln1,ln)().(3xxxxyxyyyxxezezezyy求 下 列 函 数 的 反 函 数解22 222222222),0,l(),l1)(.1.coshin()()
7、1.4. ?(1),(xxxxxxxxyzyzzyxeeeeye证 明下 列 函 数 在 指 定 区 间 内 是 否 是 有 界 函 数证 210,);3ln,;(4)(,).15cos,(,);|2.ixxyrey否是否其 中 是 是210(6)sin,(,);.7coyx否 是6426426613. (,)()1(1).12. (,).3|13,|, ,13,(,).xxy xxxxx xy证 明 函 数 在 内 是 有 界 函 数研 究 函 数 在 内 是 否 有 界时 时证解习题 1.31.(1,2)lim1,0,|-|:n nnxx NNL设 证 明 即 对 于 任 意 求 出 正
8、整 数 使 得当 时 有 并 填 下 表 0.1 0.01 0.001 0.0001N 18 198 1998 19998220,1,|-|1|,2,|.limli|.0, ,|,|,lim|.3.,(1) nnn nnnnxnnNNaalallallN 不 妨 设 要 使 只 需 取则 当 时 就 有设 证 明 使 得 当 时 此 时 故设 有 极 限 证 明存 在 一 个 自 然 数证证 1|1;2, ,|(12,)., ,|1.()max|,|(,).-3(1)li2nn nn nNn alMlalallMl LL是 一 个 有 界 数 列 即 存 在 一 个 常 数 使 得对 于 使
9、得 当 时 此 时令 则 4.用 说 法 证 明 下 列 各 极 限 式 :证 323/23/2si; ()li0;1!()li0(|1); (4li;5m1()1(6)li 0.)1,2(3)nn nnnqnnn Lgg不 妨 设 要 使 只 需证 0,0,3232 22 33331sin, .1()|(0).4| (1)()16644,max,.()!114,.(5)23nn nnNnqnN LLg取 当 时3/23/23/222()1111,.(6) ,.1()(1)5.lim0, |(1,)n nnnnNnabMb gL L设 是 有 界 数 列 即 存 在 常 数 使 得 证 明 2
10、2222.,|,|,li0.6.m1, ,1.()44,.(1)(1)7. :()l nnnnnnnnNaaab nN g正 整 数 使 得故 证 明 要 使 |=只 需而 只 需求 下 列 各 极 限 的 值证 证32 244322im)li0.1103/1.()()lili6./11(4limli.nnnnnnnne2 11(5)limli.lili11(6)limli,(,),10nnnnn nn nnneqNnqe取 当 时 22,li0,lim0,lim0.11(7)lilili.nnn nn nn nqeg即122212 12 218.1(), ,().()1() , ,2nnnn
11、 nnnnn nxxxxxxLgLLg利 用 单 调 有 界 序 列 有 极 限 证 明 下 列 序 列 极 限 的 存 在 性 :单 调 增 加 有 上 界 ， 故 有 极 限 .11 1 1.(3) . 0,2212,0,(4). 0,!()!12 3.23n nnnnnxxnxx nx L单 调 增 加 有 上 界 ， 故 有 极 限单 调 减 少 有 下 界 ， 故 有 极 限单 调 增 加 有 上 界 ， 故1lim.!nenL有 极 限9.证 明 =21(1)(1)1!()!11112 !.limli! 2!n knnnnknkkne LgLLLL证1 .,1112,!,1lim1
12、lim.2!2!0.:|,nk nkneknxLLL对 于 固 定 的 正 整 数 ,由 上 式 当 时令 得设 满 足 下 列 条 件 其 中 是 小 于2111 1.li.|0(),lim0.n nnn nxkkxx 的 正 数 证 明由 得证习题 1.4 21.-()lim(0);lim;(3)li;(4)limcos.|-|-|-,| , ,|.|,|li.(2)0xaxaxa xxaea直 接 用 说 法 证 明 下 列 各 极 限 等 式 :要 使 由 于只 需 取 则 当 时 故证 222,|1| ,1|)|.min,1|,|2|,lim(3)0.|(1),0),xaxaxaxaaxaxaxaxee 不 妨 设 要 使 由 于只 需 取 则 当 时故设 要 使 即 ( 1,ln1,in,|2ill0,|cos|sii2sini|,2,coxaxaxxaxaa eeeaxaxx 取 则 当 时故 类 似 证 故 要 使取 则 当 时 . .(4)20 |,lmco.2.lim(), (,)(,)().1,0,|-,|1,|()|()1.lili xaxa
