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1、1第三部分 平面解析几何一、平面向量基本要求：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。掌握向量的加、减运算。掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。了解平面向量分解定理，掌握直线的向量参数方程。掌握向量的内积运算，了解内积运算的几何意义，了解内积运算在处理长度、角度及垂直问题的应用，了解向量垂直的条件。掌握向量的直角坐标及运算。掌握平面内两点间的距离公式及线段的中点公式。（一）向量的概念向量 既有大小、又有方向的量称为向量，记为或 。ABura向量的模 向量 或 的大小称为向量的模，记为ABura或 。|r|零向量 模为零的向量称为零向量，记为 ，简记为 0。r单位向量 模
2、为 1 的向量称为单位向量。向量相等 模相等且方向相同的向量称为相等向量。如 、 是两相arb等向量，则记为 。abr两向量的夹角 向量 、 通过平移将其起点重合后，arb它们所在射线之间的夹角 称为 、 的夹角，记(0)arb为 。arb共线向量 如果向量 、 的夹角为 0 或 ，则称向量 与向量 共线，r arbr记为 。rP垂直向量 如果向量 、 的夹角为 ，则称向量 与向量 垂直，记arb2rr为 。arb2反向量 与向量 模相等且方向相反的向量称为 的反向量，记为-ar ar。ar（二）向量的加、减运算“平行四边形法则”与“三角形法则” 。（三）数乘向量的运算设 为实数， 为一向量，
3、则 为一向量，它的模为| | = | | |。当 0arararr时， 与 同向；当 ，称| | | cos 为r rrbarb与 的内积，记为 ，即abarb = | | | | cos rabr = | |2r = 0abr（五）向量的坐标表示设点 是直角坐标系 xOy 中的一点， ，0(,)Axy ir分别是与 Ox 轴和 Oy 轴正方向相同的单位向量，则jr3向量 可表示为：OAur 0OAxiyjurr其中 、 分别称为向量 的 x 坐标、y 坐标。0xy直角坐标系 xOy 中以 为起点， 为终点的向量可表示为：1(, )2(, )Bxy=ABur211xijrr向量的坐标运算：设向
4、量 ， ， R，则ayj2bxiy，21|xr，212()()biyjrr，1axjr。2()()iyirr12xy非零向量 、 共线 存在 R，使得 arb1, 12xy = 0r12xy（六）距离公式和中点公式两点 、 之间的距离为：1(, )A2(, )B；2211|()()dAxy线段 中点 M 的坐标 为：, )y， 。12x12例 1：设| | = 2，| | = 3， = 1500，求 。arbrarbarb解： = | | | | cos = 2 3 cos1500= - 2 3 cos300例 2：设 ， ，求。airbijrarb4解：cos = = = ，arb|r230
5、()132 6例 3：已知 ， 与 方向相反，且| | = 10，求 的坐标表示。4aijrbrabrr解： 与 方向相反， 可设 = （ ） 。br0R且 | | = 10， | | = | | ，rr(3)4ij22341（ ） （ ） 25 2 = 100 2 = 4 = 2 ，而 ， = -2， = bra()ijr68ijr例 4：已知 ， ，且 ，求 x 的值。3x53barb解： ， = 0，即 -15+3x= 0，rr()(53)0ixjijr x = 5二、直线基本要求：理解直线的倾角和斜率的概念，会求直线的斜率。会求直线的方程，能运用直线方程解决有关问题。掌握两直线平行或垂
6、直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决有关问题。（一）直线的倾角和斜率1定义：在直角坐标系中，直线 l 与 x 轴正向的夹角 称为直线 l 的倾角（规定：l 与 x 轴平形时， ， ） 。称 （ ）为直线 l 的斜0tank2率，如果直线 l 过两点 和 ，则 （ ） 。1(,)Pxy2(,)xy12tyx2x直线 l 与 y 轴交点的纵坐标称为直线 l 在 y 轴上的截距，l 与 x 轴交点的横坐标称为直线 l 在 x 轴上的截距。2直线方程的几种形式：点斜式经过点 ，斜率为 k 的直线方程为0(,)Pxy5（或 ）00()ykx0()ykxy斜截式 斜率为 k，在 y 轴上的截距为
7、b 的直线方程为：；b两点式 经过两点 和 的直线方程为：1(,)Pxy2(,)xy（ ， ） ；1212212x截距式 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b 的直线方程为：（ ） ；yab0, b一般式 直线的一般式方程为： （A，B 不同时为零） ，0xyC（其中 ，在 y 轴上的截距 ） ()AkB (0)b平行于 x 轴的直线： ；x 轴： ；yb平行于 y 轴的直线： ；y 轴： ；a0过原点（不包括坐标轴）的直线： 。(0)ykx63两条直线的位置关系：设两直线的方程为 ， ，则11:lykxb22:lykxb（1） ；2lP12k（2） 。4点到直线的距离公式：点
8、到直线 的距离为0(,)Pxy0AxByC。2|ABCd例 1：求过点 且与直线 平行(0,3)10xy的直线方程。解：因为所求直线与直线 平行，所2以其斜率为 ，由点 及斜率，得直线的点斜式方程为 。32k(0,3)A32yx例 2：设有两点 ， ，求线段 的垂直平分线方程。,5,BAB解： 中点 P 的坐标为 ， ；因为 的斜率为AB42x20yAB，所以 的垂直平分线的斜率为 ，由点 P 和斜率()53k 12k得线段 的垂直平分线方程为： ，即 。1 ()yx4y例 3：直线 l 的倾角为 ，且与点 的距离为 ，求直线 l 的方程。342,1A2解：因为 l 的斜率为 ，所以可设直线 l 的方程为 ，tankyxb即 。由 l 与点 的距离为 ，有 0yxb(2,1)A221()2 或 或 ，所以直线 l 的方程为：|1|1b0b或 。2yxyx
