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1、1应用题例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售 30 件，每件赚 50 元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降 1 元，商场平均每天可多卖 2 件，若商场平均每天要赚2100 元，问衬衫降价多少元2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克 30 元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元,也不得低于 30 元.市场调查发现：单价每千克 70 元时日均销售 60kg；单价每千克降低一元,日均多售 2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利 1950 元,求销售单价3.某服装厂生产一批西服
2、，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？根的判别式1、 （2017和平区校级模拟）一元二次方程 ax2+bx+c=0 中，若 a0，b0，c 0，则这个方程根的情况是（）A有两个正根B有两个负根C有一正根一负根且正根绝对值大D有一正根一负根且负根绝对值大【分析】根据根的判别式=b 24ac 的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况2【解答】解：a 0，b 0，c 0，=b 24ac0，
3、0， 0，一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大故选：C 【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析1、定义：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的两个根，则有 x1 + x2 = - ，abx1x2 = 。对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0，则有 x1 + x2 =-p，x 1x2 =qac2、应用的前提条件：根的判别式0 方程
4、有实数根。3、若一个方程的两个为 x1，x 2 ，那么这个一元二次方程为 ax2+(x1+x2)x+ x1x2=0(a0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：x 12+x22=(x1+x2)2-2x1x2= =acb-2 cx2121(x 1+a)(x2+a)= x1x2 +a(x1+x2) +a2 = -b +a2ac(x 1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 = 4-b5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即 a0，且必须有实数根，即0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3
5、）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。 （判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若 0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若 0，仍需考虑 的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 ）例：不解方程，判别方程 两根的符号。3解： ， 42(7)650 方程有两个不相
6、等的实数根。设方程的两个根为 ， 0 原方程有两个异号的实数根。（2）已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。（3）运用判别式及根与系数的关系解题。例：已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个非零实数根，问 和能否同号？若能同号，请求出相应的 的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于 的一元二次方程 有两个非零实数根则有 又 、 是方程 的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设 、 同号，则有两种可能：（1） （2）若 ， 则有： ；4即有：解这个不等式组，得 时方程才有实树根，此种情况不成立。若 ， 则有：即有：解这个不等式组，得 ；又 ， 当 时，
7、两根能同号 练习：1 设一元二次方程 的根分别满足下列条件，试求实数 a 的范围。二根均大于 1；一根大于 1，另一根小于 1。2 （2013 秋 沙湾区期末）关于 x 的方程 x2+2（k+2）x+k 2=0 的两实根之和大于4，则 k 的取值范围是（）Ak1 Bk0 C 1k0 D1k03 （2015南充）关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根都负根；（m1） 2+（n1） 22；12m 2n1，其中正确结论的个数是（）A0 个 B1 个 C2 个
8、 D3 个(4)运用根与系数的关系求代数式的值例:已知一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根分别为 x1，x 2 ，求（x 1-x2） 2的值5解：由题意及韦达定理得：x 1+x2= -（- ）= ，x 1x2 =3(x 1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 =（ ） 2-4 = 4（x 1-x2） 2的值是 4(5) 运用根与系数的关系解决几何问题例：在ABC 中，若C=90，AB=5，AC、BC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，求 k 的值和ABC 的面积解：AC 2+BC2=25(AC+BC) 2-2ACBC=25AC
9、+BC=2K+3,ACBC=K 2+3K+2(2K+3) 2-2(K2+3K+2)=25整理，得 k2+3k-10=0解得 k1=-5,k2=2AC+BC=2K+30k-1.5, k=2S ABC = ACBC= (K2+3K+2)=61【要点讲解】1求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。例 1 若 a，b 为实数，且 ， ，求 的值。思路 注意 a，b 为方程 的二实根；（隐含 ） 。解 （1）当 a=b 时，；（2）当 时，由已知及根的定义可知，a，b 分别是方程 的两根，由韦达定理得， ab=1.说明 此题易漏解 a=b 的情况。例 2 若 ， 且
10、，试求代数式 的值。思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为 ，由根的定义知 m，n 为方程 的二不等实根，再由韦达定理，得，6练习：（2017 黔东南州二模）设 a，b 是方程 x2+x2017=0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（）A2014 B2015 C2016 D20172构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。例 3 设一元二次方程 的二实根为 和 。（1）试求以 和 为根的一元二次方程；（2）若以 和 为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方程。解 （1）
11、由韦达定理知， 。，。所以，所求方程为 。（2）由已知条件可得 解之可得由得 ， 分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0) ，( ,0)，(0,1) ，(2,1)，( ,1)或(0, )。121于是，得以下七个方程 ， ， ， ， ， ，01x2，其中 无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。01x20x23证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 例 4 已知 a，b，c 为实数，且满足条件： ， ，求证 a=b。7证明 由已知得 ， 。根据韦达定理的逆定理知，以 a，b 为根的关于 x 的实系数一元二次方程为由 a，b 为实数知此方程有实根。 ，故 c
12、=0，从而 。这表明有两个相等实根，即有 a=b。0c2说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得 c=0 后，由恒等式 可得 ，即 a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。5求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。例 6 解方程 。解：原方程可变形为。令 ， 。则, 。由韦达定理逆定理知，以 a， 为根的一元二次方程是b。解得 ， 。即 a= 或 a=9。8或 通过 求解 x 结果相同，且严谨。， （舍去） 。解之得 ， 。此种方法应检验： 是或否成立强化训练A 级1.若 k 为正整数，且方程 有两个不等的正整数根，则
13、k 的值为_。82.若 ， ，则 _。3 .已知 和 是方程 的二实根，则 _。4.已知方程 （m 为整数）有两个不等的正整数根，求 m 的值。级 5.已知： 和 为方程 及方程 的实根，其中 n 为正奇数，且。求证： ， 是方程 的实根。6.已知关于 x 的方程 的二实根 和 满足 ，试求 k 的值。参考答案12提示：原方程即 ，所以 ， 由 知k=1，2，3，5，11；由 知 k=2，3，4，7。所以 k=2，3，但 k=3 时原方程有二相等正整数根，不合题意。故 k=2。2 提示：由 x，y 为方程 的二根，知 ， 。于。321提示：由 ， ， 知，4设二个不等的正整数根为 ， ，由韦达
14、定理，有消去 m，得9。即 。则 且 。， 。故 。5由韦达定理有 ， 。又 ， 。二式相减得 。， 。将 代入有 。从而 ，同理 和 是方程 的根。6当 时，可知 ，所以 ，当 时，易证得 。从而 ，12k134为方程 的二不同实根。， 。于是 ， 。当 时，方程为 。解得 或取 ， 即能符合题意，故 k 的值为 。练习：1、设 a、b 是方程 x2+x2014=0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（）A2014 B2015 C2012 D2013102（2012德清县自主招生）如果方程（x1） （x 22x+ ）=0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 k 的取值范围是3
15、已知 a+b=3，ab= 7，则代数式 2a2+b2+3b 的值为 4 （2015黄冈中学自主招生）已知实数 ab，且满足（ a+1） 2=33（a+1） ，3（b+1）=3（b+1）2则 的值为5 （2013自贡）已知关于 x 的方程 x2（a+b）x+ab1=0 ，x 1、x 2 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：x 1x 2；x 1x2ab；x 12+x22a 2+b2则正确结论的序号是 （填上你认为正确结论的所有序号）6（2013荆门）设 x1，x 2 是方程 x2x2013=0 的两实数根，则 =117 （2012成都模拟）若 ， 是方程 x23x+1=0 的两个根，则 2+3=8 （2010南通）设 x1、x 2 是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个根，2x 1（x 22+5x23）+a=2，则 a=89 （2010宁阳县模拟）已知实数 a、b（ab）分别满足 ， ，
