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1、中考 24 题专题讲解平行、垂直、Rt、等腰三角形的证明一、 平行的证明1.已知：如图，在 RtACB 中，C90，AC 4cm，BC 3cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s）（0 t2） ，解答下列问题：（1 ）当 t 为何值时， PQBC？思考与交流2、如图，在梯形 ABCD 中， ADBC，AD=3，DC=5，AB= ，B=45 .动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C
2、点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动.设运动时间为 t 秒 .（1 ）求 BC 的长度；（2 ）当 MN AB 时，求 t 的值；3.如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC 16 ，动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运动P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是PDQ设运动时间为 t（秒） （1 ）设四边形 PCQD 的面积为 y，求 y 与 t 的关系式；
3、（2 ） t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？ （3 ）是否存在时刻 t，使得 PDAB ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4 ）是否存在时刻 t，使得 PDAB ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请简要说明理由4.如图：在梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，AD=8cm，CD=6cm，BC=10cm，点 P 以每秒 1cm 的速度从点 C 出发沿 CD 向点 D 运动，同时点 E 以每秒 2cm 的速度从点 B 出发沿 BC 向点 C 运动过点 E 作 EFAB，交 AB 于点 F，连结 PA、PE设运动时间为 t 秒(0 t5)（1 ）求边 AB 的长度；（2 ）
4、当 t 为何值时， PEAB；一、 证明平行的证明1. 添加高线、平行线，利用平行线分线段成比例或相似三角形对应边成比例、三角函数，建立相等关系，解方程，求时间 t.2.转化的方法 将平行转化为垂直的证明.二、垂直的证明5.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C90，BC16 ，DC 12 ，AD21。动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒） （1 ）设BP
5、Q 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式;（2 ）是否存在时刻 t，使得 PQBD ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 （3 ）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2AOOB 时，求 t 的值（4 ）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？2. 如图，在 RtABC 中， C90，AC12，BC16 ，动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运动P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动
6、过程中，PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是PDQ设运动时间为 t（秒） （4）是否存在时刻 t，使得 PDAB ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请简要说明理由6.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是梯形，OABC，点 A 的坐标为（6 ，0） ，点 B 的坐标为（3，4） ，点 C 在 y 轴的正半轴上动点 M 在 OA 上运动，从 O 点出发到 A 点；动点 N 在 AB 上运动，从 A 点出发到 B点两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为 t（秒） （1 ）求线段 AB 的长；当 t 为何值时，MN
7、OC ；（2 ）设CMN 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？（3 ）连接 AC，那么是否存在这样的 t，使 MN 与 AC 互相垂直？若存在，求出这时的 t 值；若不存在，请说明理由7.如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5.点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来速度返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动.伴随着 P、Q的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 与点 D，交折线 Q
8、B-BC-CP 与点 E .点 P，Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止.设点 P、Q运动的时间是 t 秒（t0 ）.（4 ）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能， 求t 的相应值；若不能请说明理由；二、垂直的证明1.添加高线，构造直角三角形，利用相似三角形对应边成比例，建立相等关系，解方程，求时间 t.2.添加高线，构造直角三角形，利用某个角的三角函数值，建立两边的比例关系，解方程，求时间 t.3.转化成平行的证明三、Rt的证明1.已知：如图，在 RtACB 中，C90，AC 4cm，BC3cm ，点 P 由 B 出发
9、沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s）（0 t2） ，解答下列问题（1 ）当 t 为何值时， APQ 为 Rt2.在ABC 中， C=Rt，AC=4，BC=5 ，点在上，且 CD=3 ，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B同时出发，其中点 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向终点 C 移动；点 Q 以 1.25cm/s 的速度，沿 BC 向终点 C 移动.过点P 作 PEBC 交 AD 于点 E，连结 EQ.设动点运动时间为 x 秒.（1 ）用含 x 的代数
10、式表示 AE=_，DE=_；（3 ）当 x 为何值时， EDQ 为直角三角形.（画出草图）三、Rt的证明方法两种情况1. 利用相似三角形对应边成比例，建立相等关系，解方程，求时间 t.2. 利用某个角的三角函数值，建立两边的比例关系，解方程，求时间 t.3.用 t 的代数式表示出三边，运用勾股定理，建立等量关系，解方程（一次、二次）.四、等腰三角形的证明思考与交流2、如图，在梯形 ABCD 中， ADBC，AD=3，DC=5，AB= ，B=45 .动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度
11、的速度向终点 D 运动.设运动时间为 t 秒 .（1 ）求 BC=10 的长度；（3）试探究：t 为何值时，MNC 为等腰三角形.1.已知：如图，在 RtACB 中，C90，AC 4cm，BC3cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s）（0 t2） ，解答下列问题：（4 ）如图，连接 PC，并把PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻 t，使四边形PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由5.如图，
12、在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C90，BC16 ，DC 12 ，AD21。动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒） （4 ）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？四、等腰三角形的证明三种情况1.直接用含 t 的代数式表示出两条腰；2.作高运用底边上三线合一使得其中一条半线段等于底边的一半.3.作高构造直角三角形，运动勾股定理，使
13、得腰的平方相等；五、面积的求法1.已知：如图，在 RtACB 中，C90，AC 4cm，BC3cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s）（0 t2） ，解答下列问题：（4 ）若设APQ 的面积 S，求 S 与 t 的函数关系式？8.在ABC 中， C=Rt，AC=4，BC=5 ，点在上，且 CD=3 ，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B同时出发，其中点 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向终点 C 移动；点 Q 以 1.25cm/s
14、 的速度，沿 BC 向终点 C 移动.过点P 作 PEBC 交 AD 于点 E，连结 EQ.设动点运动时间为 x 秒.（4 ）若设QDE 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式3.如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC 16 ，动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运动P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是PDQ设运动时间为 t（秒） （2 ）若设四边形 PCQD 的面积 S，求出
15、 S 与 t 的函数关系式4.如图：在梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，AD=8cm，CD=6cm，BC=10cm，点 P 以每秒 1cm 的速度从点 C 出发沿 CD 向点 D 运动，同时点 E 以每秒 2cm 的速度从点 B 出发沿 BC 向点 C 运动过点 E 作 EFAB，交 AB 于点 F，连结 PA、PE设运动时间为 t 秒(0 t5)（1 ）求边 AB 的长度；（2 ）若设四边形 APEF 的面积为 S，求 S 与 t 函数关系式6.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是梯形，OABC，点 A 的坐标为（6 ，0） ，点 B 的坐标为（3，4） ，点 C 在 y 轴的正半轴上动点 M 在 OA 上运动，从 O 点出发到 A 点；动点 N 在 AB 上运动，从 A 点出发到 B点两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为 t（秒） （2 ）设CMN 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=4，BC=6，点 Q 是 BC 边上的任意一点，连接 AQ、DQ ，动点 P 从 A 出发，沿 AD向终点 D 运动，速度为每秒 1
