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1、 1 / 10第 12 讲 函数知识点与典型例题题型一定义域1 已知函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则（ ）解法要点： ， ，令 且 ，故 _2 求下列函数的定义域： 14)(2xf 2143)(xf )(fx1f0)(解：要使函数有意义，必须： 即： 142x3x函数 的定义域为： )(2xf ,3要使函数有意义，必须： 14013xx且或43x或或定义域为： x| x或或要使函数有意义，必须： 01x210x函数的定义域为： 2,|Rx且要使函数有意义，必须： 011x 2 / 10定义域为： 01| xx或3 若函数 的定义域是 R，求实数 a 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆
2、 ay2解：定义域是 R, 恒012x 242aa等 价 于4 若函数 的定义域为 1，1，求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)(xfy )41(xfy)(f解：要使函数有意义，必须： 345314xxx函数 的定义域为：)(fy)(f 4|5 已知已知 f(x)的定义域为 1 ，1 ，求 f(x2)的定义域。答案：1x 21 x21 1x16 已知 f(2x1)的定义域为0，1 ，求 f(x)的定义域因为 2x1 是 R 上的单调递增函数，因此由 2x1， x0,1求得的值域1，1是 f(x)的定义域。已知 f(3x1) 的定义域为1，2） ，求 f(2x+1)的定义域。 ）2,5（提
3、示：定义域是自变量 x 的取值范围）题型二函数相等1 下列哪组是相同函数？ 第（4 ）个2(),()fxgx 2()()fxgx,23l,lf 34,f题型三分段函数（1 ）求值问题1设函数 ，则 _ _21()xf)3(f19 3 / 102、设函数 则 f（4）_，又已知 f（x 0）8，则 x0=,)2(2)(xxf（2）递推问题3、已知 则 fff（1） 的值是（）,)0(10)(xxfA1B 0 C1 D4、设 则 ( ） 2(),()11.xf)2f（3 ）方程问题5已知 ，若 ，则 = .)0(2)(xxf ()0fxx3（4 ）不等式问题6 _ _21,()()10fxfx已
4、知 函 数 则 的 解 集 为 (,1)(0,U1、设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围是_().)4()fx()fxx7 已知 ，则不等式 的解集是_10(fx 25f（5 ）应用题（列式、求最值）8为方便旅客出行，某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超过 1 元，租不出去的自行车就增加 3 辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元) 只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y (元) 表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车
5、的总收入减去管理费用后的所得 )，（1 ）求函数 f(x)的解析式及其定义域；（2 ）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：解：(1) 当 x6 时，y=50x-115，令 50x-1150，解得 x2.3，xN*，x3，3x6， xN*，当 x6 时，y=50-3(x-6)x-115，令50-3(x-6)x-1150 ，有 3x2-68x+1150，上述不等式的整数解为 2x20(xN*) ，6x20(xN*)， 4 / 10故 ，定义域为x|3x20 ，xN*；2501(36,)()8520,xxNf(2)对于 y=50x-115（3x6，xN*），显然当 x=
6、6 时， ymax=185 （元），对于 ，2 23481()361()(620,)fxxxN当 x=11 时，y max=270（元），270185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多题型四函数的单调性（1 ）根据图像判断函数的单调性单调递增：图像上升 单调递减：图像下降1下列函数中，在区间 上为增函数的是（ A ）(0,)A B C Dln(2)yx1yx1()2xy1yx2下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ A ）A B C D31222log（2 ）证明函数的单调性步骤取值、作差 、变形、定号、下结论1()fxf3已知函数 1()(0,)fxax(1)求证
7、： 在 上是单调递增函数；(2)若 在 上的值域是 ，求 的值,()fx1,21,2a证明：（1）任取 ， ，且 ， ，1x2(0,)12x 121212()()()xffa因为 ， ，且 ，所以 ， ，所以 ，所以 ，所1x2(,)1212012x0fxf12()ffx以 在 上是单调递增函数；()f0（2 ）因为 在 上的值域是 ， 在 上是单调递增函数，fx,2,2()fx,)所以 1()5a（3 ）利用函数的单调性求参数的范围4 则 的范围是_ _2()(1)2(fxx在 ， 上 是 减 函 数 ， a(,15若函数 是 上的单调递减函数，则实数 的取值范围为（ B ）,)(afxR
8、5 / 10A B C D)2,(813,()2,0( )2,8136 讨论函数 在 内的单调性fxa2)解： ，开口向上，对称轴为23(3f() axa 时， 在 内单调递增；a2f(x)(,) 时 在 内单调递减，在 内单调递增；2x2(,2) 时， 在 内单调递减23f(x)a(,)（4 ）利用函数的单调性解不等式7 是定义在 上的单调递增函数，且满足 ，则实数 的取值范围是（B ）()f(0,)(32)(1fxfxA B C D ,12,132(,),8 ，求 的范围2()1()fxfmf若 是 定 义 在 上 的 增 函 数 ， 且 m解：由题意得， ，解得 211m（ 5）奇偶性、
9、单调性的综合9 奇函数 f(x)在1,3 上为增函数，且有最小值 7，则它在-3,-1上是_ 增_ 函数，有最_大_值_ _.710 2 12()(1)()5axbf f函 数 是 ， 上 的 奇 函 数 ， 且（1 ）确定 的解析式；（ 2）用定义法证明 在 上递增；（3 ）解不等式 x,(1)(0ftft解：（1）依题意得， ，解得 ，所以 ；0()125bf10ab2()1xf(2)证明：任取 x1、x2(1,1),且 x1x2，则 221211121212 ()() ()xxxxfxf ， ， ， ，121201202120 ， 在 上是增函数()fxf()fx,(3) ， f(t1)
10、f(t)，即 f(t1)f(t)，tt则 ，解得： 11102t 6 / 1011 是定义在( 0，) 上的增函数，且 fx) ()()xffyy（1）求 f(1)的值 （2 ）若 f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f( ) 2 1解析：在等式中 ，则 f(1)=00yx令在等式中令 x=36，y=6 则 .)6(),6()3( ff故原不等式为： 即 fx(x3) f(36)，1(fxff又 f(x)在 (0，)上为增函数，故不等式等价于： .2315036)(01xx题型五函数的奇偶性（1 ）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于 y 轴对称例：判断下列函数的奇偶
11、性 y=x y=|x|（2 ）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看 与 的关系()fx(f1设函数 和 分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ C ）)(xfgA 是偶函数 B 是奇函数)(xgfC 是偶函数 D 是奇函数)(xf 解：（1）依题意， ，所以函数 的定义域为 101x()fx|1x（3 ）根据奇偶性求值、求解析式2 _ _()R0()23,xfxxf已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 当 时 ， 则 (2)f1_ _()f2300x（4 ）根据奇偶性补全图像并解不等式3奇函数 在 上单调递增，若 ，则不等式 的解集是（ D ）
12、()fx,)(1)0f()0xfxA B 1,0U,(,)U 7 / 10C D(,1)(,)U(1,0)(,U4已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图象如图所示，则不等式fx0(,)x()fx的解集为_ _)03,5已知函数 且 ，那么 ( A )5()28abx(f 2（A） （B） （C） （D）26610106. 已知函数 是奇函数，则 的值为_1_)(1)(Rfx a7已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图象x2,0, x)(xf 如右图所示，那么 的值域是 .)(f3)(2U8已知分段函数 是奇函数，当 时的解析式为 ，则这个函数在区间 上的解析式为 ,x2y)0,( 2y
13、x9已知函数 ，若 为奇函数，则 _ _1()xfafa12（5 ）函数单调性与奇偶性综合问题10已知函数 ，其中 a 为常数.2()1xf（）当 时，讨论函数 的奇偶性；（）讨论函数 的单调性；（）当 时，求函数 的值域.1a()f ()fx3a()fx解：（） 时， ，函数的定义域为 R . 2x= = =0 ()(1)(1)xxfxf2(1)xxg2(1)x 时，函数 为奇函数. a()f（）设 ，则 = , 12x1212)()()1xxfxfaa12()x, ， 即 . Q12 20,0x2()0,ff12()fxf所以不论 为何实数 总为增函数. a()f（） 时， , , ， .3ax21x21x321x 时，函数 的值域为 . ()f(,3)11 （抽象函数模型）定义在 R 上的函数 fx满足：对任意实数 ,m
