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1、1专题 3 函数的单调性函数的单调性1增函数、减函数一般地，设函数 f (x)的定义域为 I，区间 DI，如果对于任意 x1， x2 D，且 x1 x2，则都有：(1)f(x)在区间 D上是增函数 f(x1) f(x2)；(2)f(x)在区间 D上是减函数 f(x1) f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数 y f(x)在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 y f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D叫做 y f(x)的单调区间3函数的最值前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足条件对于任意的 x I，都有 f(x) M；存在 x0 I，使得 f(x0) M
2、对于任意的 x I，都有 f(x) M；存在 x0 I，使得 f(x0) M结论 M是 y f(x)的最大值 M是 y f(x)的最小值1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性2(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可
3、通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(1)函数 f(x)log 2(x21)的单调递减区间为_(2)试讨论函数 f(x) x (k0)的单调性kx【解析】 （1）(，1)由 x210 得 x1 或 x1，即函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)令 t x21，因为 ylog 2t在 t(0，)上为增函数，t x21 在 x(，1)上是减函数，所以函数 f(x)log 2(x21)的单调递减区间为(，1)考虑到函数 f(x) x (k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(， )kx k上单调递增，在( ，0)上单调递减k综上，函数 f(x)在(， )和( ，)上
4、单调递增，在( ，0)和(0， )上单调递减.12 分k k k k法二： f( x)1 .2分kx2令 f( x)0 得 x2 k，即 x(， )或 x( ，)，故函数的单调增区间为(， )和(k k k， ).6 分k令 f( x)0 得 x2 k，即 x( ，0)或 x(0， )，故函数的单调减区间为( ，0)和(0， ).10k k k k分故函数 f(x)在(， )和( ，)上单调递增，在( ，0)和(0， )上单调递减. k k k k3(1)(2017深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A y x3 B y xC y D y x1x (12)(2)函数 f
5、(x)log (x24)的单调递增区间是()12A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)【解析】D 由 x240 得 x2 或 x2，所以函数 f(x)的定义域为(，2)(2，)，因为ylog t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 t x24 的单调递减区间，可12知所求区间为(，2)（3）已知 f(x) ， x1，)，且 a1. 【导学号：31222026】x2 2x ax(1)当 a 时，求函数 f(x)的最小值；12(2)若对任意 x1，)， f(x)0 恒成立，试求实数 a的取值范围【解析】(1)当 a 时， f(x) x 2， f( x)1 0， x1，)，
6、12 12x 12x2即 f(x)在1，)上是增函数， f(x)min f(1)1 2 .4分121 72(2)f(x) x 2， x1，)ax法一：当 a0 时， f(x)在1，)内为增函数f(x)min f(1) a3.要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30，3 a0.7 分当 0 a1 时， f(x)在1，)内为增函数，f(x)min f(1) a3， a30， a3，0 a1.4综上所述， f(x)在1，)上恒大于零时， a的取值范围是(3,1.10 分法二： f(x) x 20， x1， x22 x a0，8 分ax a( x22 x)，而( x22 x)在 x1 时取
7、得最大值3，3 a1，即 a的取值范围为(3,1. 1下列函数中，定义域是 R且为增函数的是()A y2 x B y xC ylog 2x D y1x【解析】B由题知，只有 y2 x与 y x的定义域为 R，且只有 y x在 R上是增函数2若函数 y ax与 y 在(0，)上都是减函数，则 y ax2 bx在(0，)上是()bx【导学号：31222028】A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增【解析】B由题意知， a0， b0，则 0，从而函数 y ax2 bx在(0，)上为减函数b2a3函数 f(x)ln(43 x x2)的单调递减区间是()A. B.( ，32 32， )C. D.( 1
8、，32 32， 4)4(2017长春质检)已知函数 f(x)| x a|在(，1)上是单调函数，则 a的取值范围是()5A(，1 B(，1C1，) D1，)【解析】A因为函数 f(x)在(，1)上是单调函数，所以 a1，解得 a1.5(2017衡水调研)已知函数 f(x)Error!若 f( a) f(a)2 f(1)，则 a的取值范围是()A1,0) B0,1C1,1 D2,2【解析】C因为函数 f(x)是偶函数，故 f( a) f(a)，原不等式等价于 f(a) f(1)，即 f(|a|) f(1)，而函数在0，)上单调递增，故| a|1，解得1 a1.6(2017江苏常州一模)函数 f(x)log 2( x22 )的值域为_27已知函数 f(x)为 R上的减函数，若 m n，则 f(m)_f(n)；若 f f(1)，则实数 x的取值范(|1x|)围是_【解析】(1,0)(0,1)由题意知 f(m) f(n)； 1，|1x|即| x|1，且 x0.故1 x1 且 x0.8(2017郑州模拟)设函数 f(x)Error!的最小值为 2，则实数 a的取值范围是_【解析】 3，)当 x1 时， f(x)2，当 x1 时， f(x) a1.由题意知 a12， a3._
