有理根整系数多项式的几个定理及求解方法

五邑大学本科毕业论文摘 要整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣的朋友提供一定的参考本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较为系统的求法求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式 是否存在有理根若存在，则fx可利用求解有理根的方法将所有可能的有理根求出为了简化求解过程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小，然后再用综合除法进行检验，进而求出整系数多项式 的全部有理根fx关键词：整系数多项式; 有理根的求法; 有理根的判定五邑大学本科毕业论文IAbstractIntegral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots.Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots五邑大学本科毕业论文II目 录摘 要 ..........................................................................................................................................IAbstract.........................................................................................................................................II第 1 章 引 言 ................................................................................................................................1第 2 章 整 系数多项式的基本内容.............................................................................................. 2第 3 章 整 系数 多项式有理根的重要定理 ...................................................................................3第 4 章 整系数多项 式有理根的求法 ...........................................................................................64.1、整系数多项式 有理根的判定 ..........................................................................................64.2、整系数多项 式有理根的检验 ..........................................................................................94.3、整系数多项式有 理根的求解方法 .......................................114.4、应用 举例 ...........................................................13结束语 ...........................................................................................................................................16参考 文献 .......................................................................................................................................17致谢 ...............................................................................................................................................18五邑大学本科毕业论文0第 1 章 引 言多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到，是研究许多数学分支的工具。

在多项式理论中，关于整系数多项式的有理根的研究，一直是人们感兴趣的问题，整系数多项式在多项式的研究中占有很重要的地位，其应用价值也越来越被人们认识,目前人们对整系数多项式的有理根已有很多研究，也有不少结果求整系数多项式有理根的题目变化多样,灵活,特别是次数越高,常数项越大,最高次项系数越大,按常规方法逐一去求,难度就越大.所以，综合整系数多项式有理根的求解方法，利用相关定理将可能的有理根的范围尽量缩小,再用综合除法进行检验,进而求出整系数多项式的全部有理根,从而揭示一般的整系数多项式的有理根的求法，是具有积极意义的本文的结构如下：第2章是关于整系数多项式有理根的基本定理，第3章是关于整系数多项式有理根的几个重要定理，第4章是关于整系数多项式有理根的具体求法，包括有理根的判定，检验及求法五邑大学本科毕业论文1第 2 章 整系数多项式的基本内容 ]1[本节给出了整系数多项式的基本定理----高斯(Gauss)引理先给出两个定义.定义 1 如果一个多项式 ，其所有系数 都是110().nnfxaxax na,.10整数，就称此多项式为整系数多项式定义 2 如果一个非零的整系数多项式 的系数01)( bxbgnnL没有异于 的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式。

01,,bnL1下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础定理 2.1（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式证明 设 110().nnfxaxaxbbgmmL是两个本原多项式，而是它们的乘积.我们用反证法.如果01)()( dxdxxfhnn不是本原的，也就是说， 的系数 有一异于 的公因子，那么)(h01,,mnL1就有一个素数 能整除 的每一个系数.因为 的本原的，所以 不能同时整除p)(xf p的每一个系数.令 是第一个不能被 整除的系数，即 .)(xf iap iiaa/|,|,|10同样地， 也是本原的，令 是第一个不能被 整除的系数，即)(gjbjjbp/|,|,|10L我们来看 的系数 ，由乘积定义xhjid LL 2121 jijijijiji baaa由上面的假设， 整除等式左端的 ， 整除右端 .这是不可能的.这就证明了，pjidpij一定也是本原多项式.)(xh由此我们可以得到下面的定理及推论定理 2.2 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论 2.2.1 设 ， 是整系数多项式，且 是本原的.如果 = ，)(xfg)(xg)(xfg)(xh其中 是有理系数多项式，那么 一定是整系数的.)(xh)(xh五邑大学本科毕业论文2第 3 章 整系数多项式有理根的重要定理在高等代数中，关于整系数有理根的问题，有如下定理：定理 3.1 设 是一个整系数多项式,而 是 的一个】【 1110.nnfxaxasrfx有理根,其中 r,s 互素,那么必有 .特别地，如果 的首项系数 ，那么0|,|rsn fxna1的有理根都是整根，而且是 的因子.fxa证明：因为 是 的一个有理根,因此在有理数领域上 ，srfx |)xsr（ f从而 ,因为 r,s 互素，所以 是一个本原多项式.根据上述推论 2.2.1，)(|(xrsx，式中 都是整数.).)(01bbrfn 01,bn令 ,比较两边系数，即得01.)bgn .ras因此 .|,|ars将 代入上式得 , ,x)1()(grsf )()gf由定理 3.1 的证明过程可得如下定理： 定理 3.2 若 是一个次数 大于 的整系数多项式,如果110.nnfxxan0是 的一个有理根,其中 是互素的整数,那么qpf pq11.ffzzpqpq且定理 3.3 若 为整系数多项式 的整数根,则 为常数项 的约数,且对于qfx0amz.,mf证明：因为 q 是整系数多项式 的整数根,所以f,其中 是整系数多项式.fxgxx, ,则有 .zfmqg又 ,故 ,所以 .zf当 时, .因为 是常数项,故 为常数项 的约数,所以 .0mqf0q0a0qf推论 3.3.1 若 为常数 的约数,但存在一个整数 ,使 ,则 不0a0mm是 的整数根.fx证明：（反证法）设 是 的整数根,则有fx, 是整系数多项式,fqh,使 ,即 .0mz00fmqh00fqh又 是一个整数,所以 ,这与已知矛盾,故假设不成立. 五邑大学本科毕业论文3所以, 不是 的根. 。