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1、基于最小二乘法的多项式曲线拟合方法概述电气与自动化工程学院 14 级博士 李腾（1014203007）0.引言在工程实践与科学实验中，常常需要从一组带噪声的试验观测数据 中找出(,)ixy自变量 与因变量 之间隐含的函数关系。数据拟合是一种常用的处理方法其中多项ixiy式曲线拟合又是一种较常用的数据拟合方法。当数据点较多时，多项式的阶数较低，拟合精度和效果不太理想；要提高拟合精度和效果就需要提高曲线阶数，但阶数太高又带来计算上的复杂性及其他方面的不利。因此，如果只采用一种多项式曲线函数拟合较多的数据点，难以取得较好的拟合精度和效果。为有效的解决上述问题，一般采用分段曲线拟合，在每段区间上进行局
2、部最小二乘拟合。传统的分段曲线拟合根据主观经验和绘制数据散点图来确定拟合的经验函数和分段点。以下主要选取具有代表性的两种分段方法进行详细说明。1.分段区间重合的拟合方法该方法针对传统分段曲线拟合方法中对数据点分段时经验成分较多的问题，在采用最小二乘法的分段拟合方法时，加入了使相邻曲线连续，即曲线边界点要连续的叙述条件。该方法要求，首先对数据进行分段，将第一到第五个数据分为另一段，再将第五到第九个数据分为一段，重叠的第五个数据点保证了两个分段的连续性，其他的依次类推；然后对各分段数据分别进行三次曲线拟合。因此如果分段数目为 n 时，需要的数据个数为 。41n为了更好的阐述该方法，令某段数据的三次
3、拟合曲线函数为 ，23twabtcdt可以将该函数分为奇函数和偶函数两个部分。其中，奇函数为 ，偶函数为3tv。2tuact由于在每段数据中第一个点和最后一个点均两次参与拟合（第一段数据的第一个点和最后一段数据的最后一个点值参加一次拟合） ，因此在求某一段曲线的拟合房改从是需要加权。按照平均分配的原则，求方差的权值有 ， 。得20.5l101ll到曲线拟合的方差为* MERGEFORMAT (1)22()ttSlwz曲线的奇偶函数形式表示如下：* MERGEFORMAT (2),vtttttu那么可以得到拟合方差为：* MERGEFORMAT (3)22222()()()ttttttSlwzl
4、xlvyS奇 偶式中 。tttzxy从（3）式可以求得： ，令232221()()(8)tttSlbdybdybdy奇式子等于 0，可以求得：* MERGEFORMAT (4)2112()/6,(8)/6yy此时方差为 0，达到最佳逼近。同样，从（3）可以求得： ，同时考虑在222201()()(4)Saxcxacx偶边界点连续这一约束条件，假设 ，那么有4ec* MERGEFORMAT (5)0120()3(.75.)01exx由此可得：* MERGEFORMAT (6)012012(34)/6,(35)/8axcx由（4） （6）可以得到曲线拟合的系数。从上述过程可以看出，由于采用 4 个
5、点来决定一个分段，由于分段区域太过密集，不适用于密集的数据拟合。同时在考虑不同经验因素影响的时候，会受到一定的主观因素影响。2.自动分段的拟合方法针对传统方法中的局限性，自动分段的曲线拟合方法做出一定的提升。该方法提供几种不同的经验函数，根据不同经验函数拟合的数据和实测数据的误差的方差，自动确定数据的分段区间，在各个区间进行最小二乘拟合。具体的计算方法分析如下。首先确定三种较为常见的回归方程类型：（1）直线型，；（2）指数型， ；（3）多项式型， 。其次根据历史yaxbaxybe0()nkpxa数据点的误差为证和误差为负的个数差值小于适应性参数，计算误差的方差，确定数据的分段区间，在各个区间进
6、行最小二乘，各点误差相较于第一个点的误差的波动大小，波动越小，说明各个点的误差相差越小，分布较均匀，那么该函数即为最优经验函数决定选取回归方程类型。直线拟合 ， 计算误差方差指数拟合 ， 计算误差方差多项式拟合 ， 计算误差方差方差最小的为最优经验函数拟合选择最优经验函数计算各点误差绝对值的均值是否有连续三个点的误差绝对值大于均值各段用选取的最优函数拟合从第一个分段点重新拟合图 1 经验函数确定流程图 图 2 分段拟合流程图计算步骤如下。（1）根据 上文提出的方法拟合所有的历史数据，在上述的三种拟合函数中选择最优的拟合函数；（2）由第（1）步选取的经验函数，计算历史数据点拟合值和实测值的误差，
7、计算历史数据点误差绝对值的均值；（3）比较各历史点误差与误差均值 S，若连续 3 个点的误差绝对值大于均值 S，则从第一个误差大于均值的点处分段，执行第（4）步，若不存在拟合值和实测值误差大于均值的点，或者这种点只有一个或两个，则不进行分段，执行第（5）步；（4）从分段点处到历史数据最后一个点重新拟合，选择最优的函数，重复以上步骤；（5）根据以上步骤得到的分段，以及各段选出的最优经验函数对历史数据进行拟合。该方法具有较好的适应性和选择性，可以较大程度的避免主观因素的影响。3.结论分段区间重合的拟合方法采取对数据进行分段的做法，使得可以在采用三次曲线的情况下对任意多的数据进行拟合，避免了高次曲线
8、计算上的复杂性及其他方面的不利因素，同时又达到了较好的拟合效果；自动分段的拟合方法提出的自动分段曲线拟合方法采取对历史数据进行拟合，自动选取较优的经验函数，自动进行分段，使得在进行数据拟合时，不需要人为的绘制出历史数据散点图来选取经验函数和分段。传统方法为新方法的发展奠定了良好的数据分析基础，同时随着工程发展的要求提升，拟合方法会朝着更加智能、更加全面的方向发展，自动分段方法起到了很好的引导作用，同时为曲线拟合的发展指明了方向。参考文献1 杨 维,张晓明.利用最小二乘法进行回归分析及经验公式的确定 J.沈阳工业大学学报,1991, 13(2): 1-62 蔡山,张浩,陈洪辉,等. 基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方法研究J 科学技术与工程, 2007,7(3): 352-3553 高伟,姜水生.分段曲线拟合与离散度加权的数据误差处理方法J.中国测试技术, 2005;11:55 564 Roychowdhury S, Fuzzy curve fitting using least square principles,1998 IEEE InternationalConference on Systems,Man and Cybernet-ics,4:40224027
