第6讲 群和子群,教师：李艳俊,群的定义、性质，群中元素的阶、元素之间的关系；群与子群的关系：子群的判定，正规子群、商群；群与群之间的关系：群的同态、群的同构本 章 内 容,本节内容,交换群（Abel 群）,半群、幺半群,子群,,群,一、群的定义,对于：G是一个集合，·是G上的一个运算,（1）结合律成立： (a·b)·c=a·(b·c)，a，b，cG,（2）存在eG，使aG，有e·a=a·e=a，e称为G的单位元,（3）aG，存在bG，使b·a=a·b=e，b称为a的逆元，记为b=a－1,群,注：在不致引起混淆的情况下，也称G为群半群,幺半群,若二元运算·还满足交换律，即：a·b=b·a，a，bG，则称G为交换群（可换群）或Abel群一个群如果只包含有限个元素，则称为有限群；否则称为无限群；只含单位元的群称为平凡群例1：A＝{a,b}，在A上定义乘法 “·”为：aa=a，ab=b, ba=b, bb=a证明A关于此乘法构成群例2：GL(n,R)是实数域上的全体n阶可逆矩阵构成的集合，对于一般乘法构成群，但是不可交换群的结构由定义的乘法决定，表示方式：群的乘法表。
设 是一个群，群中元素按下表表示,例3：设K4={e，a，b，c}，K4中的二元运算·由下列乘法表给出，判断K4是否为群？,解：（K4，·）是群，且是一个交换群有限群的乘法表又称为群表群表中每一行（以及每一列）的所有元素都不相同① 运算·对G是封闭的；,② 运算·满足结合律；,③ G中存在单位元；,④ G中任意元都存在逆元例4：设G为整数集，证明：G对二元运算“·”：a·b=a＋b＋4构成群判断一个集合G关于运算“·”是否构成群，可以用以下四个条件判断：,证明：（1）由于对任意整数a，b，a·b=a＋b＋4为整数，故所给运算·满足封闭性2）因为(a·b)·c=a＋b＋c＋8=a·(b·c)， 所以，运算·满足结合律3）又因为对任意整数a，均有：(－4)·a=－4＋a＋4=a，故－4是a的单位元4）由于(－8－a)·a=－4， 故－8－a是a的逆元因此，整数集G对二元运算·做成一个群二、群的基本性质,定理1 设为群， ，方程 和 在G中有解且有唯一解三、群中元素的阶,定义1 群G的基数(集合元素个数)称为群G的阶。
的阶为无穷定义2 设是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂定义为,例2 在群 中，,在群 中，,定理1 群中的幂运算性质如下：,(1) ，,(2) ，,(3) ， ，,(4) ， ，,(5) 若G为交换群，则 ，,Klein四元群的每个元素都是2阶元定义3 设是群，a∈G，使得等式 成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|=k，也称a为k阶元若不存在这样的正整数k，使得 成立，则称a为无限阶元例3 在 中，2和4是3阶元，3是2阶元，而1和5是6阶元，0是1阶元；,在 中，0是1阶元，其它的整数都是无限阶元定理3 设为群，则群中任何元素a与其逆元a-1具有相同的阶定理2 设为群，a∈G，且|a|＝r设k是整数，则 当且仅当r|k。
四、子群及其判定,,定义2 G和{e}也是G的子群，称为G的平凡子群定义1 设为群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算*构成群，则称H是G的子群，记作 若H是G的子群，且是G的真子集，则称H是G的真子群，记作 例1 是整数加群 的子群当 时，nZ是Z的真子群下面介绍三个子群的判定定理定理1(判定定理一)设为群，H是G的非空子集则H是G的子群当且仅当 (1) 有 ；(2) 有 定理2(判定定理二) 设为群，H是G的非空子集则H是G的子群当且仅当 有 定理3(判定定理三) 设为群，H是G的非空子集如果H是有限集合，则H是G的子群当且仅当 有 例2 设为群，对任何a∈G，令 ，即a的所有幂的集合。
证明H≤G称这个子群是由元素a生成的子群，记作注意：左/右陪集不一定为子群例3 设 ， 是A上的双射函数令 ，则G关于函数的复合运算构成群G的全体子群是：,定理6.9 设H是G的子群，则（1）G是H在G中所有左（右）陪集的并；（2）H在G中的两个左（右）陪集或相等或不相交；（3）任意a,b∈G，则aH=bH （Ha=Hb）当且仅当b-1a∈H定义：G关于H的左陪集的个数称为H在G中的指数，记[G:H].,定理6.11 若H≤K≤G，则[G:K] [K:H]=[G:H]且当这3个指数中任意两个有限时，第三个也是有限的推论6.1 设G是一个有限群，若H是G的子群，那么[G:H]*|H|=|G|，特别地，一个有限群的任一子群的阶必是这个群的阶的因子推论6.2 G为有限群，则G中每个元素的阶都是|G|的因子课后作业习题：10、15、17 预习：循环群、置换群,。