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1、不倒翁不倒原理江南大学机械君远学院 杨洋 蒋宽 卜诚 蔡葳丰摘要：不倒翁有着悠久的历史，它的不倒之谜始终吸引着大家。本文将从理论上分析，应用理论力学的知识来解释它的不倒之谜，并加以推广其在生活中的可用之处。关键字：不倒翁 力学原理 实际应用 一、不倒翁的历史与发展不倒翁是一种一经触发就能左右摇摆并最终恢复直立状态的玩具。最初，不倒翁在形状上像一个老人，扳倒后能自动竖立起来，因而又称“扳不倒儿” 。不倒翁在中国有着悠久的历史。清代文人魏崧在壹是纪始中就已写到：“不倒翁始于唐。 ”他据唐摭言中记载：“卢连举不第，赋酒胡子长篇以寓意，序曰：巡觞之胡，旋转由人。 今谓之不倒” ，这个便是不倒翁的最初原
2、型。不倒翁的制作相当简单有乒乓球不倒翁，鸡蛋壳不倒翁，蜡烛不倒翁等等。随着历史的发展，不倒翁更是焕发着蓬勃的生机。关于不倒翁的玩具更是层出不穷，是儿童们很喜欢的玩具。而应用不倒翁原理所生产的产品更是深受人们的喜爱。2、不倒翁的力学原理通过发现可以知道不倒翁有个特点：上半身为空心壳体、下半身是一个实心的半球体，底部为圆形。这些特点使它们具有了一致的基本力学结构，都能达到“不倒”的效果。不倒翁不倒跟它的整体构造有关。不倒翁整个身体都是很轻的，但它的底部有一块比较重的铅块，因此，整个不倒翁的重量几乎都集中在底部，也就是说，它的重心，是物体所受重力的合力作用点，是很低的。另一方面，就是不倒翁的底面是一
3、个半球形，所以很容易摆动。当不倒翁倾斜到一边的时候，它的支点，可以说是不倒翁和桌面的接触点，也会跟着变动，这个时候，重点也就会跟支点不在同一条直线上。为了恢复原位，不倒翁会在重力的作用下，绕支点摆动，一直到停止为止。不倒翁倾斜的程度越大，支点与重心的水平距离就会越来越大，不倒翁的摆动的幅度也会随着大，它要恢复到原来的位置趋势的时候也就会越显著。所以，即使怎么推，不倒翁也不会倒下去。1 不倒翁的平衡稳定性不倒翁在桌面上，受到两个外力的作用：一个是重力 W，即地球对不倒翁的吸引力；另一个是支持力，即桌面对球体的反作用力。根据物体的平衡条件，只要这两个力大小相等、方向相反、作用在一条直线上，不倒翁就
4、能够保持平衡的状态。不倒翁在受到外力的作用时，就要失去平衡，而在外力去除后，不倒翁能自行回复到平衡状态，这说明不倒翁具有一种抵抗外力干扰保持平衡的能力，这就是平衡的稳定性。2、力学分析稳心：将支撑力延长与不倒翁轴线交于 M 点，则 M 点称为稳心稳心高度：重心 G 到稳心 M 的距离 称为稳心高度稳心半径：B到稳心 M 的距离 称为稳心半径B重心G重力 W桌面支点 B桌面支撑力 W无外力作用：W=W；平衡有外力作用：支点 B 变为 BW=W，但不在一条直线上，形成一扶正力矩 M 扶扶力偶距扶 sin外力撤离：M 扶使不倒翁回到平衡位置由以上分析可见：不倒翁倾斜时受到两个力矩的作用，我们称外力的
5、作用为干扰，外力形成干扰力矩；另一个叫扶正力矩（扶） ，由自身的重力形成。本来不倒翁是直立的，由于外力的作用，外力对不倒翁与制成面的接触点产生力矩，使不倒翁倾斜，打破原来的平衡。此外，本来重力是不产生力矩的，因为本来不倒翁是直立的，重力的作用线和支点位于同一直线上，力矩为零。由于外力的作用，不倒翁倾斜，半球体向一侧滚动，接触点随之移动，形成了新的接触点，即形成了新的支点，此时重力的作用线和原支点不在同一直线上，因而形成力矩，这就是扶正力矩。正是由于扶正力矩的形成和发展，抵抗和制止了外力的干扰作用。当外力撤去后，由于扶正力矩的作用，会使不倒翁重新回到平衡。但由于扶 sin，同时随着不倒翁倾斜的角
6、度不断增大，重心作用线的偏移量也不断增大，扶GM正力矩的量值也不断增大。如图所示：（当 15时，M 扶 随倾角呈线性变化）M 扶 随 的变化曲线三、不倒翁重心的最佳位置如下图所示，建立直角坐标系，设不倒翁的重心坐标为 O（0，b）先假设不倒翁向右摆。欲求不倒翁重心的最佳位置，应使在任一时刻不倒翁上任一与地面接触的点的法线与 y 轴的交点坐标 B 应在重心坐标 O 之上。因为只有这样才能保证在任一时刻重力为回复力。力矩为回复力矩。不倒翁在地面上的摆动可以看成不倒翁静止，地面假象成不倒翁的切线在不倒翁表面运动。设任一时刻不倒翁与地面的接触点为 A（x。 ，y。 ） 该点处切线的斜率为 2ax。所以
7、法线AB 方程为 y-y。=-1/2ax。(x-x。)；y。=ax2；联立方程解得 y=-1/2ax。 （x-x。 ）+ax2。与 y 轴的交点 B（0,1/2a+ax。2）所以 1/2a+ax。2b；因为该式对于任意 x。恒成立。所以 1/2ab 恒成立。由此求得 0b1/2a当不倒翁向左摆动时，分析同上。四、不倒翁的应用与创新不倒翁力学原理在人们的生产生活中有着广泛的应用。它不仅改善了产品的性能而且增加了产品的趣味性，深受人们的喜爱。一些商家也抓住这个商机，应用不倒翁的原理做出了很多优秀的产品。像现在市场上最常见的不倒翁玩偶，以其可爱的造型受到儿童的追捧。又如不倒翁牙刷，不倒翁水杯，不倒翁
8、音响则显得更加具有实用价值。在历史上，有 1300年历史的西安小雁塔，历经几十次地震而不倒，史载大地震曾使其 3 次开裂又 3 次复合，尤其是 1556 年的一次地震将其由 56 米的完整高度震为 43 米的现存高度，但是至今其塔身不倾斜，其原因是小雁塔塔基四周直径 60 米左右的地下，由外至塔基中心处的夯土层逐渐加深，中心部位是数层青石，上面用砖砌出塔基，同时地面垒了三米高的台基，其正上方才是塔身。这使得此塔整体上好似不倒翁一般，故虽经千年而无大恙。在今天，不倒翁更是有很多创新的应用。我们组想利用不倒翁原理设计一个不倒翁筛子。它的做法是在一个 U 行的不倒翁底面上钻一些小圆孔。 。下面是其剖
9、示图：我们在农村经常会看到农民用筛子筛东西如豆子等，那些筛子都是一些 U 型的平底筛，而且还要用双手来回摆动，东西筛完后会使手臂酸痛，有脏东西时会很不卫生，而且只能筛自己双臂所能承受的重量，效率不高。我们由 M 扶 随 的变化曲线可知，不倒翁在倾斜时会产生恢复力矩，使不倒翁做往复运动，我们利用这一点，可以把要筛选的东西放入其中，使其在往复运动时筛选出不需要的东西。这样既省力又可以避免脏东西吸入肺中影响健康。四、总结通过几个星期的努力，我们小组终于把论文完成了。当我们一开始拿到这个题目时，我们确实很迷茫，毕竟是第一次写论文，难免会有一点畏惧之情，于是我们就开始不断的搜集资料，在图书馆里寻找我们需
10、要的书籍，经过我们不断的努力，思路终于清晰了，在整个过程中我们遇到了种种的困难，可是大家谁都没有去抱怨，只是想尽办法去克服它。最终当论文写好的时候，我们体会到了苦尽甘来的幸福。期间大家分工明确，各司其职，把自己的任务完成，这是考验我们一个团队的合作精神，只有每个人把自己的工作做好，我们才能圆满的完成这个题目。而且通过此次的写作，我们的同学关系更加和谐了，同学之间互相帮助，有什么不懂的大家在一起商量，听听其他同学对某个问题的看法，这样也可以使我们更好的理解知识。在准备的过程中，大家提出了很多构想，尤其是关于不倒翁的创新应用这方面，我们想了很多利用不倒翁的原理制作一些小东西来方便我们的生活，可是我
11、们上网一查才发现好多都已经被人想到并制作出来了，不过这仍然给了我们一个很大的启发，只有我们肯细心观察，用心思考，我们身边就有好多值得我们去研究去发现的地方。我想这会是我们人生中一个宝贵的经历，尤其是大家最后看到自己的努力终有所收获的时候，心里忍不住就有一种自豪与激动。通过这次写论文，我们也认识到做什么事情都需要一种严谨认真的态度，都需要我们脚踏实地的认真去做， ，只有一个好的态度，我们才能做好每一件事情1曹春梅 张晓宏 物理与工程 2002 第 1 期 清华大学出版社2徐扬 不倒翁的力学问题的简单分析 西安 西安交通大学出版社 19993冯国 西安小雁塔 北京：中国建筑工业出版社，20064徐
12、扬 不倒翁的力学问题的简单分析 西安：西安交通大学出版社， 19995哈尔滨工业大学理论力学教研室。 理论力学 第六版 北京：高等教育出版社 2002Summary:Tumbler has a centuries-old history ,the mystery why It does not fall has always attracted many people.This article intends to apply theoretical knowledge of mechanics to explain the mystery from the theoretical analysis .And to promote it to be applied to daily life.Keywords: tumbler Mechanics Principle practical applications
