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1、1谈解题反思提高数学解题能力0前言提高数学解题能力，是我们最关心的一个问题。长期的经验表明，不少学生在完成作业或进行大量解题训练的过程中，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节：解题后的反思。何谓解题反思？一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案之后，必须认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法？通过反思，可以提高解题能力，解题能力和思维品质未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。为了提高同学的解题能力，应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。1 解题过程中不
2、积极反思会引发结论笑柄、判断无据1.1 结论荒唐，引为笑柄一名同学做立体几何必修本的一题，由于单位换算和计算出错，竟然计算出电镀 100 克小镙丝钉需要 28688 千克锌！另一名同学计算一颗地球卫星离地面的最远距离是 3 米！如此荒谬绝伦的错误结论，本来只凭生活常识也足可鉴别真伪，可惜解题者竟深信不疑，作业上交，传为笑话。1.2 以特殊代替一般，瞒天过海高中代数部分作业题：证明函数 f(x)=-x +5，在(-,0)内是减函3数。一些学生这样证明：f(-1)=4，f(-2)=13，f(-3)=32，f(-4)=71，这是非常明显的错解。同学这样一味的对底数 a（a0 且 a1）不分青红皂白，
3、不管指数函数的增减性，把解方程的方法套用于解不等式，并且不理会对数函数的定义域，草率下结论。解后不加反思，造成大错。 （正确解法略）1.3 臆造定理，判断无据，以日常概念代替科学概念2垂直于同一直线的两条直线平行判定定理这一相近知识套用到立体几何中来，臆造定理，判断无据。以上常见的同学解题错误，不胜枚举，有的明显可见，有的稍为隐蔽，但只要学生自己解题后能认真进行反思，是不难发现并及时予以纠正的。可惜不少同学只满足于一知半解，解完了事，不加探索回顾，任其漏洞百出。这种错误思想和做法，像蛀虫一样严重蛀蚀着学生的思维品质，影响学生解题能力的提高。由此可见，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起师生在
4、教学中的足够重视。解题反思能提高数学解题能力主要体现在以下几个方面：2 积极反思解题规律，查漏补缺，加强基本概念与解题的合理性、正确性反思解题规律可以培养学生深入钻研的习惯及探索精神，提高解题能力。同一类型的问题解题方法往往有其规律性，因此当一个问题解决后，要不失时机地引导学生反思解题方法，认真总结解题规律，力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西，以现在的解决问题的经验帮助今后的问题解决，提高解题能力。对解数学题，有时一味的做题，对审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善。所以解题后，必须对解题过程进行回
5、顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证，对基本概念应该掌握。3 积极反思，系统小结，对知识点做个横向与纵向的比较，使知识规律条理化3.1 在解题中如何小结应用规律，知识条理化请看以下三角函数和积互化公式的作用和应用规律的。和差化积、积化和差是三角函数恒等变换的重要手段，和差化积实质上是三角函数的一种特殊的因式分解，积化和差是其逆变换。例 1.在ABC 中，比较 sinA+sinB+sinC 与 sin(A+B+C)的大小。解：(sinA+sinB+sinC)-sin(A+B+C)=sinA-sin(A+B+C+(sinA+sinC)（A、B、C 是三角形内角)3sinA+sinB+sinCs
6、in(A+B+C)和差化积是为了制造公因式例 2证明 sin87-sin59-sin93+sin61=sin1证:原式左=(sin87-sin93)+(sin61-sin59)(制造了特殊角 87+93=180，59+61=120)为了和差化积是为了制造特殊角例 3证明 cos2(+)+cos2(-)-cos2cos2=1(把和差角化为单角为 2，2)为了和差化积是为了把和差角化为单角或特殊角3.2 知识横向与与纵向的比较，使知识规律清晰有些同学做题，易犯就事论事，就题论题，铁路巡警，各管一段的毛病，掌握的知识支离破碎，脑海一片空白。例如，问题 1：把 5 个不同的小球放入 3 个不同的盒子里
7、，有几种不同的方法？问题 2：集合 A 有 5 个元素，集合 B 有 3 个元素，从集合 A 到集合B 可以构造多少个不同的函数，使得函数的值域恰好是集合 B？这两个问题出自两个不同的章节，但是事实上你只需弄清函数的概念就可以发现问题一就是问题二的模型，解题思路完全一样。又如，下列 5 个命题：（1）若 为偶函数，则 的图象关于直线 对称)(xfy)2(xfy 2x（2）若 为偶函数，则 的图象关于直线 对称；2（3）若 ，则 的图象关于直线 对称；)()(xfxf)(xfy2x（4）若 ，则 的图象关于点 对称；2)0,(（5）函数 与 的图象关于直线 对称.)(fy)2(f 其中正确的命题
8、是 这个问题的正确答案是（2） （5） 。这题目就是要我们对这 5 个命题做个横向比较，弄清函数的对称问题。比较（1） （2） ，我们要弄清的问题是：偶函数关于 y 轴对称，所以，倘若 为偶函数，则 是由 向左平移 2 个单位得)(xfy)2(xfy)(xfy到，所以 的图象关于直线 对称；倘若 为偶)(xf函数，则 是由 向右平移 2 个单位得到，所以(f)(f4的图象关于直线 对称。)(xfy2x比较（3） （4） ，我们要弄清的是关于函数自身的对称问题的两个重要结论：结论 1：函数 关于直线 对称的充要条件是：对定义域xfyax内的任意 都满足 ，即 。x)()(axf2结论 2：函数
9、关于点 对称的充要条件是：对定义域内fb,的任意 都满足 ，即 。x2)()( baf所以，若 ，则 的图象关于直线 对称；fxf)(xfy0x若 ，则 的图象关于点 对称。)()2(),1(比较（3） （5） ，我们要弄清函数的对称分为：函数自身的对称性与两个不同函数的对称性。所以对于命题（5） ，我们就不能套用上述关于函数自身对称问题的那两个结论。首先我们知道 与 是关于 对称，而xfyxfy0和 分别是由 和 向右平移两个单位2xfy)(xfy得到，所以函数 与 的图象关于直线 对称。2f )(f 2经常对做过的题目做这样一个纵向或者横向的比较，做个归纳与总结，可以让学生对自己学过的内容
10、有一个系统的认识，可以达到会做一题就会做百题的效果。4 积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负。应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，巩固知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。著名数学家波利亚就曾说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾与反思。 ”解题本身而不是学习的目的，而只是在数学解题教学中，教
11、给学生解题后反思的方法，培养反思习惯，不仅能有效地使学生对知识、技能的深化理解，而且对训练思维、促进知5识能力相互转化具有特殊功效。积极反思，能促进学生探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力。4.1 一题多解一题多解，既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用。这些对提高解题能力是多么重要。例在求轨迹问题时，我讲过这样一个题目：已知两点 ，点 P 为坐标平面内的动点，满足)0,2(,(NM，求动点 P 的轨迹方程.| PN学生甲：这是最常规的求轨迹问题，设点 ，代入已知条件，),(yx得 02424 xyx化简得： y8根据这位同学的结果，我提出了这样的问题：为什么点 P 的轨迹会是抛物线呢
12、？这个能不能从已知条件中就能先够得到它的轨迹，从而得到它的方程？所以我们又得到了另外一种解法： ，0| NPMNPM| ，Ncos|即 Pcos|式的几何意义就是动点 P 到定点 的距离等于它到直线0,2，所以它的轨迹是抛物线，方程是 。2x xy8通过这样的一题多解，可以开拓思路，沟通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。4.2 多题一解在高中二数学学习中这样一题：8 个不同元素排成前后两排，每排4 个元素，有多少种排法？8 个不同元素排成 3 排，前排 4 个，中排 3个，后排 1 个，有多少种排法？一步论证，从而可以推出这类题
13、目的统一解法：n 个元素排在 n 个位置上，后善于总结，掌握规律，探求共性，6再由共性指导我们去解决碰到的这类 问题，便会迎刃而解，发挥多题一解的优势。5 解题后反思，增强应用意识提高解题能力5.1 反思题意，有的放失审题是解题的基础，需要认真阅读，仔细推敲，完全明确问题的文字陈述和符号的含义，准确把握问题的条件和结论。反思题意能弥补审题的不足，有时需要审视“题眼” ，防止误解。例如：已知函数 f(x)是定义在(-，4)上的减函数，是否存在这样的整数 m，使（m-sinx）f（ - +cos x）对一切实数 x 都m21472成立。这是一道由成题改编而来的习题。在实习中一次考试，使用了它，考试
14、结束后，我在考试题中对犯错误的进行统计，发现，其中有 16%的同学没有注意定义域(-，4)，27%的同学把 f(x)当作增函数，33%的同学没有注意到 m 是整数，另外还有其他方面的错误。可见审题不慎导致错误的比例非常大，应引起高度的重视。5.2 反思方法应用，事半功倍对已经解决的问题进行方法的再思考，是提高解题效益的重要途径之一。首先，方法的再思考可以省去重新熟悉一个新题的时间，在已经熟悉的背景下，转换思维角度，运用新方法、新手段，开辟新途径。其次，重新思考解题方法，能提高思维的层次，站在一个新的高度上重新审视这个问题，容易产生巧思妙解。第三，新方法的产生会有“众里寻他千百度，蓦然回首，那人
15、还在灯火阑珊处”的美妙感觉，能够激励学生学习的信心，激发学习者进一步战胜数学困难的热情。还有，在方法的再思考的过程中，能够进行多角度探索，不仅串联知识，而且巩固方法，尽管有时没有获得新颖的方法，同样也有不匪的收益。总之，教师必须寓兴趣的激发和培养与教学的始终，做到“课伊始，趣已生；课进行，趣正浓；课结束，趣犹存。 ”努力培养学生的解题反思意识与应用，学生只要学会了解题反思，就能以少胜多，较大限度地发挥其解题能力、功能，使效益最大化，有利于跳出题海，激发创7新意识，促进数学探索与解题能力。参考文献：1马忠林主编.胡炯涛著.数学教学论.广西教育出版社.2郭根福.小学数学新课程教学法.华东师范大学出版社,2006 年 6 月第二版.3李小融.教育心理学.四川人民出版社.4陈在瑞.数学教育心里学.中国人民大学出版社.5朱华伟.高中数学题典.湖北教育出版社.
