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1、第 1 页，共 12 页2017 年高三数学周考试卷 12.18（理科）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知复数 z= （其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部为（）A. -1 B. 1 C. -i D. i2. 已知集合 M=-1，0，1，N=y| y=1-cos x，xM，则集合 MN 的真子集的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x 2-y2=1，过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积（）A. B. C
2、. D. 4. 下列命题中正确命题的个数是（1）对于命题 p：xR，使得 x2+x+10，则 p：x R，均有 x2+x+10；（2）命题“已知 x，y R，若 x+y3，则 x2或 y1”是真命题；（3）设 B（n，p），已知 E=3，D= ，则 n 与 p 值分别为 12， （4）m=3 是直线（ m+3）x +my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直的充要条件（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 上饶高铁站 B1 进站口有 3 个闸机检票通道口，若某一家庭有 3 个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同
3、的进站方式，那么这个家庭 3 个人的不同进站方式有（）种A. 24 B. 36 C. 42 D. 606. 若变量 x，y 满足不等式组 ，且 z=3x-y 的最大值为 7，则实数 a 的值为（）A. 1 B. 7 C. -1 D. -77. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前 300 年前，如图的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”执行改程序框图（图中“aMODb”表示a 除以 b 的余数），若输入的 a，b 分别为 675，125，则输出的 a=（）A. 0 B. 25 C. 50 D. 758. 等差数列a n中的 a2、a 4030 是函数 的两个极值点，则
4、 log2（a 2016）=（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 已知函数 f（x ）=sin（x+ ）- cos（ x- ）（0），满足 f（- ）= ，则满足题意的 的最小值为（）A. B. C. 1 D. 210. 图中，小方格是边长为 1 的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 32 B. 48 C. 50 D. 6411. 已知点 O 为ABC 内一点， AOB=120，OA =1，OB=2，过 O 作 OD 垂直 AB 于点 D，点 E 为线段 OD的中点，则 的值为（）A. B. C. D. 12
5、. 已知函数 f（x ）=lnx -x2 与 g（x）=（x-2） 2- -m 的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数 m 的取值范围是（）A. （- ，1-ln2） B. （-，1-ln2C. （1-ln2，+） D. 1-ln2，+）第 2 页，共 12 页二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. （1+tan23）（1+tan22）= _ 14. 已知（2x 2+x-y） n的展开式中各项系数的和为 32，则展开式中 x5y2 的系数为_ （用数字作答）15. 如下等式：以此类推，则 2018 出现在第_ 个等式中16. 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 F
6、作直线 l 与抛物线分别交于两点 A，B，若点 M 满足= （ + ），过 M 作 y 轴的垂线与抛物线交于点 P，若|PF|=2 ，则 M 点的横坐标为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列a n满足 a1=3，a n+1=2an-n+1，数列b n满足 b1=2，b n+1=bn+an-n（1）证明：a n-n为等比数列；（2）数列c n满足 ，求数列c n的前 n 项和 Tn，求证：T n 18. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对 50 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 30 名男性驾驶员中，平均
7、车速超过 100km/h 的有 20 人，不超过 100km/h 的有 10 人在 20 名女性驾驶员中，平均车速超过 100km/h 的有 5 人，不超过 100km/h 的有 15 人（）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h 的人与性别有关； 平均车速超过100km/h 人数平均车速不超过100km/h 人数 合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为女性且车速不超过 100km/h 的车辆数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列和数学期
8、望参考公式： ，其中 n=a+b+c+d参考数据： P（K 2k0） 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828第 3 页，共 12 页19. 如图，在四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形，AB CD，AB=2，BC =CD=1，顶角 D1 在底面 ABCD 内的射影恰好为点 C（1）求证：AD 1BC；（2）若直线 DD1 与直线 AB 所成角为 ，求平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值函数值20. 在平面直角坐
9、标系 xOy 中，椭圆 的离心率为 ，直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为 （）求椭圆 C 的方程；（）过原点的直线与椭圆 C 交于两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点），点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD，AM 斜率分别为 k1，k 2，证明存在常数 使得k1=k2，并求出 的值第 4 页，共 12 页21. 已知函数 f（x ）= （I）讨论函数的单调性，并证明当 x-2 时，xe x+2+x+40；（）证明：当 a0，1）时，函数 g（x）= （x-2）有最小值，设 g（x ）最小值为h（a），求函数 h（a）的值域2
10、2. 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数）现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 =6cos（） 写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（） 过点 M（-1，0）且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A，B 两点，求|AB| 23. 已知函数 f（x ）=| x-1|-2|x+1|的最大值为 k（1）求 k 的值；（2）若 a，b，cR ， ，求 b（a+c）的最大值第 5 页，共 12 页试卷（理科） 【答案】1. A 2. C 3. C 4. B 5. D 6. A 7. C 8. A 9. C 10. C
11、 11. D 12. D 13. 214. 12015. 3116. 317. 证明：（1）a n+1=2an-n+1，a n+1-（n+1）=2（a n-n），即 bn+1=2bna1-1=2， an-n是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列（2）由（1）可得：b n=an-n=2n = = - Tn= + + = 18. 解：（）根据题意，填写列联表如下； 平均车数超过人数平均车速不超过人数 合计男性驾驶员人数 20 10 30女性驾驶员人数 5 15 20合计 25 25 50计算 K2= = 8.3337.879，所以有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h 与性别有关；
12、（）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取 1 辆，驾驶员为女性且车速不超过 100km/h 的车辆的概率为 ，所以 的可能取值为 0，1，2，3，且 B（3， ），P（ =0）= = ，P（=1）= = ，P（=2）= = ，P（=3）= = ；的分布列为： 0 1 2 3P数学期望为 ；或 19. 解：（）证明：连接 D1C，则 D1C平面 ABCD，D1CBC 在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC AB=2， BC=CD=1，ABCD BCAC BC平面 AD1C AD1BC（ 6 分）（）解法一：ABCD CD=1 在底面 ABCD 中作 CMAB，连接 D1
13、M，则 D1MAB，所以D 1MC 为平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角的一个平面角在 RtD1CM 中， ， 即平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦函数值为 （12 分）解法二：第 6 页，共 12 页由（）知 AC、BC、D 1C 两俩垂直，ABCD 在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC 因 AB=2，BC =CD=1ABCD，所以 ，建立如图空间直角坐标系，则 ，B（0，1，0）， 设平面 ABC1D1 的一个法向量 由 得 可得平面 ABC1D1 的一个法向量 又 为平面 ABCD 的一个法向量因此 所以平面 ABC1D1 和平面 ABCD 所成的角（锐
14、角）的余弦值为 20. 解：（）由题意知，e= = ，a 2-b2=c2，则 a2=4b2则椭圆 C 的方程可化为 x2+4y2=a2将 y=x 代入可得 x= a，因此 a= ，解得 a=2，则 b=1椭圆 C 的方程为 +y2=1；（）设 A（x 1，y 1）（x 1y10），D（x 2，y 2），则 B（-x 1，-y 1）直线 AB 的斜率 kAB= ，又 ABAD，直线 AD 的斜率 kAD=- 设 AD 方程为 y=kx+m，由题意知 k0， m0联立 ，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m2-4=0x1+x2=- 因此 y1+y2=k（ x1+x2）+2m= 由题意可得 k1
15、= =- = 直线 BD 的方程为 y+y1= （x+x 1）令 y=0，得 x=3x1，即 M（3x 1，0）可得 k2=- k1=- k2，即 =- 因此存在常数 =- 使得结论成立第 7 页，共 12 页21. 解：（）证明：由 ，得 ，故 f（x）在（-，-4）和（-4，+ ）上单调递增，（3 分）当 x-2 时，由上知 f（x ） f（-2）=-1，即 ，即 xex+2+x+40，得证（5 分）（）对 求导，得 ，x-2 （6 分）记 ，x-2由（）知，函数 （x）区间（-2，+）内单调递增，又 （-2）=-1+a0，（0）=a0，所以存在唯一正实数 x0，使得 于是，当 x（ -2，x 0）时，（x ）0，g（x）0，函数 g（x）在区间（-2 ，x 0）内单调递减；当 x（x 0，+）时， （x）0，g（x）0，函数
