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1、关于古希腊辉煌的数学成就的论析著名数学史学家克莱因在古今数学思想一书中曾经指出过：“希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。 ”古希腊数学为人类创造了巨大的精神财富。不论从哪方面来衡量，都会令人感到其辉煌。希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。这時的数学精神所产生的任何思想，在后來人类文化发展史上佔据了重要的地位。希 腊 数 学 的 发 展 历 史 可 以 分 为 三 个 时 期 。 第 一 期 约 为 公 元 前 七 世 纪 中 叶 到 公 元 前三 世 纪 ， 从 伊 奥 尼 亚 学 派 到 柏 拉 图 学 派 为 止 ， ； 第 二 期 从 欧 几 里 得 起 到 公
2、元 前 146 年 ，希 腊 陷 于 罗 马 为 止 ， 是 亚 历 山 大 前 期 ， ； 第 三 期 是 罗 马 人 统 治 下 的 时 期 ， 结 束 于 641年 亚 历 山 大 被 阿 拉 伯 人 占 领 ， 是 亚 历 山 大 后 期 。1 古希腊数学的发展：a. 泰 勒 斯 和 毕 达 哥 拉 斯 ：在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624前547年）被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理： 1、圆为它的任一直径所平分； 2、半圆的圆周角是直角； 3、等腰三角形两底角相等； 4、相似三角形的各对应边成比例； 5、
3、若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等。古希腊论证数学的另一位先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前584前 497 年）及其学派。在毕达哥拉斯之前，人们并没有清楚认识到几何的证明是要有假设的，几何学所取得的一些结构，大都靠经验得出。至于它们之间的关系，包括相互之间、规律与规律的交互作用等，都未有过说明。是毕达哥拉斯在发展几何的过程中率先制定“公设”或“公理 ”，然后再经过严格的推导、演绎来进行。把证明引入数学是毕达哥拉斯伟大功绩之一。毕达哥拉斯的第二个贡献是提出抽象。他把抽象运用到数学上，认为数学上的数、图形都是思维的抽象，已不是实际生活中的数与形。如几何物体，
4、正是舍弃了诸如密度、颜色、重量，唯一所考虑的只是它的空间分布形式。抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，成为早期的几何思想的先驱。后来，由勾股定理（西方成为毕达哥拉斯定理或百牛定理）引发的有关无理数的第一次数学危机推动了数学上的思想解放。为此作出努力的是柏拉图的学生天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前 400 年前 347 年） 。他为解释无理数的问题，采用了“比例理论”，这其中就隐含了极限的思想，对后来的欧几里得几何学的产生起到了积极作用。b. 智者（Sophist）学派与古希腊三大难题: 在 数 学 上 ， 智 人 学 派 曾 提 出 “三 大 问 题 ”：1
5、.三 等 分 任 意 角 ；2.倍 立 方 ， 求 作 一 立 方 体 ， 使 其 体 积 是 已 知 立 方 体 的 二 倍 ；3.化 圆 为 方 ， 求 作 一 正 方 形 ， 使 其 面 积 等 于 一 已 知 圆 。这 些 问 题 的 难 处 ， 是 作 图 只 许 用 直 尺 (没 有 刻 度 的 尺 )和 圆 规 。 希 腊 人 的 兴 趣 并不 在 于 图 形 的 实 际 作 出 ， 而 是 在 尺 规 的 限 制 下 从 理 论 上 去 解 决 这 些 问 题 ， 这 是 几 何 学 从实 际 应 用 向 系 统 理 论 过 渡 所 迈 出 的 重 要 的 一 步 。 对这三大
6、难题的研究虽然都得不到实际结果，但对当时数学理论的发展起到很大的推动作用。这 个 学 派 的 安 提 丰 提 出 用 “穷 竭 法 ”去 解 决 化 圆 为 方 问 题 先 作 圆 内 接 正 方 形 ，以 后 每 次 边 数 加 倍 ， 得 8、 16、 32、 边 形 ， “最 后 ”的 多 边 形 与 圆 的 “差 ”必 会 “穷 竭 ”。这 提 供 了 求 圆 面 积 的 近 似 方 法 ， 和 中 国 的 刘 徽 的 割 圆 术 思 想 不 谋 而 合 ， 成 为 近 代 极限 理 论 的 雏 形 。c. 柏拉图学派与演绎证明：柏拉图（Plato，约公元前 427前 347 年）学派
7、认为数学是认识 “理念世界”的工具，因此他们特别重视数学的证明方法，竭力主张学习和研究数学。柏拉图在毕达哥拉斯学派提出的数学概念抽象化的观点基础上，从哲学的角度去探讨数学概念的涵义，为发挥数学抽象思维的能动作用创造了条件，推动了数学的科学化。另外，柏拉图强调数学研究的演绎证明。归纳以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，演绎法在前提正确的条件下则能得到绝对正确的结果。柏拉图的这一思想，成为后来公理化方法的发端，对欧几里得几何的公理化演绎体系和推进古希腊数学的发展具有重要意义，对数学演绎方法的建立和完善作出了重要贡献。d. 欧几里得与几何学：在 欧 几 里 得 以 前 ， 人 们 已
8、经 积 累 了 许 多 几 何 学 的 知 识 ， 然 黔 这 些 知 识 当 中 ， 存 在一 个 很 大 的 缺 点 和 不 足 ， 就 是 缺 乏 系 统 性 。 大 多 数 是 片 断 、 零 碎 的 知 识 ， 公 理 与 公 理 之问 、 证 明 与 证 明 之 间 并 没 有 什 么 很 强 的 联 系 性 ， 更 不 要 说 对 公 式 和 定 理 进 行 严 格 的 逻 辑论 证 和 说 明 。 欧 几 里 得 通 过 早 期 对 柏 拉 图 数 学 思 想 ， 尤 其 是 几 何 学 理 论 系 统 而 周 详 的 研究 ， 已 敏 锐 地 察 觉 到 了 几 何 学 理
9、论 的 发 展 趋 势 。 他 在古代丰富的数学知识和数学思想方法的基础上，对客观世界的空间关系进行了高度的抽象而 最 终 完 成 一 部 传 世 之 作 几 何 原 本 ， 它 不 仅 保 存 了 许 多 古 希 腊 早 期 的 几 何 学 理 论 ， 而 且 通 过 欧 几 里 得 开 创 性的 系 统 整 理 和 完 整 阐 述 ， 使 这 些 远 古 的 数 学 思 想 发 扬 光 大 。 几 何 学 正 是 有 了 它 ， 不 仅 第一 次 实 现 了 系 统 化 、 条 理 化 ， 而 且 又 孕 育 出 一 个 全 新 的 研 究 领 域 欧 几 里 得 几 何 学 ，简 称 “
10、欧 氏 几 何 学 ”。e. 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线理论：阿波罗尼奥斯跟 随 欧 几 里 得 的 后 继 者 学 习 ， 在前人的基础上做了大量去粗取精，批判继承的工作，同时又提出许多创新的独到见解，从框架结构、内容上以焕然一新的角度写成一部集大成的书圆锥曲线论 。该 书 将 圆 锥 曲 线 的 性 质 网 罗 殆 尽 ， 几 乎 使 后人 没 有 插 足 的 余 地 。 圆 锥 曲 线 论 是 一 部 经 典 巨 著 ， 它 可 以 说 是 代 表 了 希 腊 几 何 的 最高 水 平 。 在书中，阿波罗尼奥斯创造性地以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂点作为纵标，给 后 世 坐 标 几
11、何 的 建 立 以 很 大 的 启 发 。f. 阿基米德与几 何 学 ：古希腊另一位被人们誉为与牛顿、高斯并列的三个有史以来最伟大的数学家就是阿基米德。他应用穷竭法，研究了一些形状比较复杂的面积和体积的计算方法，如求球体面积、体积与其外切圆柱的面积、体积之比；求抛物线所围面积和弓型面积；求螺线所围面积等。他 提 出 用 圆 内 接 多 边 形 与 外 切 多 边 形 边 数 增 多 、 面 积 逐 渐 接 近 的 方 法 求 圆 周 率 ，类 似 于 现 代 微 积 分 中 所 说 的 逐 步 近 似 求 极 限 的 方 法 。 阿 基 米 德 还 首 创 了 记 大 数 的 方 法 ，突 破
12、 了 当 时 用 希 腊 字 母 计 数 不 能 超 过 一 万 的 局 限 ， 并 用 它 解 决 了 许 多 数 学 难 题 ， 为古 希 腊 数 学 的 发 展 提 供 了 一 个 更 广 阔 的 平 台 。 在研究方法上，阿基米德既继承和发扬了古希腊研究抽象数学的科学方法，又使数学的研究与实际应用联系起来，把计算技巧与严格的逻辑证明相结合，对后世数学的发展具有深远的影响。g. 古希腊后期的数学：公 元 前 146 年 以 后 ， 在 罗 马 统 治 下 的 亚 历 山 大 学 者 仍 能 继 承 前 人 的 工 作 ， 不 断有 所 发 明 。 海 伦 (约 公 元 62)、 门 纳
13、劳 斯 (约 公 元 100)、 帕 普 斯 等 人 都 有 重 要 贡 献 。 天文 学 家 托 勒 密 将 喜 帕 恰 斯 的 工 作 加 以 整 理 发 挥 ， 奠 定 了 三 角 学 的 基 础 。晚 期 的 希 腊 学 者 在 算 术 和 代 数 方 面 也 颇 有 建 树 ， 代 表 人 物 有 尼 科 马 霍 斯 (约 公元 100)和 丢 番 图 (约 250)前 者 是 杰 拉 什 (今 约 旦 北 部 )地 方 的 人 。 著 有 算 术 入 门 ，后 者 的 算 术 是 讲 数 的 理 论 的 ， 而 大 部 分 内 容 可 以 归 入 代 数 的 范 围 。 它 完 全
14、 脱 离 了几 何 的 形 式 ， 在 希 腊 数 学 中 独 树 一 帜 ， 对 后 世 影 响 之 大 ， 仅 次 于 几 何 原 本 。2.分析古希腊数学成就辉煌的原因古 希 腊 的 地 理 范 围 ， 除 了 现 在 的 希 腊 半 岛 外 ， 还 包 括 整 个 爱 琴 海 区 域 和 北 面 的 马其 顿 和 色 雷 斯 、 意 大 利 半 岛 和 小 亚 细 亚 等 地 。 公 元 前 5、 6 世 纪 ， 特 别 是 希 、 波 战 争以 后 ， 雅 典 取 得 希 腊 城 邦 的 领 导 地 位 ， 经 济 生 活 高 度 繁 荣 ， 生 产 力 显 著 提 高 ， 在 这
15、个 基础 上 产 生 了 光 辉 灿 烂 的 希 腊 文 化 ， 对 后 世 有 深 远 的 影 响 。古希腊是一个移民的社会，从开始就没有像东方民族所具有的以血缘关系为纽带的宗法式的社会结构。这种以地缘关系为基础的社会共同体，加上希腊所处的独特地理位置，为希腊古典的民主政治和商品经济希腊城邦制的出现提供了必要的条件。在此基础上，古希腊社会孕育出了一种独特的文化形态古典的理性文化或科学文化。从此，希腊人从宗教神学中解放了出来，开始了对世界的理性思考从此，完成了从神秘主义文化向理性主义文化的转变，开创了科学文化的历史进程。希腊人的数学追求源于他们对自然的探索和追求，他们深深懂得数学是了解宇宙的钥
16、匙，数学规律是宇宙布局的精髓。希腊人借助猜想，重视抽象，不太考虑具体实际。比如选择一些富有想象力且又易为人们所接受的定义、公设、公理，通过典型证明推广到一般，大大推进了数学科学的结构完善和学科发展。公 元 前 四 世 纪 以 后 ， 和 17 世 纪 出 现 的 解 析 几 何 学 、 微 积 分 学 相 比 ， 古 希 腊 数 学时 期 被 称 为 初 等 数 学 时 期 。 这 个 时 期 的 特 点 是 ， 数 学 (主 要 是 几 何 学 )已 建 立 起 自 己 的理 论 体 系 ， 从 以 实 验 和 观 察 为 依 据 的 经 验 科 学 过 渡 到 演 绎 的 科 学 。 由 少 数 几 个 原 始 命 题(公 理 )出 发 ， 通 过 逻 辑 推 理 得 到 一 系 列 的 定 理 。 这 是 希 腊 数 学 的 基 本 精 神 。 古希腊数学属于公理化演绎体系，着眼于“ 理 ”首先给出公理、公设、定义，尔后在此基础上有条不紊地、由简到繁地进行一系列定理的证
