《2006年高考第一轮复习数学：12.2离散型随机变量的期望值和方差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2006年高考第一轮复习数学：12.2离散型随机变量的期望值和方差（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.2 离散型随机变量的期望值和方差知识梳理1.期望：若离散型随机变量 ，当 =xi 的概率为 P（ =xi）=Pi（i=1，2， ，n，） ，则称 E =x i pi 为 的数学期望，反映了 的平均值.2.方差：称 D =（x iE ） 2pi 为随机变量 的均方差，简称方差. 叫标准差，D反映了 的离散程度.3.性质：（1）E（a +b）= aE +b，D（a +b）=a 2D （a、b 为常数）.（2）若 B（n，p） ，则 E =np，D =npq（q=1p）.点击双基1.设投掷 1 颗骰子的点数为 ，则A.E =3.5，D =3.52 B.E =3.5，D = 1235C.E =3
2、.5，D =3.5 D.E =3.5，D = 6解析： 可以取 1，2，3，4，5，6.P（ =1）=P（ =2）=P（ =3）=P（ =4）=P（ =5）=P（ =6）= ，1E =1 +2 +3 +4 +5 +6 =3.5，66161D =（ 13.5 ） 2+（23.5） 2+（33.5） 2+（43.5） 2+（53.5） 2+（63.5）2 = = .5.73答案：B2.设导弹发射的事故率为 0.01，若发射 10 次，其出事故的次数为 ，则下列结论正确的是A.E =0.1 B.D =0.1C.P（ =k）=0.01 k0.9910k D.P（ =k）=C 0.99k0.0110k1
3、0解析： B（n，p） ，E =100.01=0.1.答案：A3.已知 B（n，p） ，且 E =7，D =6，则 p 等于A. B. C. D.71615141解析：E =np=7，D =np（1p）=6，所以 p= .7答案：A4.一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02.设发病的牛的头数为 ，则 D 等于A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804解析：D =100.020.98=0.196.答案：C5.有 两 台 自 动 包 装 机 甲 与 乙 ， 包 装 重 量 分 别 为 随 机 变 量 1、 2， 已 知E 1=E 2， D 1
4、D 2，则自动包装机_的质量较好 .解析：E 1=E 2 说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D 1D 2 说明甲机包装重量的差别大，不稳定.乙机质量好.答案：乙典例剖析【例 1】 设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求 E 、D . 1 0 1P 212q q2剖析：应先按分布列的性质，求出 q 的值后，再计算出 E 、D .解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于 1，所以 解得 q=1 .,1,20qp2于是， 的分布列为 1 0 1P 21223所以 E =（1） +0（ 1）+1（ ）=1 ，3D = 1（ 1 ） 2 +（1 ） 2（ 1）
5、+1（1 ） 2（ ）= 1.232评 述 ： 解 答 本 题 时 ， 应 防 止 机 械 地 套 用 期 望 和 方 差 的 计 算 公 式 ， 出 现 以 下 误 解 ：E =（ 1） +0（ 1 2q） +1q2=q2 .拓展提高既要会由分布列求 E 、D ，也要会由 E 、D 求分布列，进行逆向思维 .如：若 是离散型随机变量，P（ =x1）= ，P（ =x2）= ，且 x1x2，又知 E = ，D =53557.求 的分布列.256解：依题意 只取 2 个值 x1 与 x2，于是有E = x1+ x2= ，357D = x12+ x22E 2= .56从而得方程组 .123,71x解
6、之得 或,21x.54,92而 x1x2，x 1=1，x 2=2. 的分布列为 1 2P 535【例 2】 人寿保险中（某一年龄段） ，在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付 3 万元，出现非意外死亡则赔付 1 万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是 p1，非意外死亡的概率为 p2，则 a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数 的期望值大于 0，故需求 E .解：设 为盈利数，其概率分布为 a a30000 a10000P 1p 1p 2 p1 p2且 E =a（1p 1p 2）+ （a30000）p 1+（a100
7、00）p 2=a30000p 110000p 2.要盈利，至少需使 的数学期望大于零，故 a30000p 1+10000p2.评述：离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值.思考讨论本题中 D 有什么实际意义 ?【例 3】 把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求 E 、D .剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为 44，空盒子的个数可能为 0 个，此时投球方法数为 A =4!，P （ =0）= = ；空盒子的个数为 1 时，44!6此时投球方法数为 C C A ，1423P（ =1）= .6同样可分析 P（ =2） ，P（ =3）.解： 的
8、所有可能取值为 0，1，2，3.P（ =0）= = ，P（ =1）= = ，P（ =2）= =4A64321AC6422AC，P （ =3）= = .642141C 的分布列为 0 1 2 3P 646436421641E = ，D = .6481295评述：本题的关键是正确理解 的意义，写出 的分布列.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的. =2 时，此时有两种情况：有 2 个空盒子，每个盒子投 2 个球；1 个盒子投 3 个球，另 1 个盒子投 1 个球.闯关训练夯实基础1.设服从二项分布 B（n，p）的随机变量 的期望和方差分别是 2.4 与 1.44，则二项分布的参数 n、
9、p 的值为A.n=4， p=0.6 B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1解析：由 E =2.4=np，D =1.44=np（1p） ，可得1p= =0.6，p=0.4 ，n= =6.4.24.02答案：B2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，命中后的剩余子弹数目 的期望为A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4解析： =0，1，2，3，此时 P（ =0）=0.4 3，P（ =1）=0.60.4 2，P（ =2）=0.60.4，P （ =3）=0.6 ， E =2.376.答案：C3.设一次试验成功的概
10、率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p=_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_.解析：D =npqn（ ） 2= ，等号在 p=q= 时成立，此时，D =25， =5.q4n21答案： 5214.甲从学校乘车回家，途中有 3 个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，则甲回家途中遇红灯次数的期望为_.解析：设甲在途中遇红灯次数为 ，则 B（3， ） ，52所以 E =3 =1.2.答案：1.25.一次单元测试由 50 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中恰有 1 个是正确答案.每题选择正确得 2 分，不选或错选得 0 分，满分是 100 分.学生甲
11、选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.解：设学生甲答对题数为 ，成绩为 ，则 B（50，0.8） ， =2 ，故成绩的期望为 E =E（2 ）=2E =2500.8=80（分） ；成绩的标准差为 = = = =2 =4 5.7（分）.D)2(D42.0856.袋中有 4 只红球，3 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球.设取到一只红球得 2 分，取到一只黑球得 1 分，试求得分 的概率分布和数学期望.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的 4 只球颜色的分布情况：4 红得 8 分，3 红 1 黑得 7 分，2 红 2 黑得 6 分，1 红 3 黑得 5 分，故
12、P（ =5）= ，731C5P（ =6）= = ，P（ =7）= = ，4723C5184713C52P（ =8）= = ，E =5 +6 +7 +8 = = .47033835132074培养能力7.一 台 设 备 由 三 大 部 件 组 成 ， 在 设 备 运 转 中 ， 各 部 件 需 要 调 整 的 概 率 相 应 为0.10， 0.20 和 0.30.假 设 各 部 件 的 状 态 相 互 独 立 ， 以 表 示 同 时 需 要 调 整 的 部 件 数 ， 试 求 的 数 学 期 望 E 和 方 差 D .解：设 Ai=部件 i 需要调整（i=1，2，3） ，则 P（A 1）=0.1
13、，P（A 2）=0.2，P（A 3）=0.3.由题意， 有四个可能值 0，1，2，3.由于 A1，A 2，A 3 相互独立，可见P（ =0）=P（ ）=0.90.80.7=0.504 ；13AP（ =1）=P（A 1 ）+P（ A2 ）+P（ A3）21312=0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.398；P（ =2）=P（A 1A2 ）+P（A 1 A3）+P（ A2A3）321=0.10.20.7+0.10.80.3+0.90.20.3=0.092；P（ =3）=P（A 1A2A3）=0.10.20.3=0.006.E =10.398+20.092+30.006=
14、0.6，D =E 2（E ） 2=10.398+40.092+90.0060.6 2=0.820.36=0.46.8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过 .41证 明 ： 设 事 件 在 一 次 试 验 中 发 生 的 次 数 为 ， 的 可 能 取 值 为 0 或 1，又设事件在一次试验中发生的概率为 p，则 P（ =0）=1p，P（ =1）=p，E =0（1p）+1p=p，D =（1p）（0p） 2+p（1p） 2=p（1p）（ ） 2= .4所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 .4探究创新9.将数字 1，2，3，4 任意排成一列，如果数字 k 恰好出现在第 k 个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.解：设 为巧合数，则 P（ =0）= = ，P（ =1）= = ，P（ =2）=4A9241A2C3= ，P （ =3）=0，P（ =4）= = ，42AC14C1所以 E =0 +1 +2 +30+4 =1.249312所以巧合数的期望为 1.思悟小结1.离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.2
