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1、中国矿业大学银川学院数学建模大赛绿化带灌溉问题论文A 题 队号：141 队长名字：伏伟 队员：李艺涵绿化带灌溉问题模型的建立与分析摘要我国正日趋严重地受到水资源紧缺的制约，西北宁夏地区尤为突出，在供水不足，采用非充分灌溉时，如何在作物不同生育阶段、不同作物间科学合理地分配有限的灌溉水，使缺水造成的损失减少到最低程度，是节水灌溉管理的关键问题之一。作物-水模型是描述作物产量与水分供应时间和数量关系的数学表达，是实施有限水灌溉和优化配水的基础关键字：非充分灌溉 绿化带 节约水一、问题的概述水是人类宝贵的资源，社会的存在发展离不开水. 但我国水资源现状不容乐观，是一个干旱缺水严重的国家,尤其是宁夏缺
2、水更严重，土地沙化严重，灌溉用水占了很大一部分，实施节水灌溉对经济的发展有很大的积极意义。就全国来看，城市绿化灌溉水的浪费比较严重，灌溉用水量往往超过植物实际需水量，灌溉时间间隔以经验判断。考虑到季节性，灌溉区域重复以及时间间隔，水管长度，汲水井的位置等方面对灌溉用水的影响。本着节约成本的目的（以节约水为主要目的） ，以我院图书馆正南面广场绿化带为例(实际数据以自己测量为依据)，从以下几个方面来考虑问题。问题一：以图书馆前绿化带为例，采用滴灌方式，设置合理的汲水井个数及位置，分布水管，建立模型，使综合成本最小。问题二：针对学校内的所有绿化带，建立模型，提供一种合理灌溉方式使综合成本最小。二、模
3、型假设1.地理位置宁夏是中国水资源最少的省区，大气降水、地表水和地下水都十分贫乏。且空间上、下分布不均，时间上变化大是宁夏水资源的突出特点。宁夏水资源有黄河干流过境流量 325 亿立方米，可供宁夏利用40 亿立方米。水能理论蕴量 195.5 万千瓦。水利资源在地区上的分布是不平衡的，绝大部分在北部引黄灌区，水能也绝大多数蕴藏于黄河干流。而中部干旱高原丘陵区最为缺水，不仅地表水量小，且水质含盐量高，多属苦水或因地下水埋藏较深，灌溉利用价值较低。2.土壤情况宁夏的银川以南地区分布的是斑状轻度盐化浅色草甸土,以北地区分布的是斑状中、强度盐化草甸土和浅色草甸盐土,在地势低洼地区盐土呈大面积分布 .由于
4、地形和地下径流流速的差异,盐分产生分异作用,形成的盐土类型较多,诸如蓬松盐土、潮湿盐土、草甸盐土、沼泽盐土、苏打盐土等 ,在封闭洼地还有白僵土.盐渍土盐份主要为氯化物硫酸盐和硫酸盐氯化物,其次是重碳酸盐的苏打盐土和白僵土.3.气象资料银川属中温带大陆性气候，年平均气温 8.5，日温差 12-15，年平均日照时数 2800-3000 小时，是全国太阳辐射和日照时数最多的地区之一。年平均降水量 203 毫米，无霜期 157 天左右。主要气候特点是：冬寒长、春暖快、夏热短、秋凉早，干旱少雨，日照充足，蒸发强烈，昼夜温差大等。问题一：假设忽略确定因素，只考虑灌溉问题影响因素，建立模型。问题一模型：基于
5、 prim 算法的灌溉问题模型。三、模型思路首先将 n 个顶点看成 n 个孤立的连通分支（n 个孤立点） ，并随意选取一个点当做起点。从起点出发，加入与已知点相连的最小权值最小而且与以选取的点不构成圈的边，直到形成连通图。以下是具体实现说明：对图形的预处理与上面的模型相同，可以得到一个 0-1 的边权矩阵，这里利用 prim 算法。其主要思路是：首先在边权矩阵中从左上开始找第一个权值为 1 的元素，可以确定这条边所连接的两个节点。然后找与这两个节点能直接相连的路径（在边权矩阵中横坐标为已经找到的节点标号所对应的元素）中第一个权值为 1 的元素，重复上面的步骤，最后即可得到需要的最优方案。与上面
6、模型不相同的是，这种模型是在边权矩阵中的一部分进行寻找，而不是在整个边权矩阵中进行寻找，所以在数据量较大时将会减少运算量，提高运算速度。具体步骤将在模型的建立中仔细说明。1、模型的建立及求解与前面的模型的处理相同，首先将原来的农田缩略图抽象成连通图，并根据该连通图的连接方式用矩阵输入。接下来我们将输入的数据用 MATLAB 程序（见附件二）运行。该程序即使基于 prim 算法的求解最小生成树的程序，总体来说这种算法算是一种动态规划问题，已知第 k-1 步的结果，并且知道第 k 步的各种方案，即可得到一种递推关系，而且该问题的初值条件是容易得到的，所以可以得出我们所要的结果。对于该模型来说，通过
7、找边权矩阵中的最小的 1 的坐标可以得到最初连接的两块农田，就下来从这两块已经得到的农田出发，找出能与这两块农田相连的农田，重复上面的步骤，就可以得到连接农田的方案。该程序的运行结果与上面的模型相同。如图：根据上面得到的连接方案可以画出连接图如图 1 所示如图 12、模型的现实应用与前面模型的情况相同，由于农田的地理环境等条件有所差异，所以在不同的地点开凿灌溉渠的费用也不相同。接下来本文将处理这个问题。首先将每天灌溉渠的价格表示出来，如图 2图 3此时经变换后得到的边权矩阵由前面的 0-1 矩阵变成了不同权值的对称矩阵，prim 算法将在矩阵中找到权值最小的边，确定该边的两端节点，并从已经确定
8、的两个节点出发，寻找能与这两个点直接相连的边中最小的一条，并再次确定下面得到的节点，反映到矩阵中，就是在已经确定的节点所对应的行中找其中的最小元素。重复之前的步骤，继续寻找与已经确定的节点直接相连的最小权的边，直到将所有的点都连接起来。这样既可得到最优连接方案。而这种算法比前面的 kruskal 算法的时间复杂度小，它只需找矩阵中一部分的最小值，而不是像 kruskal 算法一样，每次都要寻找整个矩阵中所有元素的最小值。将连接方案以矩阵的形式输入运行 MATLAB 程序后可得到如下结果根据上面的连接方案可以画出下面的连接图，如图 4图 4按照之前的思路，这里应该考虑有向图的问题了，也就是上面所
9、说的，由于地势高低不同的原因，造成灌溉渠水流方向不同其修建费用也不同。接下来本文将用 prim 算法解决这个问题。对于这种问题，模型将前面的无向图变为了有向图，首先给出随机生成的开凿灌溉渠所需费用，以便本文对算法进行说明。如图 5所示图 5对于双向的连通图，prim 算法将做一些变动：由于每两个节点都有两条连接方式，它们的起点与终点不相同，所以在算法找最小元素时，不仅仅要找已经确定的节点所在的行的最小元素，还要找其所在列的最小元素，表示要找的边是可以与已知节点相连而且不计方向的最小权值所对应的边。运行 matlab 程序可得到如下结果：四、模型的建立与求解问题二：假设忽略条件问题，只考虑灌溉问
10、题的因素。 模型二：作物水模型的确认利用非充分灌溉试验得到的作物在不同处理下各生育阶段的土壤湿度及降雨资料，利用水量平衡方程计算出各生育阶段实际的作物腾发量 aET,以充分灌溉 00K1 处理下的实际腾发量作为最大腾发量m,分别与各试验处理的实际产量 aY和 m组成一组试验数据。经过数学演绎的适当变换，均可化为多元线性回归方程，利用最小二乘法的原理求回归系数的最优解，从而求解各模型的敏感系数，对敏感指数进行回归检验、阶段分配分析。本设计采用 EXCEL 电子表格进行计算。以下对模型确认中涉及到的原理、方法做一详细叙述：1、最小二乘法原理在实际问题中，从观察数据 iyx,， i=1,2,3,N
11、去预测函数 xfy的表达式，即根据给定的一组数据点 iyx,去描绘曲线的近似图象。所给数本身不一定可靠，个别数据的误差甚至可能很大，但给出的数据很多，所以曲线拟合要从一堆看上去杂乱无章的数据中找出规律，设法构造一条曲线，反映所给数据点的总趋势，消除所给数据的局部波动。直线拟合中，对于所给数据点 iyx,应尽可能的通过拟合直线bxay，要求近似的有 bayi i=1,2,N, 设 ibxay i=1,2,N 表示按拟合直线 x求得的近似值，一般地，它不同于实测值 iy，两者之差 yeii，称为残差，残差的大小是衡量拟合好坏的重要。基于以下准则： min2ie来选取拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小
12、二乘法。2、模型参数推求原理对于乘法或加法模型虽自变量结构形式不同，经过数学演绎的适当变换，均可化为多元线性回归方程，用上述最小二乘法原理求回归系数的最优解。假定因变量的估计值 Y与多元自变量 iX具有线性关系，则可以将各种加法和乘法模型转化为多元线性回归模型： inixxY121 L(5-1)式中 i回归系数代表水分敏感指标（ i或 iK） ；可用多元回归最优化方法求得。对于本葵花作物非充分灌溉试验设计共有处理 N 组，其处理号为j=1， 2， ， N， N 即多元线性回归的方程组数。作物生育阶段划分为 n 个阶段，阶段序号 i=1， 2， ， n。 n 即所求参数 i的维（元）数，由此构成
13、 N 组样品的 n 维求解问题。在 N 组处理的全面设计中，必定含有一组“湿处理” （充分灌溉） ，作为水分供应最佳状态用以观测生长极限值、达到 mY目标，其余 8组均为“干处理” （非充分灌溉） ，即包含有各个生育阶段（i）不同缺水程度的多个处理，作为劣态性（或称破坏性）试验的对比观测。为获得唯一可行解，应满足 Nn+1。为获得最优解，应满足 Nn 的约束条件。设非充分灌溉试验目标、观测 j=N 组处理（每组处理含 3 次重复） ，划分 i=n 个阶段，求得各阶段的 imaET与相应产量 imaY，共获得 N 组、n 维观测数据列 ijxY,； nNNNnnxxxYx, , ,321 332
14、13 222 13121LMML由式（5-1） ，已设模型的 Y 与各自变量 i具有线性关系，即nxx21（5-2）式中 Y实际观测值 Y 的估计值，对于 jY的估计值为 jY。由各个自变量的观测值 ijX求各 j的估计值 j，为 ijnIijnjjj x121 L（5-3）展开即如下多元线性回归方程组： nNNNnxxYLM2122 1211（5-4）估计值 j)与实际观测 j之间总是具有误差 j， jjjY)则有以下误差方程组： NnNNN nYxxYLM21 222 12111（5-5）若获得方程(5-3)的总体估计中 jY)最接近 j，利用最小二乘法原理使满足总误差 Q 最小： 211
15、2NjjjjYMin)（5-6）即应满足方程组(5-5)中的各个方程(共 N 个)，先现在等式左、右平方而后相加，再分别令： 0iQ(i=1,2,n) （5-7）可得到回归系数 i的方程组式(5-8),称正规方程组。即 jjnjnjnjn jjjj jjjnjjn jjjj jjjnjjn jjjj Yxxx Yxxxxxx LLL2211 222121 11 21211（5-8）式中 即 Nj1的简写，表示对所有处理（样品）N 的求和；ix第 i 个自变量所有样品观测（n 个）的平均值，即 nix1ij第 i 个自变量的第 j 组样品观测值；jY因变量 Y 的第 j 组(或称个)样品的观测值；因变量 Y 所有样品(共 N 个)观测值的平均值，即 jY1观测方程组（5-8）的系数 i，可知各方程求和号内各个乘积的两个因子的排列具有非规则整齐特点。方程组左边的各个乘积之和组成一个 n的方阵；主对角线上的元素是各个自变量的离差平方和，即 2iijx；主对角线元素以外的元素是各个自变量的离差乘积之和，即 kjiijx，其中 i 和 k 各表示一个自变量。方程右边的各个乘积之和，分别是各个自变量与因变量的离差乘积之和，即Yxjiij。若
