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1、数学软件实习参考题目1.请你结合人口阻滞增长模型，收集相关数据，分析建国以来我国计划生育政策变化情况，并对今后我国计划生育政策提出自己的建议。2.鱼在游动的时候通常不是作直线运动，而且也不是作水平游动，而是在不断锯齿状地向上游动和向下滑行，如下图所示，为什么鱼儿要这样游动呢？可否从能量的角度建立数学模型加以分析呢？3.德国心理学家爱宾豪斯对遗忘现象做过系统的研究，发现一条规律，遗忘过程是不均衡的，在最初阶段遗忘很快，以后会逐渐变慢，过了一段时间后就几乎不再遗忘了。可以根据实验数据拟合出一条遗忘曲线，()100k/(hlnt+k),t 的单位是天,Q 的单位是百分点,k1.84,h1.25,尝试
2、绘制遗忘曲线，并根据规律制定一个背诵 3000 个英语单词的学习计划。4.根据沪深两市近一年来的同时期日收益率等观测数据试给出他们的联合分布并绘制图形，并分析评价所建立模型的优劣。如果数据不够，可以选用近两年、三年、五年甚至十年、二十年的数据来给出他们的联合分布并绘制图形，并分析评价所建立模型的优劣。如果不用日收益率，而用日开盘价、日最高价，日最低价或日收盘价数据，结果如何，做出估计评价。5.从中国统计年鉴上查找 2014 年我国 31 个省、市、自治区和直辖市城镇居民家庭平均每人全年消费性支出的 8 个主要变量数据。为了研究我们国家的消费结构尝试建立数学模型并分析。进一步也可以收集改革开放以
3、来（1978）到 2014 年我国 31 个省、市、自治区和直辖市城镇居民家庭平均每人全年消费性支出的数据，对我们国家的消费结构的演变做进一步的分析建模。6.超市收款服务问题超市有 2n 个收银台，在收银台处的服务有两项，一是收款，二是将顾客所购得商品装入袋内。假设超市有 2n 名职工从事收银台处的服务工作。有两种安排方案：（1）只启用 n 个收银台，每个收银台处一人收款，一人装袋。 （2）启用 2n 个服务台，每人即收款又装袋。问超市经理应该选择哪种服务方案。7.针对华北水利水电大学食堂窗口的数量，开放时间，以及就餐位数量进行调查，能否满足在校学生的需求，请对食堂经营者提出合理的建议。8.建
4、立数学模型，解释给农作物长期施放杀虫剂的效果可能会事与愿违。9.世界医学协会已经宣布他们的新药物能阻止埃博拉病毒并且可以治愈一些处于非晚期疾病患者。 建立一个现实的，合理的并且有用的模型，该模型不仅考虑了疾病的蔓延，需要药物的量，可能可行的输送系统， 输送的位置，疫苗或药物的生产速度，而且也要考虑其他重要的因素， 诸如你的团队认为有必要作为模型的一部分来进行优化而使埃博拉病毒根除的一些因素， 或者至少考虑当前的状态。除了你的用于比赛的建模方法外，为世界医学协会准备一份 1-2页的非技术性的信, 方便其在公告中使用。10.四人追逐实验 如下图所示,在正方形 ABCD 的四个顶点各有一个人。设在初
5、始时刻 时，0t四人同时出发匀速以 沿顺时针走向下一个人。如果他们始终对准下一个人为v目标行进，最终结果会如何。作出各自的运动轨迹。11. 舰艇追击实验某缉私舰雷达发现距 d=10km 处有一艘走私船正以匀速 u=8km/h 沿直线行驶，缉私舰立即以速度 v=12km/h 追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。12.某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。 生产甲机床需用 A、 B 机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床 需用 A 、B、C 三种机器加工，加工时间为每台各一小
6、时。若每天可用于加工的机器时 数分别为 A 机器 10 小时、B 机器 8 小时和 C 机器 7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？13. 下 面 列 出 的 是 某 厂 随 机 选 取 的 20 只 部 件 的 装 配 时 间 (分）： 9.8,10.4,10.6,9.6,9.7,9.9,10.9,11.1,9.6,10.2,10.3,9.6,9.9,11.2,10.6,9.8,10. 5,10.1,10.5,9.7。设装配时间的总体服从正态分布，是否可以认为装配时间的均值显著地大于 10（取 =0 .05 ） 。14.考虑三个容器中盐溶液的混合。各容器的容积均为 V。设
7、盐溶液每分钟从第一个容器流向第二个容器的速度恒为 K1，每分钟第二个容器流向第三个容器和从第三个容器流回第一个容器的速度恒为 K2，每分钟从第二个容器流回第一个容器的速度恒为K3。 （K1=K2+K3）建立关于各容器盐溶液浓度的理论模型。若 V=10L，K1=2L/min，K2=1L/min，K3=1L/min，给出各容器盐溶液浓度随时间的变化规律。若 V=10L，K1=3L/min，K2=2L/min，K3=1L/min，给出各容器盐溶液浓度随时间的变化规律。15.雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运
8、气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。16.时针与分针在第一次重合后，还要经过多长时间才会再次重合呢？自12：00 到 24：00，它们共重合多少次，都是在什么时间点重合呢？17.一个身高为 H 的铅球运动员，完全凭借自己的体能与技术，如何才能把铅球掷得最远？18.假设你有质量分别为 1 克、2 克和 3 克的砝码各一枚，问只用这些砝码各一次你能称出哪几种质量的
9、物体来？而对每种质量确定的物体又有多少种不同的称量方案？尝试使用多项式建立该类问题的数学模型。19.地震灾后的物资分配近年来，我们生活的地球发生了多次大地震，虽然地震的预测目前比较困难，但如果在灾后能及时援救，可以很大程度减少伤亡，其中救援物资的分配非常关键。在我国汶川大地震中，由于物资调配及时，在很大程度上降低了灾害的影响。香港大公报报道，智利地震后在救援物资的分配上出现了严重不均，最先得到救援物资的是有钱人和军人家属，穷人因根本分不到物资而苦等或索性抢劫。而在最近的日本大地震中，还有一些已经躲过地震及海啸灾难的民众，却因为生活物资没有分配到位而在避难所死亡。为研究地震灾害后的物资分配问题，
10、请考虑以下问题：1)考虑灾区、受灾者和物资等的不同，建立数学模型制定分配原则并给出合理的分配方法。2) 收集各类实际数据，给出一个符合题意的数值算例。3) 通过以上分析，给出你的量化优化方案及建议。4) 针对今年这次尼泊尔 8.1 级地震波及到西藏等地，请您就西藏的救灾物资分配给出一个物资分配的意见来支持西藏的救援。考虑本问题时，你需要注意：1)各受灾者的灾情不同，对每种生活类物资的急需程度和需求量不同。而且各地的灾情在不断发生变化，如何优化方案应对这种变化。2)抗震救灾生活类物资应当根据受灾区域大、小受灾程度、人口密度、灾区群众需求进行分配，保证重点，确保及时、快捷、高效、公开、公平、公正发
11、放。严禁物资发放中的优亲厚友、性别歧视、年龄歧视和孤残歧视行为，在保障需求的同时，避免浪费。3)数值算例最好采用实际数据，并且请尽量提高数据容量。4)可以考虑线性规划、整数规划、多目标规划等各类优化模型。5)物资分配中很多主观因素，例如接受意愿、歧视等问题，这些因素能否考虑到模型中？20.椅子的稳定性问题将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。21.报童的诀窍报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为 b，零售价为 a，退回价为 c，假设 abc。即报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔 b-c。报童每天购进报纸
12、太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。22.植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为 AA、Aa 和 aa 。研究所计划采用 AA 型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？23.观众厅地面设计在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。24.高速公路限速 120km/h、车间距规定 200m，
13、请你通过速度每增加或减少5km/h，对刹车距离造成的影响，并向交通参与者写一篇公告。25.一位饮食公司的分析人员想调查自助餐馆中的自动咖啡售货机数量与咖啡销售量之间的关系，他选择了 14 家餐馆来进行实验。这 14 家餐馆在营业额、顾客类型和地理位置方面都是相近的。放在实验餐馆的自动售货机数量从0（这里咖啡由服务员端来）到 6 不等，并且是随机分配到每个餐馆的。下表是关于实验结果的数据。自动咖啡售货机数量与咖啡销售量数据餐馆 售货机数量 咖啡销售量 餐馆 售货机数量 咖啡销售量12345670 508.10 498.41 568.21 577.32 651.72 657.03 713.4891
14、0111213143 697.54 755.34 758.95 787.65 792.16 841.47 831.81)作线性回归模型；2)作多项式回归模型；3)画出数据的散点图和拟合曲线图；4)对所做内容进行分析说明。26.下表是 40 名肺癌病人的生存资料，其中 X1表示生活行动能力评分（1100） ；X2 表示病人的年龄； X3表示由诊断到进入研究时间（月） ； X4表示肿瘤类型（“0”是鳞癌， “1”是小型细胞癌；“2”是腺癌， “3”是大型细胞癌） ； X5表示两种化疗方法（“1”是常规， “0”是试验新法） ；Y 表示病人的生存时间（“0”是生存时间短，即生存时间小于 200 天；
15、“1”表示生存时间长，即生存时间大于或等于 200 天） 。1)建立 P（Y=1）对 X1 X5的 logistic 回归模型，X1 X5对 P（Y=1）的综合影响是否显著？哪些变量是主要的影响因素，显著水平如何？计算各病人的生存时间大于等于 200 天的概率估值。2)用逐步回归法选取自变量，结果如何？在所选模型下，计算病人的生存时间大于等于 200 天的概率估值，并将计算结果与（1）中模型作比较，差异如何？哪一个模型更合理？40 名肺癌病人的生存资料序号 X1 X2 X3 X4 X5 Y序号 X1 X2 X3 X4 X5 Y1 70 64 5 1 1 1 21 60 37 13 1 1 023456789101112131415161718192060 63 9 1 1 070 65 11 1 1 040 69 10 1 1 040 63 58 1 1 070 48 9 1 1 070 48 11 1 1 080 63 4 2 1 060 63 14 2 1 0 30 53 4 2 1 080 43 12 2 1 040 55 2 2 1 06
