案例：几何证明部分知识总结

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1、案例：几何证明部分知识总结 1为了对几何证明部分知识进行一个全面的小结，刘老师布置了如下课外作业：1. 每人作初中几何证明的知识总结，内容覆盖证明一、 证明二、 证明三，并以 PPT 文件或 Word 文档的形式于 1 周内提交，根据作业 情况记为平时成绩；1 周后，随机抽取 4 名同学作课堂汇报并答辩，视汇报答辩情况对平时成绩加分或减分，其他同学 对汇报提出质疑或作点 评，并 对平时成绩加分。2. 你认为初中几何证明中对你最有挑战性的问题是什么问题，提出你的各种解决方案。3. 初中几何证明中你最喜欢的一个题目是什么？你为什么会喜欢这个题目？4. 谈谈你学习初中几何证明的感悟与体会下面是 02

2、 级初三(1)班王珊珊同学提交的作业：（尊重事实起见，文字未做修改） 1初中几何证明知识结构 知识梳理路线线与角概念公理定理 三角形面 四边形（注：王珊珊同学上交的 PPT 文件中对上面知识网络图上每一个“结点”都进行了比较详细的拓展，如对于三角形，该生分别就一般三角形全等的判别、特殊三角形的判别与性质、三角形中特殊线（中线、中垂线、角平分线等）的性质等作了详细的梳理，限于篇幅，这里省略了其具体内容，此外，王珊珊同学还对几何证明的一些方法进行了整理） 。 特殊方法归纳 证明线段相等的一般方法 证明线段所在的三角形全等； 证明两线段为同一等腰或等边三角形的两腰； 证明其连接中垂线上的点到同线段的

3、两端； 证明两线段为平行四边形的对边；同一直角三角形斜边中线； 等量代换 同一三角形同一边的中位线； 作辅助线间接证明； 证明线段之间 关系的一般方法12 证明为中线（或根据等腰三角形三线合一）； 直角三角形斜边的中线是斜边的一半（直角三角形斜边与斜边中线）； 30角所对直角边是斜边的一半（30角直角三角形短直角边与斜边）； 三角形中位线定理2最具挑战性的问题已知等边ABC 和点 P,设点 P 到ABC 三边 AB,AC,BC 的距离分别为 h1,h2,h3,ABC 的高为 h.若点P 在一 边 BC 上( 如 图 1),此时 h3 0,可得结论:h1+h2+h3=h.1刘黔昉 新课程教学中知

4、识概括的作用与地位探讨 以初中几何证明知识总结为例，时代数学学习（教研版）2005 年 5-6 合期。 图 1 图 2 图 3当点 P 在 ABC 内（如 图 2），点 P 在ABC 外（如图 3）这两种情况时上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1 ，h2，h3 与 h 之间又有怎样的关系给出猜想，无须证明。证明：如图 2，过 P 作 BC 的平行线， 则由条件得 PD+PE+PO=AG。又 AMOF，所以 GM=OF，所以PD+PE+PF=AM，即 h1+h2+h3=h。如图 3，猜想：h1+h2-h3=h本题是一道信息题，是要你通 过给 出的结论举一反三得到别的结论， 这首

5、先需要读懂题目，而让我很有体会的是这一题有多种解法，且我与答案的方法完全不一样，我通 过 上图添加辅助线的方法将看似不一样的图形转换成一样的图形，从而直接利用 结论，而答案 则是通过面积 来求的，我个人认为，自己的方法更符合题目要求，因为 我更直接的利用了 题目中所给的条件，且方法 较为简单 。这道题本身并不很难，但从中折射出中考又一种新题型确值得重视，而且在多种方法中 选择最符合要求、简单的也十分重要，所以我认为它很具有挑战性，挑战我们，也是挑战一种全新的思维模式3最喜欢的题目如图，矩形 ABCD 中，ADAB，O 为对角线的交点，过 O 作一直线分别交 BC，AD 于 MN（1）求证：梯形

6、 ABMN 的面积等于梯形 CDNM 的面积（2）如图，当 MN 满足什么条件时，将矩形 ABCD 以 MN 为折痕，翻折后能使 C 点恰好与 A 点重合？（无须证明）（3）在（2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积与重叠部分的面积相等，求 BM：MC 的值解答：（1）证明:连接 AC，则 O 为 AC 的中点在矩形 ABCD 中，因为 ADBC，所以，NAO= MCO。又AON= COM，OA=OC，所以 AONCOM（AAS），所以 AN=CM。 又 AD=BC,所以 BM=DN.又 AB=CD,所以S 梯形 ABMN=1/2(BM+AN)*AB=1/2(ND+MC)*CD= S 梯形 C

7、DNM（2）MN 垂直平分 AC。（3）证明:由 AF=CD,AB=CD,得 AB=AF. 所以 BM=DN ,FN=DN， 所以 BM=FN.又 AFN=CDN=90，所以 RtAFNRtABM.， 所以 SAFN=SABM，又 SAMN=SABM+SAFN=2SABM，所以 *AN*AB=2*BM*AB，所以 BM:AN=1:2，又 MC=AN，所以 BM:MC=1:2此题综合考察了证明能力,运用的知识点有全等的判定,梯形面积的计算,等量间的代换,同时还有如何添加辅助线和空间观念,这是一道折纸题,所以我CC C C们要对翻折后不变,相等和成特殊关系的量十分清楚,对于重叠部分的关系也要有明确

8、的概念,我十分欣赏这题对于空间观念的考察方式,这不仅可以锻炼我们的思维,而且也可以使我们灵活运用知识,不死背概念,而且本章主要与边角联系,而这道题不仅考察了对矩形性质的了解,而且是从面积入手,十分新颖,最后求的是比值关系.总之,这题考察我们综合应用知识和空间想象能力,是一道将几何与实际联系起来的题目.4感悟与体会证明一是初中阶段第一次接触证明，此章从全面阐述证明的必要性开始，让我们体会到数学不仅需要直觉更需要严谨的道理论述，要判断一个命 题是否正确光靠实验 是不够的， 还要有理论的基础从而我们的数学开始从实验数学向论证数学发展本章中主要学 习了线段中平行的性质、判定和重要特殊 图形中角之间的关

9、系，线段的平行在特殊四边形中应用广泛，而角之 间的关系 则为证明（二、三）中三角形、四边形角与角之间的大小转换作铺垫而本章中体现的公理化方法也是一个很重要的数学思想，它不仅体现在数学领域，包括物理中的力学（阿基米德原理）、天文学甚至是美国独立宣言都深受欧式几何公理体系影响，包括我们生活中的种种标准和规定也运用了这一点，足见数学证明中的抽象方法在现实中的作用证明二给我最大的感受是严谨,从中不仅可以学到许多定理,更重要的是学会一种证明的思路和研究路径（1）通过全等的引入得到等腰三角形的性质和判定,再在等腰三角形的基础上研究它的特殊情况- 等边三角形而直角三角形性质的证明，立即用将其补成一个等边三角

10、形来作，在证明（三）出现的直角三角形性质和三角形中位线定理则被用于特殊四边形的证明，知识十分紧密（2）在研究三角形中本章主要研究了几种特殊三角形，从边与边，角与角，边与角，特殊 线段与边角之间的关系入手，逐一找寻之间的联 系， 这样不仅不重不漏也便于我们记忆 证明三是对证明一、 证明二内容的 综合应用，主要从 边、角、对 角线来研究特殊的四边形，从中体现了归纳、类比和化 归等数学思想，对各种四边形的性质进行比较总结 出规律，在证明过程中我们也都是将一个新图形转变成曾经学过的旧图形，利用已经掌握的性质去得到新的性质 对于较难的题目，我们首先要分析，要想得到最后结论可以从哪些方面入手，从中选出最合适的一条，用分析法和综合法相结合的手段，通过添加一些辅助线从复杂的图形中找出简单的图形加以解决瞧，王珊珊的梳理全面而深刻，对知识网络图上每一个“结点”都进行了比较详细的拓展；既有对喜爱问题和挑战性问题的描述，更有精妙的分析和自身的感悟！面对如此学生，我们何须担忧学生的学力不济呢！旁白：当然，教师作业的精心布置，可不要忽略哟！不妨分析一下刘老师布置几个不同作业的意图所在。