学生宿舍设计方案的层次分析模型

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1、1学生宿舍设计方案的层次分析模型数学与计算机科学学院 数学与应用数学105012012023 陈瑶琼 指导老师：唐嘉【摘 要】基于美国运筹学家 T.LSaaty 等人提出的层次分析模型的背景、方法及步骤的介绍，以 2010 年全国大学生数学建模竞赛 D 题为例，阐述该模型的基本步骤在层次分析概念界定的基础上，重点探讨层次分析的实际应用，在实际生活的决策问题中充分体现该模型的实用性、必要性 【关键词】层次分析法；基本概念；实际应用1 引言1.1 层次分析法产生背景在日常生活中，人们经常会碰到各种决策问题：例如逛街购物，买一件衣服，要在纯棉羊毛，纤维的以及中长，合身或者短的之中做出抉择 5；宿舍聚

2、餐，要筹划是去外面吃还是在宿舍，自己买东西回来煮；外出旅游，是去北国冰封的哈尔滨，还是以东方明珠著称的上海，或者去峡谷纵横深切的香格里拉，这些都是人们在日常生活中会遇到的问题当然远不止这些问题，对于大四的学子们，面临着考研、考公、或是公司直接应聘或是招考应聘，工作岗位多，选择多，当然抉择也就多了，因此要慎重考虑各方面的影响因素、并经过反复的比较，尽可能地作出自己满意的决策，选择较优的去处在处理以上这些决策问题的时候，人的主观选择有相当主要的作用，因此就不能用一般的数学方法解决这类问题 51.2 层次分析法意义人们在日常生活中常常碰到许多决策问题，很多人为此犹豫不决，为了帮助现阶段很多有“选择困

3、难症”的人抉择，因此研究这种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析法1.3 层次分析法的方法与步骤由美国运筹学家 T.LSaaty 等人在 20 世纪 70 年代提出的层次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP) 6，它是能有效地处理这类决策问题的实用方法它的基本思路是：第一，根据问题的要求，提出一个总的目标第二，将问题按层分解，对同一层内的诸因素通过两两比较确定出对于上一层目标的权系数第三，依此类似的层层分析下去最后，得出所有因素相对于总目标按重要程度的排序用层次分析法解决实际的决策问题的基本思路跟人对于复杂的决策问题的思维及判断过程是一致的 1以 2010

4、年全国大学生数学建摸 D 题对学生宿舍设计方案的评价为例：本题给出了四种方案，让咱们对其进行评价，主要考虑以下三个因素：（1）经济性；（ 2）舒适性；（3）安全性其中经济性包含建设成本、运行成本和收费标准等方面；舒适性包含人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等方面；安全性包含人员疏散和防盗等方面 4首先，可以根据自己的实际情况对这几个因素进行反复比较，确定各个因素在心目中所占的比重；其次，可以将子准则与对应的准则层作对比；接下来，可以将子准则层与四个方案进行对比；最后，要把这三个层次的比较结果进行综合，在四个方案中确定最佳方案上面的思考过程可以加工成下面的几个步骤：（1 ） 把决策问题分成

5、四个层次：最上面的一层为目标层，即方案评价；第二层为准则层，有经济性、舒适性、安全性 3 个准则；第三层为子准则层，经济性的子准则层包含建设成本、运行成本和收费标准，舒适性的子准则层包含人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风，安全性的子准则层2包含人员疏散和防盗；最下层为方案层，有四个方案待选择 2各层次间的联系用直线相连表示，如图 1-1 所示图 1-1 对学生宿舍设计方案的评价层次结构图（2）通过两个两个之间比较，确立准则层对于目标层的比重及子准层对于每一准则层的比重以及各个方案层对于每一子准则层的比重这些比重在人们的思考过程中通常是定性的，在层次分析中则要给出定量的方法，即确定比重（3

6、 ）把方案层对子准则层的比重、子准则层对准则层的比重及准则层对目标层的比重进行综合，最终确定方案层对目标层的比重用层次分析法完成以上步骤，并给出决策结果接下来，一起为大家讲明该怎样比较同一层的各因素对其上一层因素的影响，确定在上层因素中所占的比值1.3.1 成对比较矩阵和权向量假设要比较某一层 个因素 对上层一个因素 的影响 7，采用相对尺度进行两两对比，nnc,21Lo即一次取两个因素 和 ，用 表示 和 对 的影响的比值，比较的结果可以用成对比较矩阵 1icjijaijnijaA)(其中 ，这种矩阵称为正互反矩阵 3，如用 依次表示经济性、舒适性和安全性ijijija/1,0 321,c三

7、个准则，设某人用成对比较法得到的成对比较矩阵 2为 13/5A上述矩阵中 ，表示经济性 与安全性 对方案评价这个目标 的重要性之比为 可以513a1co1:5看出，此人在方案评价中，首先考虑方案的经济性，其次是方案的舒适性，最后是方案的安全性仔细分析一下此成对比较矩阵可以发现， 与 之比为 ， 与 之比为 ， 与 之比为 ，121:3c31:52c3:由于 ，所以该成对比较并非完全一致的况且 个因素要做的比较次数为 ，次数2313a n)1(n较多，若要求全部一致，太过于苛刻了所以， Saaty 等人给出了一个在成对比较出现不一致的情况方案评价经济性 舒适性 安全性建设成本 运行成本 收费标准

8、 互不干扰 采光通风人均面积 使用方便 人员疏散 防盗方案一 方案二 方案三 方案四目标层 A准则层 B子准则层C方案层 D3下运算各因素 对因素 的影响比重的方法，且确立了其不一致的允许区域为了讲明上面nc,21Lo的问题，先看成对比较是完全一致的情况定义 1 假如在一般情况下一个正互反阵 满足：Aikjia),21,(njL则 称为一致性矩阵，简称一致阵 1A性质 1 一致阵 的秩为 1，且有唯一非零的特征根 ，且其任意一列向量都为对应着特征根A非零的特征向量n假如成对比较阵 是一个一致阵，则应取对应特征根 非零的、且归一化的特征向量（各个分向n量的和为 1）表示因素 对其上一层因素 的影

9、响比重此向量叫做权向量假如成对比较nc,21Lo阵 不是一个一致阵，但它是在不一致的允许区域内，Saaty 等人建议了用它的最大特征根 的特征A 向量，进行归一化，作为权向量 ，则 1A1.3.2 最大特征根和特征向量的算法上面提及最大特征根和特征向量，接下来，本人将给大家介绍几种算法在高中已有接触过矩阵的特征根及特征向量的算法，在大学高等数学中也有继续深入的学习，当然数学专业的学生，还更进一步的通过高等代数学习这些内容通常的算法，是用定义计算矩阵的特征根和特征向量，这样的算法计算量比较大一点，特别是矩阵阶数较高的时候若有 MATLAB，可以用其计算；若无，则尽量不要用定义计算，因为成对比较阵

10、是比较粗糙的量化结果，对它作精确计算是没必要的，以下介绍了几种方法（1 ）幂法 1基本步骤：任取 维归一化的初始向量 ；n)0(计算 ；L,21,)()1(kAk将 归一化，即令 ；)1(k niki1)(1)(对于预先给定的误差精度 ，当 时， 就是所求的特征向量， ),21(,)()( nikiki L)1(k否则返回这一步；算出最大特征根 niki1)(这是利用迭代方法求最大特征根对应特征向量 可随意取，或着也可取由下面方法得到的结)0(果（2 ）和法 1基本步骤：把 A 的每一列向量都归一化得 ；nijijija14对 按行累加求和得 ；ijnjiji1把 归一化 就是近似特征向量；i

11、 Tnniiii ),(,211L算出 ，以此当做所求的近似值niiA1)(这个方法是把 的列向量归一化后取它的平均值，当做 的特征向量因为当 是一个一致阵时，AA的任意一个列向量都是特征向量，所以若 的不一致性不会那么严重，把 列向量归一化的平均值A作为近似的特征向量是可以的（3 ）根法 1基本步骤与和法大致相同，只是将这一步改为对 按行累加求积，并开 次方，即ijnnjiji1)(根法实际上是把和法中求列向量的算术平均值换成求其几何平均值上述三个方法中，和法是最为简便的，用其解上述成对比较阵： 归 一 化按 行 求 和列 向 量 归 一 化 319.078.1.07.13.03256.9.

12、65.13/5A 397.46.A， 08.)16.20.793.0451(1.3.3 比较尺度当咱们在比较两个因素 和 对于一个上层因素 的影响时，若 和 具有不同的性质，咱们icj oicj采用 Saaty 等人提出的 1-9 尺度，即采用 的取值范围是 1，2，9 和它们各自的倒数ija1， 1/2，1/9 1，理由有两点：；一是心理学里面，人的记忆方块是 ，人们的判断能力也在27中；二是 Saaty 曾用过 27 种比较尺度，将 27 种比较尺度进行对比， 1-9 尺度比较好1-9 尺度27的含义如表 1-1 所示 ija5表 1-1 尺度 的含义ija1.3.4 一致性检验定理 2

13、阶正互反矩阵 的最大特征根 ，当 时，A 才是一致阵nAn定义 2 ，Saaty 将 称作一致性指标 8， 是 阶正互反阵 的最大特征根 1)1(CICIn当 时， 是一致阵； 越小，一致性程度越高；反之， 越大，一致性程度越低由0 CI于 的 个特征根之和等于 的迹，也就是对角线之和，因为 ，所以 的 个特征根之和AnAAtr)(n等于 ，因此 实际上是除了 之外，剩余的 个特征根的平均值I1n定义 3 ，Saaty 将 称作随机一致性指标其中 是 阶随机正互反矩阵的最大)1(nRRI 特征根的平均值，Saaty 对不同的 ，用充分大的样本运算出的随机一致性指标 的数值如表 1-2 所RI示

14、表 1-2 随机一致性指标 的数值 1RI定义 4 ，Saaty 将 称作随机一致性比率RIC当 时，则可认为该矩阵 的不一致性程度在允许区域内刚才求解过上述成1.0A尺度 ija 含义1 和 的影响相同icj3 和 的影响稍强ij5 和 的影响强icj7 和 的影响明显强ij9 和 的影响绝对强icj2，4，6 ，8 和 的影响之比在上述两ij个相邻等级之间9/1,L与 的影响之比为上面jci的倒数ijan1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11I0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.516对比较阵，求得 ， ，则0387.T)10

15、63.,2.,63.(， ，所以 ，通过一致性检验，1953087.CI 8RI 1.036.58.9CR该 可以作为权向量在学生宿舍设计方案的评价中，我们前面已经算出了准则层对目标层的权向量，把它记作咱们可以用同样的办法构造子准则层对各自的准则层的成对比较阵，还有方),(2(3)21)案层对每一个子准则层的成对比较阵在此为便于解题，先提出以下几个假设：假设四个设计方案的建设成本的单价是一致的；假设四个设计方案的运行成本的单价是一致的；假设四个设计方案的收费标准的单价也是一致的；假设每个地域风的动力因素和光照强度相差不多；假设每个地域的治安条件相差不多；假设四个设计方案里的寝室互不干扰咱们先来算子准则层对各自的准则层的成对比较阵，建设成本、运行成本和收费标准对经济性的成对比较阵为 ；人均面积、使用方便、互不干扰、采光1B通风对舒适性的成对比较阵为 ；人员疏散和防盗对安全性的成对比较阵为 ，经过比较得出 、2B3B1B、 2分别如下2B313/24/1 12/31/2B13/B方案