《北京市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页（共 18 页）2015-2016 学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题1已知集合 U=1，2，3，4，集合 A=1，3，4，B= 2，4，则集合（ UA）B= （）A2 B4 C1，3 D2，42x 20 是 x0 的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也必要条件3在等比数列a n中，a 2=6，a 3=18，则 a1+a2+a3+a4=（）A26 B40 C54 D804设等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn若 a1=d=1，则 的最小值为（）A10 B C D +25为了得到函数 y=sin（2x ）的图象，可以将函数
2、y=sin2x 的图象（）A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度6已知平面向量 ， 满足| |= =2， （ +2 ）（ ）= 6，则 与 的夹角为（）A B C D7己知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR，都有 f（x+2）=f（x） 当0x1 对，f（x）=x 2若直线 y=x+a 与函数 y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是（）A0 B0 或 C0 或 D 或8设ABC，P 0 是边 AB 上一定点，满足 ，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则（）AABC=90 BBAC=90 C
3、AB=AC DAC=BC二、填空题9已知两点 A（1，1） ，B（1，2） ，若 = ，则 C 点坐标是_第 2 页（共 18 页）10在等差数列a n中，2（a 1+a4+a7）+3（a 9+a11）=24，则此数列的前 13 项之和等于_11设函数 ，则实数 a 的取值范围是_12若正数 a，b 满足 a+b=10，则 + 的最大值为_13在平面直角坐标系 xOy 中，A （1，0） ，函数 y=ex 的图象与 y 轴的交点为 B，P 为函数y=ex 图象上的任意一点，则 的最小值_14已知点 A（ ， ） ， B（ ，1） ，C（ ，0） ，若这三个点都在函数 f（x）=sinx 的图象
4、上，则正数 的 所有取值的集合为_三、解答题.15已知a n是等差数列，满足 a1=3，a 4=12，数列b n满足 b1=4，b 4=20，且b nan为等比数列（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）求数列b n的前 n 项和16已知函数 f（x）=sinxcosx+cos 2x （1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）的单调递减区间；（3）若函数 f（x）在区间0 ，m上恰好有 10 个零点，求正数 m 的最小值17如图，A、B 是单位圆 O 上的点，C 、D 分别是圆 O 与 x 轴的两个交点，ABO 为正三角形（1）若点 A 的坐标为 ，求 cosBOC 的值；（2）若
5、AOC=x（0x ） ，四边形 CABD 的周长为 y，试将 y 表示成 x 的函数，并求出 y 的最大值18已知函数 f（x）=（x 2+ax+a）e x，其中 aR（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若存在 m，n（2，3） ，且 mn，使得 f（m ）=f（n） ，求实数 a 的取值范围19设函数 f（x）=ln（x+1）+a（x 2x） ，其中 aR第 3 页（共 18 页）（1）当 a=0 时，求证：f（x ）x，对任意的 x（0，+）成立；（2）讨论函数 f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若x0，f（x）0 成立，求 a 的取值范围20设集合 S=x|x= ，kN *（1
6、）请写出 S 的一个 4 元素，使得子集中的 4 个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列a n中的每一项都在 S 中，且公比为 q，求证：q（0， ） ；（3）设正整数 n1，若 S 的 n 元子集 A 满足：对任意的 x，yA，且 xy，有|xy| ，求证： n15第 4 页（共 18 页）2015-2016 学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1已知集合 U=1，2，3，4，集合 A=1，3，4，B= 2，4，则集合（ UA）B= （）A2 B4 C1，3 D2，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集与并集的定义，进行计算即可【解
7、答】解：集合 U=1，2，3，4，A=1， 3，4，B=2，4， UA=2，（ UA）B=2，4故选：D2x 20 是 x0 的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据 x20，得到 x 的范围和 x0 比较即可【解答】解：由 x20 得到：x0，而 x0 推不出 x0，不是充分条件，由 x0 能推出 x0，是必要条件，x 20 是 x0 的必要不充分条件，故选：B3在等比数列a n中，a 2=6，a 3=18，则 a1+a2+a3+a4=（）A26 B40 C54 D80【考点】等比数列的前 n 项和【分析】
8、根据等比数列a n中，a 2=6，a 3=18，求得数列的首项与公比，即可求和【解答】解：等比数列a n中，a 2=6，a 3=18， =3， =2a 1+a2+a3+a4=2+618+54=40故选 B第 5 页（共 18 页）4设等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn若 a1=d=1，则 的最小值为（）A10 B C D +2【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由已知条件推导出 = = ，由此利用均值定理取最小值【解答】解：等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sna 1=d=1， =1+ += + = ，当且仅当 ，即 n=4 时， 取最小值 故选：B5为了得到函数 y
9、=sin（2x ）的图象，可以将函数 y=sin2x 的图象（）A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度【考点】五点法作函数 y=Asin（x+）的图象【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论【解答】解：函数 y=sin（2x ）=sin2（x ），为了得到函数 y=sin（2x ）的图象，可以将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度故选 A6已知平面向量 ， 满足| |= =2， （ +2 ）（ ）= 6，则 与 的夹角为（）第 6 页（共 18 页）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据
10、条件进行向量数量积的运算即可得出，从而可求出 的值，进而便可得出向量 的夹角【解答】解： ； =6； ； ； 故选：C7己知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR，都有 f（x+2）=f（x） 当0x1 对，f（x）=x 2若直线 y=x+a 与函数 y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是（）A0 B0 或 C0 或 D 或【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质【分析】由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的 m，或 n 是满足题意，求出其对应的 a 值即可【解答】解：由对任意的 xR，都有 f（x+2）=f（x）可知，函数的
11、周期为 T=2，结合函数为偶函数，且当 0x1 对，f（x）=x 2 可作出函数 y=f（x）和直线 y=x+a 的图象，第 7 页（共 18 页）当直线为图中的直线 m，n 时，满足题意，易知当直线为 m 时，过原点，a=0 ，当直线为 n 时，直线与曲线相切，联立 ，消 y 可得 x2xa=0，由=1+4a=0 可得 a= ，故 a 的值为 0，或 ，故选 C8设ABC，P 0 是边 AB 上一定点，满足 ，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则（）AABC=90 BBAC=90 CAB=AC DAC=BC【考点】平面向量数量积的运算【分析】设| |=4，则| |=1，过点 C 作 AB 的
12、垂线，垂足为 H，在 AB 上任取一点P，设 HP0=a，则由数量积的几何意义可得 | |2（a+1）| |+a0 恒成立，只需=（a+1） 24a=（a1） 20 即可，由此能求出ABC 是等腰三角形，AC=BC 【解答】解：设| |=4，则| |=1，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H，在 AB 上任取一点 P，设 HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=| | |=| |2（a+1）| |， =a，于是 恒成立，整理得| |2（ a+1）| |+a0 恒成立，只需=（a+1） 24a=（a1） 20 即可，于是 a=1，第 8 页（共 18 页）因此我们得到 HB=2，即 H 是 A
13、B 的中点，故ABC 是等腰三角形，所以 AC=BC故选：D二、填空题9已知两点 A（1，1） ，B（1，2） ，若 = ，则 C 点坐标是 【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出【解答】解： = ，= 故答案为： 10在等差数列a n中，2（a 1+a4+a7）+3（a 9+a11）=24，则此数列的前 13 项之和等于26【考点】数列的函数特性【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出【解答】解：等差数列a n中，2（a 1+a4+a7）+3（a 9+a11） =24，6a 4+6a10=24，2a 7=4，即 a7=2则此数列的前 13 项之和 S13=
14、 =13a7=26故答案为：26第 9 页（共 18 页）11设函数 ，则实数 a 的取值范围是3 a1【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当 a0 和 a0 两种情况，进而求出实数 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x）为分段函数，当 a0 时， 1，得 0a 1当 a0 时， 1，解得 a 3，即3a 0，故答案为：3 a112若正数 a，b 满足 a+b=10，则 + 的最大值为 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值【解答】解：正数 a，b 满足 a+b=10，令 y= + ，则 y2=a+2+b+3+2 ，a+b=10，15=a+2+b+32 （当 a+2=b+3 时等号成立） ，y 230， + 的最大值为 故答案为： 13在平面直角坐标系 xOy 中，A （1，0） ，函数 y=ex 的图象与 y 轴的交点为 B，P 为函数y=ex 图象上的任意一点，则 的最小值1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得向量的坐标，进而可得 =x0+ ，构造函数 g（x）= x+ex，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，
