《北京市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北京市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页(共 18 页)2015-2016 学年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)一、选择题1已知集合 U=1,2,3,4,集合 A=1,3,4,B= 2,4,则集合( UA)B= ()A2 B4 C1,3 D2,42x 20 是 x0 的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也必要条件3在等比数列a n中,a 2=6,a 3=18,则 a1+a2+a3+a4=()A26 B40 C54 D804设等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sn若 a1=d=1,则 的最小值为()A10 B C D +25为了得到函数 y=sin(2x )的图象,可以将函数
2、y=sin2x 的图象()A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度6已知平面向量 , 满足| |= =2, ( +2 )( )= 6,则 与 的夹角为()A B C D7己知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 xR,都有 f(x+2)=f(x) 当0x1 对,f(x)=x 2若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是()A0 B0 或 C0 或 D 或8设ABC,P 0 是边 AB 上一定点,满足 ,且对于边 AB 上任一点 P,恒有则()AABC=90 BBAC=90 C
3、AB=AC DAC=BC二、填空题9已知两点 A(1,1) ,B(1,2) ,若 = ,则 C 点坐标是_第 2 页(共 18 页)10在等差数列a n中,2(a 1+a4+a7)+3(a 9+a11)=24,则此数列的前 13 项之和等于_11设函数 ,则实数 a 的取值范围是_12若正数 a,b 满足 a+b=10,则 + 的最大值为_13在平面直角坐标系 xOy 中,A (1,0) ,函数 y=ex 的图象与 y 轴的交点为 B,P 为函数y=ex 图象上的任意一点,则 的最小值_14已知点 A( , ) , B( ,1) ,C( ,0) ,若这三个点都在函数 f(x)=sinx 的图象
4、上,则正数 的 所有取值的集合为_三、解答题.15已知a n是等差数列,满足 a1=3,a 4=12,数列b n满足 b1=4,b 4=20,且b nan为等比数列(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)求数列b n的前 n 项和16已知函数 f(x)=sinxcosx+cos 2x (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)的单调递减区间;(3)若函数 f(x)在区间0 ,m上恰好有 10 个零点,求正数 m 的最小值17如图,A、B 是单位圆 O 上的点,C 、D 分别是圆 O 与 x 轴的两个交点,ABO 为正三角形(1)若点 A 的坐标为 ,求 cosBOC 的值;(2)若
5、AOC=x(0x ) ,四边形 CABD 的周长为 y,试将 y 表示成 x 的函数,并求出 y 的最大值18已知函数 f(x)=(x 2+ax+a)e x,其中 aR(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)若存在 m,n(2,3) ,且 mn,使得 f(m )=f(n) ,求实数 a 的取值范围19设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x 2x) ,其中 aR第 3 页(共 18 页)(1)当 a=0 时,求证:f(x )x,对任意的 x(0,+)成立;(2)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由;(3)若x0,f(x)0 成立,求 a 的取值范围20设集合 S=x|x= ,kN *(1
6、)请写出 S 的一个 4 元素,使得子集中的 4 个元素恰好构成等差数列;(2)若无穷递减等比数列a n中的每一项都在 S 中,且公比为 q,求证:q(0, ) ;(3)设正整数 n1,若 S 的 n 元子集 A 满足:对任意的 x,yA,且 xy,有|xy| ,求证: n15第 4 页(共 18 页)2015-2016 学年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1已知集合 U=1,2,3,4,集合 A=1,3,4,B= 2,4,则集合( UA)B= ()A2 B4 C1,3 D2,4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集与并集的定义,进行计算即可【解
7、答】解:集合 U=1,2,3,4,A=1, 3,4,B=2,4, UA=2,( UA)B=2,4故选:D2x 20 是 x0 的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据 x20,得到 x 的范围和 x0 比较即可【解答】解:由 x20 得到:x0,而 x0 推不出 x0,不是充分条件,由 x0 能推出 x0,是必要条件,x 20 是 x0 的必要不充分条件,故选:B3在等比数列a n中,a 2=6,a 3=18,则 a1+a2+a3+a4=()A26 B40 C54 D80【考点】等比数列的前 n 项和【分析】
8、根据等比数列a n中,a 2=6,a 3=18,求得数列的首项与公比,即可求和【解答】解:等比数列a n中,a 2=6,a 3=18, =3, =2a 1+a2+a3+a4=2+618+54=40故选 B第 5 页(共 18 页)4设等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sn若 a1=d=1,则 的最小值为()A10 B C D +2【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由已知条件推导出 = = ,由此利用均值定理取最小值【解答】解:等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sna 1=d=1, =1+ += + = ,当且仅当 ,即 n=4 时, 取最小值 故选:B5为了得到函数 y
9、=sin(2x )的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象()A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度【考点】五点法作函数 y=Asin(x+)的图象【分析】先将函数变形,再利用三角函数的图象的平移方法,即可得到结论【解答】解:函数 y=sin(2x )=sin2(x ),为了得到函数 y=sin(2x )的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度故选 A6已知平面向量 , 满足| |= =2, ( +2 )( )= 6,则 与 的夹角为()第 6 页(共 18 页)A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据
10、条件进行向量数量积的运算即可得出,从而可求出 的值,进而便可得出向量 的夹角【解答】解: ; =6; ; ; 故选:C7己知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 xR,都有 f(x+2)=f(x) 当0x1 对,f(x)=x 2若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是()A0 B0 或 C0 或 D 或【考点】根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质【分析】由题意可得函数的图象,属性结合可得当直线为图中的 m,或 n 是满足题意,求出其对应的 a 值即可【解答】解:由对任意的 xR,都有 f(x+2)=f(x)可知,函数的
11、周期为 T=2,结合函数为偶函数,且当 0x1 对,f(x)=x 2 可作出函数 y=f(x)和直线 y=x+a 的图象,第 7 页(共 18 页)当直线为图中的直线 m,n 时,满足题意,易知当直线为 m 时,过原点,a=0 ,当直线为 n 时,直线与曲线相切,联立 ,消 y 可得 x2xa=0,由=1+4a=0 可得 a= ,故 a 的值为 0,或 ,故选 C8设ABC,P 0 是边 AB 上一定点,满足 ,且对于边 AB 上任一点 P,恒有则()AABC=90 BBAC=90 CAB=AC DAC=BC【考点】平面向量数量积的运算【分析】设| |=4,则| |=1,过点 C 作 AB 的
12、垂线,垂足为 H,在 AB 上任取一点P,设 HP0=a,则由数量积的几何意义可得 | |2(a+1)| |+a0 恒成立,只需=(a+1) 24a=(a1) 20 即可,由此能求出ABC 是等腰三角形,AC=BC 【解答】解:设| |=4,则| |=1,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 H,在 AB 上任取一点 P,设 HP0=a,则由数量积的几何意义可得,=| | |=| |2(a+1)| |, =a,于是 恒成立,整理得| |2( a+1)| |+a0 恒成立,只需=(a+1) 24a=(a1) 20 即可,于是 a=1,第 8 页(共 18 页)因此我们得到 HB=2,即 H 是 A
13、B 的中点,故ABC 是等腰三角形,所以 AC=BC故选:D二、填空题9已知两点 A(1,1) ,B(1,2) ,若 = ,则 C 点坐标是 【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出【解答】解: = ,= 故答案为: 10在等差数列a n中,2(a 1+a4+a7)+3(a 9+a11)=24,则此数列的前 13 项之和等于26【考点】数列的函数特性【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出【解答】解:等差数列a n中,2(a 1+a4+a7)+3(a 9+a11) =24,6a 4+6a10=24,2a 7=4,即 a7=2则此数列的前 13 项之和 S13=
14、 =13a7=26故答案为:26第 9 页(共 18 页)11设函数 ,则实数 a 的取值范围是3 a1【考点】其他不等式的解法;分段函数的解析式求法及其图象的作法;指数函数的单调性与特殊点【分析】由于函数为分段函数,可分别讨论当 a0 和 a0 两种情况,进而求出实数 a 的取值范围【解答】解:函数 f(x)为分段函数,当 a0 时, 1,得 0a 1当 a0 时, 1,解得 a 3,即3a 0,故答案为:3 a112若正数 a,b 满足 a+b=10,则 + 的最大值为 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】对无理数可以先求平方,再利用均值定理求出最值,最后得出原表达式的最大值【解答】解:正数 a,b 满足 a+b=10,令 y= + ,则 y2=a+2+b+3+2 ,a+b=10,15=a+2+b+32 (当 a+2=b+3 时等号成立) ,y 230, + 的最大值为 故答案为: 13在平面直角坐标系 xOy 中,A (1,0) ,函数 y=ex 的图象与 y 轴的交点为 B,P 为函数y=ex 图象上的任意一点,则 的最小值1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得向量的坐标,进而可得 =x0+ ,构造函数 g(x)= x+ex,通过求导数可得其极值,进而可得函数的最小值,