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1、1思想方法训练 2分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数 f(x)=若存在 x1,x2R,且 x1 x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值范围是( )A.(- ,2) B.(- ,4) C.2,4 D.(2,+ )答案： B解析： 当 -2a-5,即 2 a0,且 a1, p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则 p,q 的大小关系是( )A.p=qB.pqD.当 a1 时, pq;当 0loga(a2+1),即 pq.当 a1 时, y=ax和 y=logax 在其定义域上均为增函数,a 3+1a2+1, loga(a3+1)loga(a2+1),即 pq
2、.综上可得 pq.4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 y=x,则该双曲线的离心率为( )A. B. C.或 D.或答案： C解析： 当焦点在 x 轴上时, =,此时离心率 e=;当焦点在 y 轴上时, =,此时离心率 e=,故选 C.5.已知 A,B 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N,= ,其中 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是( )A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线答案： C解析： 不妨设 |AB|=2,以 AB 中点 O 为原点, AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy,则A(-1,0),B(1,0),设 M
3、(x,y),则 N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得x 2+y2= ,当 = 1 时,曲线为 A;当 = 2 时,曲线为 B;当 0,且 x1,则函数 y=lg x+logx10 的值域为( )A.R B.2,+ )C.(- ,-2 D.(- ,-22, + )答案： D解析： 当 x1 时, y=lg x+logx10=lg x+2 =2;当 00,且 a1)在区间1,2上的最大值比最小值大,则 a 的值是 .答案： 或解析： 当 a1 时, y=ax在区间1,2上递增,故 a2-a=,得 a=;当 01,所以方程 |p(x)|=1 有两个解,即方
4、程 |ln x+x2-6|=1 有两个解 .3综上可知,方程 |f(x)+g(x)|=1 共有 4 个实根 .11.已知函数 f(x)=2asin2x-2asin xcos x+a+b(a0)的定义域为,值域为 -5,1,求常数a,b 的值 .解 f(x)=a(1-cos 2x)-asin 2x+a+b=-2asin+2a+b.x , 2x+,- sin1 .因此,由 f(x)的值域为 -5,1,可得或解得或12.设 a0,函数 f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线 y=f(x)在(2, f(2)处与直线 y=-x+1 垂直的切线方程;(2)求函数 f(x)的极值 .
5、解 (1)由已知 x0,f(x)=x-(a+1)+.因为曲线 y=f(x)在(2, f(2)处切线的斜率为 1,所以 f(2)=1,即 2-(a+1)+=1,所以 a=0,此时 f(2)=2-2=0,故曲线 f(x)在(2, f(2)处的切线方程为 x-y-2=0.(2)f(x)=x-(a+1)+=. 当 00,函数 f(x)单调递增;若 x( a,1),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增 .此时 x=a 是 f(x)的极大值点, x=1 是 f(x)的极小值点,函数 f(x)的极大值是 f(a)=-a2+aln a,极小值是 f(1)=-. 当 a=1 时,若 x(0,1),则 f(x)
6、0,若 x=1,则 f(x)=0,若 x(1, + ),则 f(x)0,所以函数 f(x)在定义域内单调递增,此时 f(x)没有极值点,也无极值 . 当 a1 时,若 x(0,1),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增;若 x(1, a),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增,此时 x=1 是 f(x)的极大值点, x=a 是f(x)的极小值点,函数 f(x)的极大值是 f(1)=-,极小值是 f(a)=-a2+aln a.综上,当 01 时, f(x)的极大值是 -,极小值是 -a2+aln a.二、思维提升训练13.若直线 l 过点 P 且被圆 x2+y2=25 截得的弦长是 8,则直
7、线 l 的方程为( )A.3x+4y+15=0 B.x=-3 或 y=-C.x=-3 D.x=-3 或 3x+4y+15=0答案： D解析： 若直线 l 的斜率不存在,则该直线的方程为 x=-3,代入圆的方程解得 y=4,故直线l 被圆截得的弦长为 8,满足条件;若直线 l 的斜率存在,不妨设直线 l 的方程为 y+=k(x+3),即 kx-y+3k-=0,因为直线 l 被圆截得的弦长为 8,故半弦长为 4,又圆的半径为 5,则圆心(0,0)到直线 l 的距离为 =,解得 k=-,此时直线 l 的方程为 3x+4y+15=0.14.已知函数 f(x)=其中 m0.若存在实数 b,使得关于 x
8、的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则4m 的取值范围是 . 答案： (3,+ )解析： 当 xm 时, f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为 P(m,4m-m2).函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 的交点为 Q(m,m).(1)点 P 在点 Q 的上方或与 Q 点重合时,即 4m-m2 m,也就是 m(m-3)0 时,解得0 m3,又因为 m0,所以 00 时,解得 m3,又因为 m0,所以 m3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线 y=b 与函数图象最多可有三个交点,符合题意 .所以 m3.15.若 a 为实数,函数 f(x)=
9、|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为 g(a),则当 a= 时, g(a)的值最小 . 答案： 2-2解析： 当 a0 时,在区间0,1上, f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间0,1上为增函数,当 x=1时, f(x)取得的最大值为 f(1)=1-a;当 00 时,函数 f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为直线 x=. 当1,即 a1 时, f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在区间0,1内, f (x)在区间上单调递减,在区间上单调递增, f (x)min=f=-=-. 当 1,即 00,解得 0,因而 a, x1,e,令 g(x)=(x1,e),则 g(x)=,当 x1,e时, x-10,ln x1, x+2-2ln x0,从而 g(x)0(仅当 x=1 时取等号),g (x)在区间1,e上是增函数,故 g(x)min=g(1)=-1, 实数 a 的取值范围是 -1,+ ).
