17.2 古典概型与几何概型

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1、第 1 页 共 13 页987 32 175432117、概率172 古典概型与几何概型【知识网络】1 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。2 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。【典型例题】例 1（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （）A 49B 2C 3D 1（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个

2、面分别标有点数 1、2、3、4、5、6） ，骰子朝上的面的点数分别为 X、Y ，则 的概率为 （1log2X）A B C D613652（3）在长为 18cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率为（ ）A B C D5611316（4）向面积为 S 的ABC 内任投一点 P，则随机事件“ PBC 的面积小于 ”的概率3S为 （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 例 2考虑一元二次方程 x2+mx+n=0，其中 m，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。第 2 页

3、共 13 页例 3甲、乙两人约定于 6 时到 7 时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率例 4抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券” 方案 1：总点数是几就送礼券几十元总点数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12礼券额 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110120方案 2：总点数为中间数 7 时的礼券最多，为 120 元；以此为基准，总点数每减少或增加 1，礼券减少 20 元总点数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

4、1 12礼券额 20 40 60 80 100 120 100 80 60 40 20方案 3 总点数为 2 和 12 时的礼券最多，都为 120 元；点数从 2 到 7 递增或从 12 到7 递减时，礼券都依次减少 20 元总点数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12礼券额 120 100 80 60 40 20 40 60 80 100 120如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决第 3 页 共 13 页【课内练习】1 某班共有 6 个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的 3 名同学准备加入到这 6个小组中去，则这 3 名同学恰好有 2 人安

5、排在同一个小组的概率是 （）A B C D5541085122 盒中有 1 个红球和 9 个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别现由 10人依次摸出 1 个球，设第 1 个人摸出的 1 个球是红球的概率为 P1，第 8 个人摸出红球的概率是 P8，则 （）AP 8= P1 BP 8= P1 CP 8=P1 DP 8=0453 如图，A、B、C、D、E、F 是圆 O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为 （）A B1213C D344 两根相距 3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于 1m 的概率为 （）A B C D121314235 一次

6、有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖卷，多购多得每 1000 张卷为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 5 个，二等奖 100 个则任摸一张奖卷中奖的概率为 6 某学生做两道选择题，已知每道题均有 4 个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 7 在圆心角为 150的扇形 AOB 中，过圆心 O 作射线交 于 P，则同时满足：ABAOP45且BOP 75的概率为 第 3 题图FEDCBAO第 4 页 共 13 页8 某招呼站，每天均有 3 辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，

7、也不知道发车顺序为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？9设 A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点 P 与 A 连结，求弦长超过半径的倍的概率310正面体 ABCD 的体积为 V，P 是正四面体 ABCD 的内部的点设“V P-ABC ”的事件为 X，求概率 P(X)；14设“V P-ABC 且 VP-BCD ”的事件为 Y，求概率 P(Y)14第 5 页 共 13 页17、概率172 古典概型与几何概型A 组1 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆

8、子落入正方形外的概率为 （）A B C D22242 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （）A B C D11314163 已知椭圆 (ab0) 及内部面积为 S=ab ，A 1，A 2 是长轴的两个顶点，2xyaB1，B 2 是短轴的两个顶点，点 P 是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是（ ）PA 1A2 为钝角三角形的概率为 1；PB 1B2 为直角三角形的概率为 0；PB 1B2 为钝角三角形的概率为 ；baPA 1A2 为钝角三角形的概率为 ；PB 1B2 为锐角三角形的概率为 。baA1 B。 2 C。3 D。44 古典概型与几何概型的相同点是 ，不同点是基本事

9、件的 5 连续掷 3 枚硬币，观察落地后这 3 枚硬币出现正面还是反面其中“恰有两枚正面向上”的事件包含 个等可能基本事件6 任取一正整数，求该数的平方的末位数是 1 的概率第 6 页 共 13 页7 如图，在圆心角为 90的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，求使得AOC 和 BOC 都不小于 30的概率8 如图，在等腰三角形 ABC 中，B= C =30，求下列事件的概率：问题 1 在底边 BC 上任取一点 P，使 BPAB；问题 2 在BAC 的内部任作射线 AP 交线段 BC 于 P，使BP AB17、概率172 古典概型与几何概型B 组1 在 20 瓶饮料中，有 2 瓶过了保质期

10、，从中任取 1 瓶，恰好为过期饮料的概率为（）A B。 C。 D。210201402 一个罐子里有 6 只红球，5 只绿球，8 只蓝球和 3 只黄球。从中取出一只球，则取出红球的概率为 （）A B。 C。 D。1221613 已知 O（0，0） ，A（30，0） ，B（30，30） ，C （0，30） ，E（12，0） ，F（30，18） ，ACPB第 8 题A第 7 题OEDCB第 7 页 共 13 页P （18，30） ，Q（0，12） ，在正方形 OABC 内任意取一点，该点在六边形 OEFBPQ内的概率为 （）A B。 C。 D。42521572516254 若以连续掷两次骰子分别得到

11、的点数 m、n 作为 P 点的坐标，则点 P 落在圆 x2+y2=16内的概率是_5 在所有的两位数（1099）中，任取一个数，则这个数能被 2 或 3 整除的概率是 6 在AOB 中，AOB=60，OA=2，OB=5，在线段 OB 上任取一点 C。试分别求下列事件的概率：AOC 为钝角三角形；AOC 为锐角三角形；AOC 为锐角三角形。7 在区间-1，1上任取两实数 a、b，求二次方程 x2+2ax+b2=0 的两根都为实数的概率8 一海豚在水池中自由游弋水池为长 30m，宽 20m 的长方形，随机事件 A 记为“海豚嘴尖离岸边不超过 2m”（1）试设计一个算法（用伪代码表示） ，使得计算机

12、能模拟这个试验，并估算出事件 A 发生的概率；（2）求 P（A）的准确值第 8 页 共 13 页参考答案172 古典概型与几何概型【典型例题】例 1（1）A。（2）C提示：总事件数为 36 种。而满足条件的(x，y)为（1，2） ， （2，4） ， （3，6） ，共3 种情形。（3）D提示：M 只能在中间 6cm9cm 之间选取，而这是一个几何概型。（4）作ABC 的边 BC 上的高 AD，取 EAD 且 ED= ，过 E 作直线 MNBC 分13AD别交 AB 于 M，AC 于 N，则当 P 落在梯形 BCNM 内时，PBC 的面积小于ABC 的面积的 ，故 P= 1359BCAS梯 形（5

13、） 。提示：总事件数为 66=36 种，相同点数的有 6 种情形。6例 2由方程有实根知：m 2 4n由于 nN *，故 2m 6骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有 66=36 种情形其中满足条件的有：m=2，n 只能取 1，计 1 种情形；m=3，n 可取 1 或 2，计 2 种情形；m=4，n 可取 1 或 2、 3、4，计 4 种情形；m=5 或 6，n 均可取 1 至 6 的值，共计 26=12 种情形故满足条件的情形共有 1+2+4+12=19（种） ，答案为 1936例 3以 x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是在平面上建立直角坐标系如图

14、 7，则(x，y)的15所有基本事件可以看作是边长为 60 的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示故 P(两人能会面) 16704562答 两人能会面的概率为 例 4由图可知，等可能基本事件总数为 36 种其中点数和为 2 的基本事件数为 1 个，点数和为 3 的基本事件数为 2 个，点数和为4 的基本事件数为 3 个，点数和为 5 的基本事件数为 4 个，点数和为 6 的基本事件数为 5xO 15156060例 3 答图y第 9 页 共 13 页个，点数和为 7 的基本事件数的和为 6 个，点数和为 8 的基本事件数为 5 个，点数和为9 的基本事件数为 4 个，点数和为 10 的

15、基本事件数为 3 个，点数和为 11 的基本事件数为2 个，点数和为 12 的基本事件数为 1 个根据古典概型的概率计算公式易得下表：由概率可知，当点数和位于中间（指在 7 的附近）时，概率最大，作为追求最大效益与利润的老总，当然不能选择方案 2，也不宜选择方案 1，最好选择方案 3另外，选择方案 3，还有最大的一个优点那就是，它可造成视觉上与心理上的满足，顾客会认为最高奖（120 元）可有两次机会，即点数和为 2 与 12，中次最高奖（100 元）也有两次机会，所以该方案是最可行的，事实上也一定是最促销的方案我们还可以从计算加以说明三个方案中，均以抛掷 36 次为例加以计算（这是理论平均值）：从表清楚地看出，方案 3 所需的礼券额最少，对老总来说是应优先考虑的决策【课内练习】1 D。3 个人加入 6 个小组中有 36 种方法。3 人中恰有 2 人在同一小组的，于是只须加入两个小组，共有 =15 种选择，而 3