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1、勾股数的规律总结我们知道,像 15, 8, 7这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.勾股数有什么规律吗?下面就让我们分类探究一下.一、最短边的长度为奇数观察下表中的勾股数: abc31242152153374 490 根据上面的表格,我们可以发现以上勾股数( a, b, c无公约数)具备一定的特征,很显然,当 21an( )时, 21bn, 21n.同时我们容易验证:21n,即当最短边的长度为奇数时,勾股数有此规律.二、最短边的长度为偶数最短边的长度为偶数时,没有公约数的勾股数又有什么规律呢?首先,最短边为偶数时,其他两边不可能再是偶数,否则就有了公约数 2,所以另外两个勾
2、股数必为奇数,而且这两个奇数的平方差是 8的倍数(八年级上册曾学过).这是因为两个奇数可以表示为 21m和 n,这里的 m、 n都是正整数,不妨设 mn,则2 21441mn2n.因为 、 n都为正整数,而任意两个正整数的和与差具有同奇同偶性,所以 mn与1m这两个数中,有且只有一个偶数,所以 41mn必定能被 8整除.这说明,一组无公约数的勾股数中,如果最小的数为偶数,则它的平方必为 的倍数,而另外两数必为奇数.观察下表中的没有公约数的勾股数: abc1n815172166365324444322 由此表格中的数据可以得出,该表格中的无公约数的勾股数具备这样的特征:当8an( 1)时, 261bn, 261cn,同时我们容易验证:2228161nn.综上,我们对无公约数的勾股数做了一定的探索,并获得了一般规律,只要能牢固掌握这些规律,今后解决相关的题目就能够驾轻就熟.