《吉林省2015届高考一轮复习 基本不等式及其应用教案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林省2015届高考一轮复习 基本不等式及其应用教案 理（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考一轮复习 基本不等式及其应用教案 理知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果 a,b ,那么 + 2ab.当且仅当 a=b 时,等号成立. 22(2)基本不等式: 如果 a,b0.那么+2 ,当且仅当 a=b时 ,等号成立 .可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+ 2 （a ） 11 0 当且仅当 a= ，等号成立 .（2）a+ 2（a ） 11 0）当且仅当 a=，等号成立 .（4） 、 + ab+bc+ca22+2 ，当且仅当 a=，等号成立 .（5） 、 （ a,b0.）21+1+2 2+22当且仅
2、当 a=，等号成立 .（6） 、 +2222(+)23、如果 a,b ,那么 (不等式证+3 3,当且仅当 a=，等号成立 .明选讲内容)4、推广：对于 n 个正数 它们的算术平均数不小于它们的几何平1， 2 ， 3 ， ， 均数.即1 +2+3 +3 12 3 ,当且仅当 1=2 =3 = 时等号成立 .二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例 1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值） ，则当 x=y 时，积 xy 取得最大值 ；+24（2）x,y , xy=P（积为定值） ，则当 x=y 时，和 x+y 取得最小值 2+ 即：和定，积最大；积定，和最小。2应用基本不等式的条件：（1）
3、 、一正：各项为正数；（2） 、二正：“和”或“积”为定值；（3） 、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。例 2：解答下列问题（1） 已知 x ，求 x+ 的最小值；242（2） 已知 0 ，求函数 f(x)=x(8-3x)的最大值；0， 049的最小值探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1） 、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2） 、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3） 、在定义域内，求出函数的最值；（4） 、正确写了答案。例 3：某单位建造一间地面面积为 12 平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位
4、置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 a 米，房屋正面的造价为 400 元/ 平方米,房屋侧面的造价为 150 元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计 5800 元，如果墙高为 3 米，且不房屋背面的费用。（1） 、把房屋总选价 y 表示为 x 的函数，并写出该函数的定义域；（2） 、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？3三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式” ， “积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值） 、定（“和”或“积”为定值） 、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具
5、备等号成立的条件） ，简称“一正，二定，三相等” ，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。但是在具体问题中，往往所给的条件并非“标准”的“一正，二定，三相等” ， （或隐藏在所给条件中） ，所以要对各项或各式作适应的变形，通过凑，拆，添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等。如果等号在变形的时候不成立，这时可以改用“对勾函数”来解决不能应用基本不等式求解的情形。四、反思感悟五、课时作业1(2009 年高考重庆卷)已知 a0， b0，则 2 的最小值是()1a 1b abA2 B2 C4 D52解析：选 C. 2 2 2 4.当且仅当Erro
6、r! 时，等号成立，1a 1b ab 2ab ab 22即 a b1 时，不等式取最小值 4.2设点 P( ，1)( t0)，则| |(O 为坐标原点)的最小值是()t2 2t OP A3 B5 C. D.3 5解析：选 D.由已知得| | OP (f(t,2) f(2,t)2 1 ，当 t2 时取得等 号(2r(f(t,2)f(2,t)2 1 53(原创题)若 a0， b0， a， b 的等差中项是 ，且 a ， b ，则12 1a 1b 的最小值为()A2 B3 C4 D5解析：选 D.因为 a b1，所以 a b 1 1a 1b 1a 1b11 1 5，故选 D.ba ab44若 a b
7、2，则 3a3 b的最小值是()A18 B6 C2 D23 43解析：选 B.3a3 b2 2 6.3a3b 3a b5已知 x0，12x 1 11 2x 12根据基本不等式可得(12 x) 2，当且仅当 12 x 即 x0 时取等号，11 2x 11 2x则 ymax1.正确答案为 C.6(2009 年高考天津卷)设 a0， b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值31a 1b为()A8 B4 C1 D.14解析：选 B.由题意知 3a3b3，即 3a b3，所以 a b1.因为 a0， b0，所以 ( )(a b)2 22 4，1a 1b 1a 1b ba ab baab当且仅当
8、 a b 时，等号成立7在面积为 S(S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为 ，半径为 r 时，扇形周长最小，这时 ， r 的值分别是()A 1， r B 2， rS 4SC 2， r D 2， r3S S解析：选 D.S r 2 ，又扇形周长 P2 r r 2( r )4 ，12 2Sr2 Sr S当 P 最小时， r r ，此时 2.Sr S8已知圆 x2 y22 x4 y10 关于直线 2ax by20( a0， b0)对称，则 4a的最小值是()1bA4 B6 C8 D9解析：选 D.由圆的对称性可得，直线 2ax by20 必过圆心(1,2)，所以 a b1.所以 52 59，当且仅当
9、 4a 1b 4(a b)a a bb 4ba ab 4baab 4ba，即 a2 b 时取等号，故选 D.ab9已知 00，所以 y5 x(34 x)20 x( x)20( )234 34 34 x 34 x2，4516当且仅当 x x，即 x 时等号成立答案：34 38 451610.如下图，某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个 10 克的砝码，一个患者想要买 20 克的中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，待平衡后交给患者；然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘上，待平衡后再交给患者设患者一次实际购买的药量为 m(克)，则 m_20 克(请选择填“”或“2 20，
10、所以填m1m2“”答案：11已知不等式( x y)( )9 对任意的正实数 x、 y 恒成立，求正数 a 的最小1x ay值解：( x y)( )1 a a12 (a0)，要使原不等式恒成立，1x ay axy yx a则只需 a12 9，即( 2)( 4) 0，故 2，即 a4，正数 a 的最a a a a小值是 4.12.已知 M 是 ABC 内的一点，且 2 ， BAC30，若 MBC， MCA 和AB AC 3MAB 的面积分别为 ， x， y，则 的最小值是()12 1x 4yA20 B18 C16 D9解析：选 B.由已知得 bccos BAC2 bc4，故 SAB AC 3ABC
11、 x y bcsinA1 x y ，而 2( )(x y)12 12 12 1x 4y 1x 4y2(5 )2(52 )18，故选 B.yx 4xy yx4xy13设 x1， y1，且 lg(xy)4，则 lgxlgy 的最大值为_解析： x1， y1，lg x0，lg y0，6lg xlgy( )2 4(当且仅当 lgxlg y2，即 x y100 时取lgx lgy2 lg2(xy)4等号)，当 x y100 时，lg xlgy 有最大值 4.答案：414设正数 a， b 满足条件 a b3，则直线( a b)x aby0 的斜率的取值范围是_解析：由 k ，3 a b2 ， ab( )2
12、， k .a bab 3ab ab 32 3ab 43答案：(， 4315当 a0， a1 时，函数 f(x)log a(x1)1 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx y n0 上，则 4m2 n的最小值是_解析： A(2,1)，故 2m n1.4 m2 n2 2 2 .4m2n 22m n 2当且仅当 4m2 n，即 2m n，即 n ， m 时取等号4 m2 n的最小值为 2 .12 14 2答案：2 216(1)设 00.32 y4 x(32 x)22 x(32 x)2 2 .2x (3 2x)2 92当且仅当 2x32 x，即 x 时，等号成立 (0， )，34 34 32函数
13、y4 x(32 x)(00， x 2 30，当且仅当 x ，225x x225x 225x即 x15 时，上式等号成立所以当 x15 时， y 有最小值 2000 元因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最小18.已知某物体的温度 (单位：摄氏度)随时间 t(单位：分钟)的变化规律是： m2t2 1 t(t0，并 且 m0)(1)如果 m2，求经过多少时间，物体的温度为 5 摄氏度；(2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围解：(1)依题意可得 522 t2 1 t，即 2(2t)252 t20.亦即(22 t1)(2t2)0，又 t0，得 2t2， t1.故经过 1 分钟该物体的温度为 5 摄氏度(2)法一：问题等价于 m2t2 1 t2( t0)恒成立 m2t2 1 t m2t22 t2
