利用微分中值定理证明不等式

《利用微分中值定理证明不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用微分中值定理证明不等式（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、目 录摘 要 .1关键词 .1Abstract .1Keywords.10 前 言 .11 知识准备.12 利用罗尔中值定理证明 .23 利用拉格朗日中值定理证明 .34 利用柯西中值定理证明不等式 .55 利用泰勒中值定理证明 .76 综合利用微分中值定理证明不等式 .10参考文献.111利用微分中值定理证明不等式摘 要:微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法,本文讨论了各个中值定理在证明不等式中的不同用法以及综合利用微分中值定理证明不等式.关键词:微分中值定理;不等式Using differential mean value theorem proving inequalityAbstr

2、act:Useing the mean value theorem to prove that inequality is a kind of important method , this paper discusses various of mean value theorems to proof inequality in the different usage, and proving inequality by useing comprehensive utilization differential mean value theorem.Key Words:differential

3、 mean value theorem;inequalities0 前言不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别.1 知识准备微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首

4、先我们要先介绍一下微分中值定理:定理 1 罗尔中值定理:如果函数 在闭区间 上连续,在开区间 内()fxab,ab可导,且满足 ,那么在 内至少存在一点 ,使得 .()fab,ab()0f定理 2 拉格朗日中值定理:如果函数 在闭区间 上连续,在开区间()fx2内可导, 那么在 内至少存在一点 ,使得 .ab,ab()()fbafba当函数 在 内的变化范围已知时,有 ,于是可以利用拉格()fx mxM朗日定理来证明 一类的不等式.)()()mfa定理 3 柯西中值定理:如果函数 在闭区间 上连续,在开区间 内,fxgab,ab可导,且 在 内每一点均不为零,那么在 内至少存在一点 ,使得()

5、gxab, .()()fbafgg定理 4 泰勒中值定理:如果函数 在含有点 的区间 上有直到 阶的()fx0xD(1)n导数,则函数 在 内可表示成一个多项式 与一个余项式 的和:()fxD()nP)nRx.20000 00()()( . (!nnfxfffx其中 , . 11()!nnnfRx0(,)注:当 时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理0的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式. 在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数 ,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这()fx个等式根据 取值范围

6、的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值x定理在证明不等式的应用.2 利用罗尔中值定理证明不等式 罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线 上必有一点,使得()yfx过该点 的切线平行于 轴.()Pfx在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理,这类内容会放在第六部分详细介绍, 这里就不再赘述. 3 利用拉格朗日中值定理证明不等式3拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线 上必有一点()yfx,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线 , 两点的弦.我

7、()Pf (,afb们在证明中引入的辅助函数 ,正是曲线)()()fbFxfax与弦线之差.()yfx拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当 时,本定理即为罗尔中()fb值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形 .()yfx拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) , ; ()()fbafbab(2) ;()01)(3) ()(,.fhfh值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于 ,还是 都成立.而 则是介ab于 与 之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点 表示成了ab,使得不论 , 为何值, 总可为小于 的某一整数.ab1例 1 (1)如果 ,试证 ;0x

8、ln()1xx(2)求证: .rctgt证明 (1)令 , 在区间 上连续,在 内可ln()fx(fx0,()x0,()x导,应用拉格朗日中值定理,则有 , .l1ln)1,由于在闭区间 上,有 ,所以 .0xxl()xx(0)(2)当 时,显然等号成立.当 时,不妨设 .设 , (),fxarctgx由拉格朗日中值定理得, , .21rt(,)4则有 21()arctgt所以 .2()1tt以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些.例 2 当 时,函数 在其定义域上可导,且 为不增函数,又0x()fx()fx, 求证 .()0fx,12,.i n

9、11()nniiiffx证明 用数学归纳法当 时,显然不等式成立.1n当 时,若 均为 ,或者一个为 时,当一个为 时,212,x000显然有 .1212()()fxfxf设 均大于 ,不妨设 ,在 应用拉格朗日中值定理可得:12,x12.1111()(0),0,fxfff在 上再次利用拉格朗日中值定理可得:21,x 122122221()()(),fxfxfxffx显然 ,由题设知, .1212()ff所以 ,211)()xfxf即 .2122()()(fffx假设当 时不等式成立,即 .nk11kkiiifxf取 ,显然 的情况不证而明,所以只考虑 的情况.取 ,111()()kkiifx

10、fx10k 10kx1kiux5由前面已证的结论有 ,11()()kkfuxfx再用归纳假设可得 ,11kiiiff即当 时结论成立.所以 .1nk11()nniiifxf4 利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理是研究两个函数 的变量关系的中值定理,当一个函数(不()fxg妨设此函数为 )取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中(gx值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例 1 用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证明 (1)令 , . 在区间 上连续,在ln(1)fx(gx(),fgx0,()x内可导,且 在 内每一点都不为零,那么由柯西中值定理0,(xg0可得:,ln(1)l(1x(0,)x则有 , .l()l(,)下面与例 1 中解法同,这里就不再赘述了.例 3 (1)设 ,对 的情况,求证: .0x11x(2)设 ，求证: .sinxe证明 (1)设 , .()ft()gt当 时结论显然成立.x当 时,取 或 , 在闭区间 或 上连续,在开区间