矩阵与行列式的相似与不同

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1、 矩阵与行列式的相似与不同学校：长江大学院系：信息与数学学院专业：信息与计算科学姓名：郑洲辅导老师：谢老师【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。【关键词】:矩阵.行列式 .相似与区别矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。数学上,一个 mn 的矩阵是一个由 m 行 n 列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。行 列 式 是 一 个

2、 函 数 ， 值 是 一 个 标 量 。 其 值 是 按 下 述方 式 可 能 求 得 的 所 有 不 同 的 积 的 代 数 和 ， 即 是 一 个 实 数 求 每 一 个 积 时 依 次从 每 一 行 取 一 个 元 因 子 ， 而 这 每 一 个 元 因 子 又 需 取 自 不 同 的 列 ， 作 为 乘 数 ，积 的 符 号 是 正 是 负 取 决 于 要 使 各 个 乘 数 的 列 的 指 标 顺 序 恢 复 到 自 然 顺 序 所 需的 换 位 次 数 是 偶 数 还 是 基 数 。我 们 先 看 看 矩 阵 和 行 列 式 有 哪 些 相 似 。1.形 式 上 比 较 相 似 ：

3、 矩 阵 和 行 列 式 看 上 去 比 较 相 似 ， 主 要 表 现 在 ： 它们 中 的 元 素 都 有 顺 序 的 排 成 行 列 表 ， 表 面 上 看 起 来 很 相 似 ， 导 致 很 多 初 学 者容 易 把 行 列 式 和 矩 阵 弄 混 淆 ； 其 次 ， 它 们 中 的 表 示 方 法 一 致 ， 比 如 说 行 列式 和 矩 阵 中 第 i 行 第 j 列 的 元 素 都 用 表 示 ； 并 且 ， 它 们 对 行 列 的 称 呼 一致 ， 从 上 到 下 依 次 称 作 第 一 行 ， 第 二 行 第 n 行 ， 记 作 ， ， ； 从 左r12 到 右 依 次 称

4、为 第 一 列 ， 第 二 列 ， 第 n 列 ， 记 作 ， 。12 2.性 质 上 有 相 同 点 ： 在 一 个 不 等 于 0 的 数 乘 行 列 式 或 矩 阵 的 某 一 行 或 某一 列 时 ， 等 于 该 数 乘 以 此 行 或 此 列 的 每 一 个 元 素 ； 行 列 式 和 矩 阵 中 把 一 个 不为 0 的 数 乘 行 列 式 或 矩 阵 的 某 一 行 或 列 后 可 以 加 到 另 一 行 或 列 对 应 的 元 素 上 ，即 某 一 行 （ 列 ） 的 k 倍 可 以 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 。3.运 算 上 具 有 相 同 点 ： （ 1） 行 列

5、 式 和 矩 阵 都 满 足 叫 法 交 换 率 和 结 合 律 。可 以 表 示 为+ = + （ + ） + = +( + )1221 12 3123A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C)(2)行 列 式 和 矩 阵 满 足 乘 法 结 合 律 ， 即A（ BC） =（ AB） C1(23)=(12)3(3)行 列 式 适 合 乘 法 分 配 率 ， 矩 阵 适 合 乘 法 左 分 配 率 和 右 分 配 率 ， 也 就 是说（ + ） = + （ + ） = +123 1213 2312131A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA矩 阵 和

6、 行 列 式 虽 然 说 有 很 多 相 同 点 ， 但 它 们 始 终 是 两 个 不 同 的 概 念 ，那 么 矩 阵 和 行 列 式 有 什 么 区 别 呢 。1.先 从 概 念 上 可 以 看 出 :（ 1） n 阶 行 列 式 是 个 数 按 一 定 顺 序 排 列 成 的2n 行 n 列 的 方 阵 ， 其 实 际 上 是 一 个 数 ， 行 列 式 在 数 表 两 端 加 |； 而 矩 阵 是mn 个 数 按 一 定 方 式 排 列 的 m 行 n 列 数 表 ， 归 根 结 底 是 一 个 数 表 ， 矩 阵 在数 表 两 端 加 （ ） 或 。 行 列 式 是 方 形 数 表

7、 中 定 义 ， 对 不 上 方 形 的 数 表 ， 不 能讨 论 任 何 行 列 式 的 问 题 ， 而 矩 阵 无 此 限 制 （ 2） 行 列 式 和 矩 阵 行 列 之 间 存 在差 异 。 行 列 式 中 行 数 必 须 等 于 列 数 ， 所 以 我 们 通 常 称 n 阶 行 列 式 ， 它 的 行数 和 列 数 都 为 n； 而 矩 阵 不 存 在 这 样 的 情 况 ， 矩 阵 的 行 数 和 列 数 无 丝 毫 关 系 ，可 以 相 同 ， 也 可 以 不 同 。 （ 3） 两 个 矩 阵 相 等 是 指 对 应 元 素 都 相 等 ； 而 两 个 行列 式 相 等 不 要

8、 求 对 应 元 素 都 相 等 ， 甚 至 阶 数 都 可 以 不 一 样 ， 只 要 求 运 算 代 数和 的 结 果 一 样 就 行 。 （ 4） 由 于 行 列 式 是 一 个 数 ， 任 意 两 个 行 列 式 都 可 以 比 较大 小 ， 而 矩 阵 是 一 个 数 表 ， 所 以 矩 阵 不 能 比 较 大 小 ， 要 两 个 矩 阵 相 等 ， 必 须矩 阵 里 所 有 元 素 都 相 等 。2 性 质 上 的 不 同 ： （ 1） 转 置 ， 行 列 式 的 转 置 与 原 行 列 式 相 等 ，D= 。 转 置 行 列 式 是 指 把 行 列 式 D 的 行 与 列 互 换

9、 ， 不 改 变 它 们 前 后 顺 序 得 到的 新 行 列 式 。 如D= = D=| | 矩 阵 中 ， 只 有 对 称 矩 阵 才 等 于 它 的 转 置 。 一 般 的 矩 阵 等 于 其 转 置 的 转 置 。如 若 是 A 的转置，则A=()（ 2） 一 个 行 列 式 的 某 行 或 列 全 为 0， 其 值 为 0， 如D= =0|1 2 34 5 70 0 0|而 矩 阵 只 有 所 有 元 素 全 为 0 时 ， 才 称 为 零 矩 阵 ， 如A= =0(0 0 00 0 00 0 0)（ 3） 交 换 行 列 式 的 两 行 或 两 列 ， 行 列 式 改 变 符 号

10、。 如= -| |矩 阵 中 任 意 交 换 两 行 或 两 列 没 有 影 响 ， 即()=()（ 4） 矩 阵 经 过 初 等 变 换 ， 其 秩 不 变 ； 行 列 式 经 过 初 等 变 换 ， 其 值 可 能 改 变 。（ 5） 若 行 列 式 中 有 两 行 或 两 列 相 同 或 者 对 应 元 素 成 比 例 ， 则 该 行 列 式 等 于0。 矩 阵 没 有 类 似 性 质3.运 算 上 的 不 同 :(1)加 减 法 不 同 。 任 何 两 个 行 列 式 都 可 以 相 加 减 ， 矩 阵只 有 两 个 同 型 阵 才 可 以 对 应 元 素 相 加 减 。（ 2） 数

11、乘 矩 阵 与 数 乘 行 列 式 不 同 ： 矩 阵 的 数 乘 等 于 数 乘 以 该 矩 阵 的 每 个 元 素 ，而 行 列 式 的 数 乘 等 于 数 乘 以 行 列 式 中 的 某 一 行 或 某 一 列 。= = = =()() | |（ 3） 乘 法 运 算 不 同 。 行 列 式 是 数 ， 所 以 任 何 两 个 行 列 式 都 可 以 相 乘 ， 结 果是 一 个 数 ； 而 矩 阵 只 有 满 足 左 阵 的 列 数 等 于 右 阵 的 行 数 时 ， 才 可 以 相 乘 ， 结果 是 一 个 新 的 矩 阵 。 新 矩 阵 行 数 等 于 左 阵 行 数 ， 列 数

12、等 于 右 阵 的 列 数 。 例如 没 有 意 义 ， （ 1 ,-1） =（ 0 ,1 ,-1）()() (121112)而 且 ， 矩 阵 乘 法 一 般 不 满 足 交 换 律 ， 行 列 式 乘 法 满 足 交 换 律 。 因 为 交 换 矩 阵相 乘 的 位 置 ， 不 一 定 能 相 乘 ， 即 使 能 相 乘 ， 结 果 也 将 不 一 样 。 (1101)(1111)=(2211)， 但 是 (1111)(1101)=(1212)(2211)（ 4） 如 果 两 个 行 列 式 乘 积 为 零 ， 则 至 少 有 一 个 行 列 式 为 零 ； 但 是 不 为 零 的 两个 矩 阵 的 乘 积 也 可 能 为 零 。 如A=(2,3,-1),B= ,则 AB=(2,3,-1) =0。(111) (111)【参考文献】王 萼 芳 ， 石 生 明 .高 等 代 数 （ 第 三 版 ） 北 京 大 学 数 学 系 几 何 与代 数 教 研 室 前 代 数 小 组 编 高 等 教 育 出 版 社闫 晓 红 .高 等 代 数 全 程 导 学 及 习 题 全 解 （ 北 京 大 学 第 三 版 ） 中 国 时代 经 济 出 版 社 。