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1、- 1 -北京师大二附中20142015学年度第一学期期中 高三数学理科试题 一.选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 的值为 ( ) sin5A B C D2232322. 与函数 y x 有相同图象的一个函数是 ( ) A. B. ( 0 且 )logaxy1C. D. ( 0 且 ) 2x a3. 在数列 na中，若 12，且对任意的正整数 n 都有 ，则 8a的值为 2n（ ）A256 B128 C64 D324. 预测人口的变化趋势有多种方法， “直接推算法”使用的公式是 ，01()nnPk其中 为预测人口数， 为初期人口数， 为预测年内增长率， 为预测期间
2、隔年数如果nP0Pk在某一时期有 ，那么这期间人口数 ( )1kA. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势C. 摆动变化 D. 不变5. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且2:8CyxFxKAC，则 的面积为 ( ) AKFAKA. B. C. D.416326. 若函数 ()yfx的导函数在区间 ,ab上是增函数，则函数 ()yfx在区间 ,ab上的图象可能是 ( ) 7.已知点yababa o xo xyba o xyo xybA B C D- 2 -),(yxP的坐标满足条件 0321yx，那么点 P 到直线 0943yx的距离的最小值为 ( ) A. 514 B. 56
3、 C.2 D.18. 如果对于函数 的定义域内的任意 ，都有()yfxx()NfxM（ 为常数）成立，那么称 为可界定函数， 为上界值， 为下界值设上界值,MN)(f中的最小值为 ，下界值中的最大值为 给出函数 ， ，那么mn2()fx1(,)x的值 （ ）nA大于 9 B等于 9 C小于 9 D不存在二填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 设集合 ，则 = . 1|3,|04xAxBAB10. 命题“ ，使得 ”的否定是 .R2511. 若双曲线 21xky的一个焦点是 (3,0)，则实数 k .12.设 ， ，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是 .41:m:
4、m13. 在 ABC中，三个内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c若 25，4B， 5sin，则 c ； a .14已知两个正数 ,ab,可按规则 b扩充为一个新数 c,abc三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若 ,3,按上述规则操作三次 ,扩充所得的数是 _；（2）若 0pq，经过 6 次操作后扩充所得的数为 (1)mnqp- 3 -（ ,mn为正整数） ，则 ,n的值分别为 .三解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15 （本小题满分 13 分）已知函数 xxf 2sin1co3)(2（）求 )(xf的最
5、小正周期；（）求 在区间 46， 上的最大值和最小值16 （本小题满分 13 分） 已知以点 P为圆心的圆经过点 1,0A和 3,4B，线段 A的垂直平分线交圆 P于点 C和 D，且 |10.（）求直线 的方程及圆 的方程；（）设点 Q在圆 上，试问使 QAB的面积等于 8 的点 Q共有几个？证明你的结论.17 （本小题满分 13 分） 已知公差不为 0 的等差数列 的首项 为 ，且 ，na1)(Ra1， 成等比数列21a4（）求数列 的通项公式；na（）对 ，试比较 与 的大小*N23211.naa18 （本小题满分13分）已知函数 ( 为实常数).xxf l)()(2（）若 2a，求曲线
6、在 处的切线方程；y1（）讨论函数 )(xf在 上的单调性；1,e（III）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.()0fxa- 4 -19 （本小题满分 14 分）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，短轴长为 2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线交椭圆于P， Q 两点（）求椭圆的方程；（）当直线 的斜率为 1 时，求 POQ 的面积；l（III）在线段 OF 上是否存在点 M(m,0)，使得以 MP， MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由20 （本小题满分 14 分）已知有穷数列
7、： ，( ).若数列 中各项都是集合A12,na 2A的元素，则称该数列为 数列.对于 数列 ，定义如下操作过程 ：从 中|1xT任取两项 ，将 的值作为 的最后一项，然后删除 ,这样得到一个 项,ija1ijaija1n的新数列 1A(约定:一个数也视作数列). 若 还是 数列，可继续实施操作过程 ，得到的新数列记作1AT， ,如此经过 次操作后得到的新数列记作 .2 kkA（）设 请写出 的所有可能的结果；1:0.3A1（）求证：对于一个 项的 数列 ,操作 T 总可以进行 次；n1n（）设 求 的可能结果，并说明理由.551:764236， ， ， ， ， ， ， ， 9A以下为草稿纸-
8、 5 -北京师大二附中20142015学年度第一学期期中 高三数学理科答题纸 班级 姓名 学号 成绩 一选择题二填空 题9. 10. 11. 12. 13. ， 14. ， 三 解答题1 2 3 4 5 6 7 8- 7 -15.- 8 -16.- 9 -17.- 10 -18.- 11 -19.- 12 -20.北京师大二附中20142015学年度第一学期期中 高三数学理科标准答案 一 选择题（每题5分共40分）二填空 题（每题1 2 3 4 5 6 7 8A D A B B A C B- 13 -5分共30分）9. 10. 34x2,50xRx使11. 12. 184m13. 2； 6 1
9、4. 255； 8,13 三解答题15. （本题 13 分）解：（） xxf 2sin1co3)( 3i2sx)3in( T 7 分 （）因为 46x，所以 65320x 当 23x时，即 1时， )(f的最大值为 21 当 0时，即 6x时， xf的最小值为 3. 13 分16. （本题 13 分）解：直线 AB的斜率 1k ， AB中点坐标为 1,2 ，直线 CD方程为 2yx即 +y-3=0 （3 分）设圆心 ,abP，则由 在 上得：30 - 14 -又直径 |410CD, |210PA,2()ab （6 分）由解得 36ab或52ab圆心 ,P 或 , 圆 的方程为 22340xy
10、2540xy8 分 （2） 2AB ， 当 QAB面积为 8时 ，点 Q到直线 AB的距离为。 又圆心 P到直线 的距离为 42，圆 P的半径 210r 且 4210每个圆上都有两个点 Q使 AB的面积为 8所以，共有 4 个点满足条件 13 分 17. （本题 13 分）解：（）设等差数列 的公差为 ，由题意可知nad214()a即 ，从而211()(3)ad21a因为 0,.所 以故通项公式 5 分.na（）记 2 2211,nnTa 因 为所以 21()1()()22nnnaaa从而，当 时， ；当 13 分01nT10,.nT时- 15 -18. （本题13分） 解:(1) 2a时， xxfln2)(， ，0)1(f所求切线方程为y=1. 3分 xaxaxxf 12)()(2 e,当 即 时，12a， ，此时， 在 上单调增；ex,0)(xf)(xfe,1当 即 时，a21e2时， ， 上单调减；,x0)(xf)(f2,1a时， ， 在 上单调增；ea,2)(f)(xfe,当 即 时， ，此时， 在 上单调减； 8分ex,10)(xf)(xfe,1 方法一：当 时， 在 上单调增， 的最小值为2a)(xf 1)(
