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1、1第二章 推理与证明1. 观察 5-1=24,7-1=48,11-1=120,13-1=168，所得结果都是 24 的倍数，继续试验，你能得到什么猜想？2. 在数列an中，a1=1，an+1= ，试猜想这个数列的通项公式3. 探求凸多面体的面数 F，顶点数 V 和棱数 E 之间的关系.凸多面体 面数(F) 顶点数（V） 棱数（E）立方体 6 8 12三棱柱 5 6 9五棱柱 7 10 15方锥 5 5 8三棱锥 4 4 6五棱锥 6 6 104. 对于任意正整数 n，猜想（2n-1）与（n+1）的大小关系。5. 在ABC 中，不等式 + + 成立；在四边形 ABCD 中，不等式 + + + 成
2、立；在五边形 ABCDE 中，不等式 + + + + 成立，猜想，在 n 边形 A1A2An中，有怎样的不等式成立？6. 在等差数列an中，若 a10=0，则有a1+a2+an=a1+a2+a10-n（n19，且 n 成立类比上述性质，在等比数列bn中，若 b9=1，则存在怎样的等式？7. 用三段论证明：在梯形 ABCD 中，ADBC,AB=DC,则 B= C.1. 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1= ，满足 Sn+ +2=an（n2），计算S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn 的表达式.2. 在学习函数时，我们将它与数类比；在学习数列是，我们将它与函数类比，你在学习过程中还经历过那些
3、类比活动？3. 找一个你感兴趣的数学定义，公式或定理，探究它的来源，你也可以通过翻阅书籍，上网查找资料寻求依据。1. 已知 A,B 都是锐角，且 A+B ，（1+tanA）（1+tanB）=2，求证 A+B=45.2. 如图，PD平面 ABC，AC=BC,D 为 AB 的中点,求证 ABPC23.ABC 的三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证 B90。1. 已知 =1，求证 3sin2a=-4cos2a.2. 设实数 a，b，c 成等比数列，非零实数 x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等差中项，求证+ =2.1.根据下列图案中圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎
4、样排列的，第 n 个图形中共有多少个圆圈？2.猜想 的值3.设 f（n）0 ，f（2）=4，并且对于任意 ， ，f（ + )=f（ ）f（)成立，猜想 f（n）的表达式。4.已知 O 是 ABC 内任意一点，连结 AO，BO,CO 并延长对边于 ， ， ，则+ + =1.3这是平面几何中的一道题.其证明常采用“面积法”。+ + = + + = =1运用类比猜想，对于空间中的四面体，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明。5.已知 A+B= ，且 A,B k+ ，求证（1+tanA）（1+tanB）=26.设 sina 是 sin，cos 的等差中项，sin 是 sin，cos 的等比中项，求证
5、cos4-4cos4a=3.1观察：2+1=7，235+1=31，2357+1=211，235711+1=2311，23571113+1=30031，2357111317+1=510511，.由此，可以发现什么规律？利用这个规律，用反证法证明“质数的个数”是无限的。2.如图，在圆内画 1 条线段，将圆分割成两部分；画 2 条相交线段，彼此分割成 4 条线段，将圆分割成 4 部分；画 3 条线段，彼此最多分割成 9 条线段，将圆最多分割成 7 部分；画4 条线段，彼此最多分割成 16 条线段，将圆最多分割成 11 部分.那么（1）在圆内画 5 条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？（2）猜想：圆内两两相交的 n 条线段，彼此最多分割成多少条线段？（3）猜想：在圆内画 n 条线段，两两相交，将圆最多分割成多少部分？3.如图，已知三棱锥 S-ABC 中， ASB= BSC= CSA=90，求证：ABC 是锐角三角形。
