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1、A 题：深圳人口与医疗需求预测摘要深圳市我国经济发展的最快城市之一，也是人口结构最为复杂的城市之一。人口总量依赖于深圳市 GDP 的增长，人口结构主要为户籍人口与非户籍人口。本文用对深圳市现有数据及深圳市 GDP 统计年鉴建立模型我们首先利用 SAS 软件对深圳市总人口未来十年的数量进行预测，得到ARIMA(1，1，0)模型，通过所得到公式对未来十年的总人口数进行求解得出未来十年人口数量，得出结论：在 2020 年人口数量将达到 1342 万人，但是根据实际社会情况来讲，这个模型存在很大的不足，只能说是略微估测出人口数量，精确度不足，所以我们将其分为户籍人口与非户籍人口考虑。然后利用 SPSS
2、 软件对户籍人口进行拟合，发现户籍人口数拟合曲线与三次曲线接近，方差分析中 F 统计量的检验 P 值非常显著地小于 0.05，说明三次曲线模型是显著成立的。同时模型中三个参数的 t 检验 P 值都很小，说明这三个参数是显著非零的。人口拟合出来的三次曲线是有效的。得出结论：在 2020年户籍人口数 2 达到 546 万人。对于非户籍人口我们依旧利用 SAS 模型进行建模，得出 ARMA（1,1,0）模型，最终预测结果为 1034 万人，但是这个数据的真实有效性，仍旧存在异议。因为深圳市经济的影响导致未来非户籍人口的增加，所以单凭非户籍人口的ARMA 模型仍旧不好。所以我们进行进一步的修改。因为深
3、圳市经济的发展影响着外来人口的变化，所以首先我们在网上查询深圳市年鉴得到深圳市在 1979-2010 年 GDP 的统计数据，利用 SAS 模型建立散点图，发现它有个指数上升的趋势，为使得变成平稳模型，我们进行一阶、二阶差分，发现二阶的平稳性较好，建立 ARMA（ 1，（2）模型，得出未来十年的 GDP 增长数据。对非户籍人口进行取对数，发现非户籍人口数与 GDP 的吻合性为0.94727，所以他们存在动态变化的过程，所以建立非户籍人口的 ARIMAX 模型，得出结论为 2020 年非户籍人口达到 1199.77 万人，所以这使得非户籍人口数更具有说服力。我们可以得出未来十年的深圳总人口数量(
4、如表 1 所示)：表 1 未来 10 年深圳人口数预测（万人）年份 2011 2012 2013 2014 2015 人数 1123.33 1169.9 1248.52 1319.93 1398.42年份 2016 2017 2018 2019 2020人数 1471.95 1542.85 1607.08 1664.18 1746.04全市医疗床位数应该与人口数量相匹配，通过预测未来 10 年人口数量的基础上就可以预测出未来床位需求量。2020 年床位数的预测值为 31974 个。关键词：深圳市人口预测 ARIMA 模型 SPSS SAS 一、 问题重述深圳是我国经济发展最快的城市之一，30
5、多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口
6、健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1、分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势；2、以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。二、问题分析2.1 对问题一的分析：深圳的人口主要有户籍人口与非户籍人口，深圳是中国改革开放建立的第一个经济特区，是中国改革开放的窗口
7、，随着深圳经济高速的发展，大量的劳动人口涌入深圳，非户籍人口远远超过户籍人口，使得城市的人口增长远大于自然的增长。因此，对深圳的人口预测时，仅仅预测人口自然变动状况，已无法准确的描述人口发展的特征。这两类人群的人口增长模式有很大差异，户籍人口应该遵循一般的规律自然增长，而非户籍人口与深圳的经济政策有密切相关，情况比较复杂是个比较难以预测的人群。要预测未来十年深圳市人口数量需将其分为户籍人口与非户籍人口两种类型分别建模分析，预测出两种模型下的人数，并求和即可得出预测总人数。2.2 对于问题二的分析：通过分析、查阅资料可知，病床数除了受总人口数的影响外，经济状况也对病床数产生较大影响。然而在问题一
8、中我们对非户籍人口预测时已经考虑到经济因素的影响，且户籍人口的发展几乎不受经济因素的影响。所以在问题二中不妨用问题一中已预测的户籍人口数与非户籍人口数相加得到的总人口数来预测病床数。经过对以往总人口数与病床数的分析，发现它们具有同变性。所以我们对问题二建立了动态回归模型，来预测病床数。三、 模型假设1、 假设题目给出的所有数据都是真实可靠的。2、 假设在数学建模的过程中所有的数据都没有任何的人为缺失和造假。3、 假设深圳市人口是指常住人口，即户籍人口和非户籍人口的总和。4、 假设户籍人口指持有深圳市户籍的人口，非户籍人口指没有持深圳市户籍的人口，包括外地流入居住时间超过 6 个月的流动人口和原
9、居地未持有户籍证的人口。四、 符号与说明P 自回归阶数p,21L为 AR 序列参数q 为滑动平均阶数,21为 MA 序列参数d 为时间序列 成为平稳之tW前所做的差分次数ta为白噪声，表示独立扰动或称为随机误差；是均值项B是延迟算子五、 模型的建立与改进ARIMA模型简介ARIMA模型的全称为自回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记 ARIMA)，是由博克思 (Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出一著名时间序列预测方法 1 ，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。其中ARIMA（p
10、，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR 是自回归，p为自回归项； MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA） 、自回归过程（AR） 、自回归移动平均过程（ ARMA）以及ARIMA 过程。事实上，自回归(AR)模型和滑动平均(MA)模型实际上是自回归求和滑动平均(ARIMA)模型的特例，因而我们把三种模型都归结为ARIMA(P，d，q)模型来介绍
11、。其 模 型 结 构 如 下 式 （ 5.1.1） ：(5.1.1)tpqtd aBBWBL21)(其基本原理如下：若 是非平稳序列。若存在正整数d，使得,.210,txttdwx而 是ARMA（p,q）序列，则称 是ARIMA （p,d,q）序列。这,.,twt时， 满足tx。=ttdBx若 为平稳序列，但均值 ，则 为平稳零均值序列，满足td0dttd,此时，称 为一般ARIMA序列，若 未知，可用 的平均值 估计。tx txx其中，p为自回归阶数， 为其参数；q为滑动平均阶数，p,21L为其参数；d为时间序列 成为平稳之前所做的差分次数； 为白噪q,21LtWta声，表示独立扰动或称为随
12、机误差； 是均值项； 是延迟算子，即B。1ttWB问题一模型的建立与求解一、深圳市总人口数量模型的建立与求解5.1.1 模型的建立首先我们运用差分运算的方法对原始数据进行预处理，将原始数据转换成较为平缓趋势的平缓序列。由一阶差分序列时序图可知，一阶差分的效果很好。所以，我们采用一阶差分。然后再对这个平稳序列进行白噪声检验,运用 SAS 软件编程（详情见附件1）我们得出的结果（如图 5.1.1）所示：图 5.1.1 人口总数的白噪声检验从图中数据可以观察到，白噪声检验的 p 值小于 0.05，即检验拒绝 ,为非白0H噪声序列。所以，我们需要对数据进行 ARMA 拟合。由图型我们可知数据自相关性是
13、拖尾的，偏自相关系数是一阶截尾的，即 p=1,d=1,q=0， ARIMA 模型为 ARIMA（1,1，0） 。最终得出的拟合结果（如图 5.1.2） 。图 5.1.2 一阶差分后的 p 值检验从图中数据我们可以看出参数显著性检验的 p 值小于 0.05，即拒绝 ，说明参0H数是显著非零参数。残差白噪声检验的 p 值全部大于 0.05，即接受 。说明这个 ARIMA 模型进行白噪声检验的结果是序列为白噪声平稳序列，同时也说明了这个数学模型是有效的。5.1.2 模型的求解根据上述模型的建立，我们可以得到模型的结果公式为（5.1.2）：（5.1.2）126.97810.7*ttBxB然后，我们用这
14、个模型对未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势用 SAS 软件编程进行预测(程序见附录 1)，预测图为（图 5.1.3） 。people010203040506070809010010120130140150160year1970 1980 190 200 2010 2020图 5.1.3 预测图预测的数据结果（如表 5.1.1）：表 5.1.1 未来十年总人口数预测表题设中假定深圳市人口是指常住人口，即户籍人口和非户籍人口的总和。但是，这样假设会与实际问题有些差距。所以，我们对模型进行了改进，分别对户籍人口和非户籍人口进行预测。二、 深圳市户籍人口模型的建立与求解5.2.1 模型的求解我们从
15、数据中获知 1979-2010 年深圳市户籍人口数量，利用 SAS 画出它的散点图（如图 5.2.1 所示）图 5.2.1 1979-2010 年户籍人口数据散点图我们从中发现深圳户籍人口从 1979 年到 2002 年左右人口保持稳定增长，其人口增长率基本保持不变，呈现线性增长的趋势，但是在 2002 年之后因为深圳市经济的不断发展，吸引了越来越多的未来人口，同时也有更多的人通过正当途径加入深圳市户籍，所以在 2002 年之后，呈现一个向上凸的趋势。但是从整体来看，它仍然是一条较为规矩的递增曲线。所以，我们可以利用 SPSS 软件用线性、二次、三次、S 型以及 Logistic 曲线对户籍人口数量进行曲线拟合。各自曲线的模型汇总以及参数估计值（如图 5.2.2 所示）：图 5.2.2 各自曲线的模型汇总以及参数估计值从图 5.2.2 我们可以发现三次曲线的拟合效果更加好，它的 R 方检验值可以达到 0.998，所以，对于户籍人口模型的建立，我们可以利用 SPSS 进行三次曲线拟合。5.2.2 模型求解及检验利用 SPSS 软件将数据进行三次曲线拟合，得出三次曲线曲线的方差分析以及参数估计值和检验如图 5.3.3 所示：图 5.2.3 三次曲线的方差分析以及参数估计及检验得到三次曲线的公式：（5.2.1）2320.85.390.17.08yxx方差分析中 F 统计量的检验
