“抛物线与最大面积三角形”的解题思想方法(张志礼)

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1、1例谈“抛物线与最大面积三角形”的解题思想方法在中考数学试题中，压轴题多数是以综合题的形式出现。有些试题综合了直线与抛物线、三角形与抛物线、四边形与抛物线以及圆与抛物线的位置、面积的大小以及点、直线或圆是否存在或唯一等诸多动态探索性的问题，在中考试题中占有一定的比重，包含的知识点多，要求考生必须灵活运用基础知识及各种数学技能去分析和解决问题。本文就近年来中考题中的“抛物线与最大面积三角形”为例，浅析它的解题思路及解题方法。【例 1】：如图（1），已知抛物线 cbxy2经过点（1，-5 ）和（-2，4）。（1）求这条抛物线的解析式。（2）设此抛物线与直线 相交于点 A、xyB(点 A 在点 B

2、的右侧)，平行于 轴的直线 （ ）与抛物线交于点 M，ymx150与直线 交于点 N，交 轴于点 P，求线段 MN 的长（用含 的代数式表示）。 m（3）在条件（2）的情况下，连接 OM、BM，是否存在 的值，使BOM 的面积 S 最大？若存在， 请求出 的值，若不存在，请说明理由。m浅析：本题综合了一次函数与二次函数（直线于抛物线）、二元一次方程组与二元二次方程组以及三角形等有关基础知识。考察的知识点多，基础性强，解 题的思路清晰，难度中等。问题（1）求抛物线的解析式的方法有多种，这里只要根据题意解 和6cb组成的二元一次方程组得 ， ，就可确定抛物线的解析式02cb 2b4c。4xy问题(

3、2)只要将 代入 就可以确定点 N 的坐 标 N（ ， ），同样的mxym方法将 代入 可确定点 M（ ， ），x42xy 42OCmxBxyNA图(1)PyM2 ，PN= = ，MP=150mm42m= ，MN=PN+MP= 。423问题（3）中直线 （ ）是一条平行于 轴且关于字母 的动x150ym直线，由于直线 的变 化而决定点 M 位置的变化，但点 O、B 的位置是确定m的。是否存在 的值，使 BOM 的面积 S 最大？可假 设 存在 的值，使 BOM的面积 S 最大，先将 BOM 的面积 S 用含字母 的代数式表示出来，观察、分析m这个代数式的特征，从中发现 。这里需要先求出点 B

4、的坐标，将直 线 代入xy抛物线 ，解一个一元二次方程 ，得 ， ，42xy 0432x142由点 A、B 的位置确定点 B 的横坐标为 ，代入 得点 B 的坐标为xyB（4，4），过点 B 作 BCMN 于点 C，则 BC=4 ,OP= ,所以 BOM 的面积 Sm为 S= =2( )=2 。观察这个等式MNOP2143225)3(易知，它是一个由自变量 关于面积 S 的二次函数，根据二次函数的性 质，问题m变得简单明了。2 0，当 = 时， S 有最大值 。2325【例 2】：已知：如图，抛物线 （ ）与 轴交于点 C(0，4)，与caxy0y轴交于点 A、B，点 A 的坐标为 A（4，0

5、）。x（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC 交 BC 于点 E，连接 CQ，当CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）若平行于 轴的动直线 与抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐xl标为 D（2，0），问：是否存在这样的直线 ，使得ODF 是等腰三角形？若存在，l请求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由。3浅析：本题是一道较为典型的综合探索题。不仅包含的知识点多，同时蕴含了诸多数学思想方法。它集函数、几何、计算、判断及证明等于一体，要求考生不仅需要灵活运用数学基础知识，同时需要运用各种数学技能以及具备一定的解题经验

6、。不仅考察学生的思维，同 时考察学生分析、解决问题的能力。试题的难度较大。问题（1）是非常基础的知识，函数表达式中只有两个待定字母 a和 ，因此只要将已知点 A（4，0）、C（0，4）c代入抛物线解析式 ，解一个二元一次方程组便可很快求出抛物cxy2线的解析式为 。1问题（2）中点 Q 是线段 AB 上的动点，在 QEAC 的条件下，当点 Q 运动到某一位置时，存在一个最大面 积三角形 QCE，要求出点 Q 的坐标（横坐标），它的指导思想与上述例一相同。从 图上观察， 显然 QCE 的面 积可以用BQC 与BQE 面积的差表示。根据 问题（1），易求点 A、C、B 的坐 标，即令，得 ， ，由

7、点 A、B 的位置得 A(4,0),B(-2,0),令0421x2x4， 得 ，C(0,4)。设点 Q 的坐标为 Q（ ，0）（-2 4），过点 G 作 EGy m轴于点 G，于是得 = ,这里 CO 已知，x BACCESS EO21BQ 可用含 的代数式表示，EG 可通过相似三角形的相似比等于 对应高的比，m即根据相似三角形中的比例线段求出（不要去求点 E 的坐标，麻 烦）。AB=6,BQ= ，CO=4，QEAC, 由 BQEBAC,得 ，即2 BAQCOEG， 。 = =64EG34BACQCESS21OGBlADMQCyxEF P图(2)4=)342)(21m3821m= .又 2 4

8、，当 =1 时， 有最大值为 ，此时点 Q 的坐CQES3标为 Q（1，0）。问题（3）存在。在ODF 中，、若 DO=DF,A(4,0),D(2,0),AD=OD=DF=2,又在 RtAOC 中，OA=OC=4, OAC= ,DAF=OAC= ,ADF= ,此时点 F 坐标为454590F（2，2），由 ，得 ， ，此 时点 P 的坐标为：212x1x12x或 。),5(P),(、若 FO=FD,过点 F 作 FM 轴于点 M，由等腰三角形的性质得：x在等腰直角AMF 中,MF=AM= ,点 F 的坐标为,3,12AMOD3F（1，3），由 ，得 ， ，此 时点 P 的坐标为：42x31x1

9、2x或 .),(P),(、若 OD=OF,OA=OC=4,且 AOC= ,AC= 点 O 到 AC 的距离为904，此 时，不存在这样的直线 ，使得 ODF 是等腰三角形。 综上所述，所求点2lP 的坐标为： 或 或 或 .)2,51()2,51(P)3,1()3,1(P通过上述两例解题思路及方法的简单分析，有如下几点体会：（1） 、掌握基础知识是重要的，但更重要的是要灵活运用，将基础知识融会贯通，做到活学活用。（2） 、在平时的学习过程中，需要逐步掌握各种数学解题技能，不断积累解题经验。在解决某一数学习题时，尝试着以不同的数学思想方法作指导，去分析、探索，就会发现有难与易、繁与简等不同的解题

10、方法，有助于发展思维，提高解题技能。（3） 、许多几何问题可以运用代数的知识解决（当然许多代数问题同样也可以用几何知识解决） ，这是一条重要的数学思想方法（数形结合思想） 。（4） 、在解决数学问题时，我们总是将未知的、不熟悉的知识朝向我们已知的、熟悉的知识方向思考。如本文中的“最大面积三角形” ，由于三角形与二次函数综合在一起，而我们所熟知的是二次函数有最大值、最小值，于是我们自然会想到，三角形的面积能否用题中已知的量表示成一个二次函数的形式？正是这样的思考目标，使得问题得以迎刃而解。（5） 、在一些与二次函数（抛物线）有关的四边形、圆等几何习题中，根据具体条件，灵活运用二次函数的性质也可以求出几何量的最大值（最小值） 。（6）数形结合思想、转化思想、化归思想是解决初中数学问题常用的思想方法。5参考文献：1、 【例 1】：2008 年海南省中考试题；2、 【例 2】：2008 年四川重庆市中考试题。