《“抛物线与最大面积三角形”的解题思想方法(张志礼)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《“抛物线与最大面积三角形”的解题思想方法(张志礼)(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1例谈“抛物线与最大面积三角形”的解题思想方法在中考数学试题中,压轴题多数是以综合题的形式出现。有些试题综合了直线与抛物线、三角形与抛物线、四边形与抛物线以及圆与抛物线的位置、面积的大小以及点、直线或圆是否存在或唯一等诸多动态探索性的问题,在中考试题中占有一定的比重,包含的知识点多,要求考生必须灵活运用基础知识及各种数学技能去分析和解决问题。本文就近年来中考题中的“抛物线与最大面积三角形”为例,浅析它的解题思路及解题方法。【例 1】:如图(1),已知抛物线 cbxy2经过点(1,-5 )和(-2,4)。(1)求这条抛物线的解析式。(2)设此抛物线与直线 相交于点 A、xyB(点 A 在点 B
2、的右侧),平行于 轴的直线 ( )与抛物线交于点 M,ymx150与直线 交于点 N,交 轴于点 P,求线段 MN 的长(用含 的代数式表示)。 m(3)在条件(2)的情况下,连接 OM、BM,是否存在 的值,使BOM 的面积 S 最大?若存在, 请求出 的值,若不存在,请说明理由。m浅析:本题综合了一次函数与二次函数(直线于抛物线)、二元一次方程组与二元二次方程组以及三角形等有关基础知识。考察的知识点多,基础性强,解 题的思路清晰,难度中等。问题(1)求抛物线的解析式的方法有多种,这里只要根据题意解 和6cb组成的二元一次方程组得 , ,就可确定抛物线的解析式02cb 2b4c。4xy问题(
3、2)只要将 代入 就可以确定点 N 的坐 标 N( , ),同样的mxym方法将 代入 可确定点 M( , ),x42xy 42OCmxBxyNA图(1)PyM2 ,PN= = ,MP=150mm42m= ,MN=PN+MP= 。423问题(3)中直线 ( )是一条平行于 轴且关于字母 的动x150ym直线,由于直线 的变 化而决定点 M 位置的变化,但点 O、B 的位置是确定m的。是否存在 的值,使 BOM 的面积 S 最大?可假 设 存在 的值,使 BOM的面积 S 最大,先将 BOM 的面积 S 用含字母 的代数式表示出来,观察、分析m这个代数式的特征,从中发现 。这里需要先求出点 B
4、的坐标,将直 线 代入xy抛物线 ,解一个一元二次方程 ,得 , ,42xy 0432x142由点 A、B 的位置确定点 B 的横坐标为 ,代入 得点 B 的坐标为xyB(4,4),过点 B 作 BCMN 于点 C,则 BC=4 ,OP= ,所以 BOM 的面积 Sm为 S= =2( )=2 。观察这个等式MNOP2143225)3(易知,它是一个由自变量 关于面积 S 的二次函数,根据二次函数的性 质,问题m变得简单明了。2 0,当 = 时, S 有最大值 。2325【例 2】:已知:如图,抛物线 ( )与 轴交于点 C(0,4),与caxy0y轴交于点 A、B,点 A 的坐标为 A(4,0
5、)。x(1)求该抛物线的解析式;(2)点 Q 是线段 AB 上的动点,过点 Q 作 QEAC 交 BC 于点 E,连接 CQ,当CQE 的面积最大时,求点 Q 的坐标;(3)若平行于 轴的动直线 与抛物线交于点 P,与直线 AC 交于点 F,点 D 的坐xl标为 D(2,0),问:是否存在这样的直线 ,使得ODF 是等腰三角形?若存在,l请求出点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由。3浅析:本题是一道较为典型的综合探索题。不仅包含的知识点多,同时蕴含了诸多数学思想方法。它集函数、几何、计算、判断及证明等于一体,要求考生不仅需要灵活运用数学基础知识,同时需要运用各种数学技能以及具备一定的解题经验
6、。不仅考察学生的思维,同 时考察学生分析、解决问题的能力。试题的难度较大。问题(1)是非常基础的知识,函数表达式中只有两个待定字母 a和 ,因此只要将已知点 A(4,0)、C(0,4)c代入抛物线解析式 ,解一个二元一次方程组便可很快求出抛物cxy2线的解析式为 。1问题(2)中点 Q 是线段 AB 上的动点,在 QEAC 的条件下,当点 Q 运动到某一位置时,存在一个最大面 积三角形 QCE,要求出点 Q 的坐标(横坐标),它的指导思想与上述例一相同。从 图上观察, 显然 QCE 的面 积可以用BQC 与BQE 面积的差表示。根据 问题(1),易求点 A、C、B 的坐 标,即令,得 , ,由
7、点 A、B 的位置得 A(4,0),B(-2,0),令0421x2x4, 得 ,C(0,4)。设点 Q 的坐标为 Q( ,0)(-2 4),过点 G 作 EGy m轴于点 G,于是得 = ,这里 CO 已知,x BACCESS EO21BQ 可用含 的代数式表示,EG 可通过相似三角形的相似比等于 对应高的比,m即根据相似三角形中的比例线段求出(不要去求点 E 的坐标,麻 烦)。AB=6,BQ= ,CO=4,QEAC, 由 BQEBAC,得 ,即2 BAQCOEG, 。 = =64EG34BACQCESS21OGBlADMQCyxEF P图(2)4=)342)(21m3821m= .又 2 4
8、,当 =1 时, 有最大值为 ,此时点 Q 的坐CQES3标为 Q(1,0)。问题(3)存在。在ODF 中,、若 DO=DF,A(4,0),D(2,0),AD=OD=DF=2,又在 RtAOC 中,OA=OC=4, OAC= ,DAF=OAC= ,ADF= ,此时点 F 坐标为454590F(2,2),由 ,得 , ,此 时点 P 的坐标为:212x1x12x或 。),5(P),(、若 FO=FD,过点 F 作 FM 轴于点 M,由等腰三角形的性质得:x在等腰直角AMF 中,MF=AM= ,点 F 的坐标为,3,12AMOD3F(1,3),由 ,得 , ,此 时点 P 的坐标为:42x31x1
9、2x或 .),(P),(、若 OD=OF,OA=OC=4,且 AOC= ,AC= 点 O 到 AC 的距离为904,此 时,不存在这样的直线 ,使得 ODF 是等腰三角形。 综上所述,所求点2lP 的坐标为: 或 或 或 .)2,51()2,51(P)3,1()3,1(P通过上述两例解题思路及方法的简单分析,有如下几点体会:(1) 、掌握基础知识是重要的,但更重要的是要灵活运用,将基础知识融会贯通,做到活学活用。(2) 、在平时的学习过程中,需要逐步掌握各种数学解题技能,不断积累解题经验。在解决某一数学习题时,尝试着以不同的数学思想方法作指导,去分析、探索,就会发现有难与易、繁与简等不同的解题
10、方法,有助于发展思维,提高解题技能。(3) 、许多几何问题可以运用代数的知识解决(当然许多代数问题同样也可以用几何知识解决) ,这是一条重要的数学思想方法(数形结合思想) 。(4) 、在解决数学问题时,我们总是将未知的、不熟悉的知识朝向我们已知的、熟悉的知识方向思考。如本文中的“最大面积三角形” ,由于三角形与二次函数综合在一起,而我们所熟知的是二次函数有最大值、最小值,于是我们自然会想到,三角形的面积能否用题中已知的量表示成一个二次函数的形式?正是这样的思考目标,使得问题得以迎刃而解。(5) 、在一些与二次函数(抛物线)有关的四边形、圆等几何习题中,根据具体条件,灵活运用二次函数的性质也可以求出几何量的最大值(最小值) 。(6)数形结合思想、转化思想、化归思想是解决初中数学问题常用的思想方法。5参考文献:1、 【例 1】:2008 年海南省中考试题;2、 【例 2】:2008 年四川重庆市中考试题。