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1、1习 题 课 下 03一、填空题1已知 ，则其和函数 ，级数 的和为)1(2 xn)(xS x1ln2 14)2(nn。 3l4解： ， ，)1,(,2)(1 xnxS ),(,1(2 xxSn。),(,l2)0( dt .3ln412l)21(1)(4)12( Snnn 2已知 ，则其和函数 ，级数 的和)(!0 x-n )(x xe)0!n 为 。 213e解： )!()!()!(!)( 001010 nnnn xxxxS ， 。)()( -eex 213)(2!eS 3级数 的和为 。1)!2(n )1sin(co2解： )!12()!()!(1)!( 1nn ).1sincosico2
2、)!2()!2(100nn 4设 ，其中.12 ,)(xxf xnaS ,s)(12，则 。),210(cos)(210Lnxdfan )25(S43解： 是余弦级数，它由 的偶式延拓展开而产生且周期为 2，Sf )1( 一)( 1 一)( 2()5 SxxS )(1 xf .43220)(ff二、选择题1设幂级数 在点 收敛，则实数 的取值范围是（ A ）1)(nax xa（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 333131解：令 ， ，收敛半径 ，收敛域为 ，tax1)(nntR)1,t故 的收敛域为 。 ， 。)( )1,a 2a32将 展成 的幂级数，其收敛域为（ D ）xf1
3、)()3(（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。,0,6)3,()6,0( 解： nnnxxxxf )3(113131)( 其中 ，即 ，故应选（D） 。60三、求幂级数 的收敛域与和函数。12nx解： ， ，收敛区间为（-2，2） ，21lim21lilimnnaR当 时，得 ，收敛的；2x1 )(n当 时，得 ，发散的；故收敛域为-2，2） 。 3设和函数 ， ，1 2)(nxxS2)0(S， （ 或 ） 。)( )( 1)(1nn )1ln(x022x .0 ,2 ,20一,l)(xxS四、将下列函数展开成 的幂级 数1 .arctn1ln4)(xf 解： ).1(112) 44
4、 xxxf n).()0(104ddfxnnx2 .larctn2f解法 1： ,arct1)( xxx ),()()(022xfnn ),1(2)1()1()1()(002xndtdtff nxnxn ttfx02)()()(。)1()21(0x解法 2： ),(arctnnx 1222 ),1()()l(1l nxx 4 12122)()(lnarct)( nnnxxxxf ).1(2)()()1 n 3 6l(2xxf解： )3ln()l()3(ln) xx，121l1(3l2(ln ，)()1l(1xnxn，)3()()3()3l( 11 xxxnnn 。)2(23)(l2)( xf
5、五、将函数 展开成 的幂级数。54)(xf )1(x解：令 ，1,tx ，321)32(5623)1(5)(243524)( ttttttf，211 010ttttt nn ，)23(32)()3()3(2010ttttt nnn )23(3)()1(2650011012 tttttnnnn5。)251()32)1(2)(0 xxxfnnn 六、将函数 展开成 的幂级数，并求 的和。 （2003 年考研题）farct)( 01(n解： 2224)1()1( xxxxf ，)1(4010 nnn，)21(2)(412)()( xxxfx n当 时， ， 。2104)(nf 410n七、将 展开成
6、正弦级数，并求 的和。)()(xxf 2)(n解：先将 作奇式延拓，再作周期延拓，则 ,10Lan，f si 2si 2sin 200 xdxdxdbni 1i 0)(cosco1nn0s cos)( xxnn .11当 时，级数收敛于 0，0x当 时，级数收敛于 ，)(f .,0 ,sin12)( xxf当 时，得 。x.2 , 0,1)1(2si41knkn 412)(0n八、利用幂级数证明欧拉公式： 。xieixsco证明： 0120201202 )!()!()!()!(!)( nnnnnix xixie6，xisnco在上式中以 代 ，得 ，xieisnco .)(21sincixie
7、x思考题：1将 展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求 的和。)1()(xxf 12n解： 是偶函数， 。2f ),21(0Lnb，105)(dxa 1010coscos4cos xdxdnnn ii2)(i210x .2 ,0,1)1(4)1(cos220 knknn 。xxfn)cos()1(45)( 22 )(当 时，得 ，0 8)1()(2n又 ，21212 48)()(nn 。684322设 试将 展开成 的幂级数，并求级数 的.0, 1,arctn)(xxf )(xf 124)(n和。 （2001 年考研题）解： ，1,2)(arctn0xnx712)(12)(12)(1(arct
8、n1 00022 nxnxnxxx)()(11nn )().1,0(),42)(Ux但 时，上述右边的级数收敛于 ，故0xf.1,412)()( xnfn .214)(214)(fn3求幂级数 的收敛区间与和函数 。 （2005 年考研题）n2)()( )(xf解： ，得新幂级数yx2 一nny1)1(， ，)2()(limli1 an R新幂级数的收敛区间为 ，故原幂级数的收敛区间为 。1 ,y )1 ,(x设 ， ，nnnxxS 2121 )()()()() ,， ，1)2)( ) ,(， ，21)()( xxSnn )1 ,(，dtxarc)0(，)1ln(t2rtn2xxSx 又 ， ，11)()n ,故 ， 。2)l(arct2)( xxxf)1 ,(8另解： nnnn xxxnxf 212121 )1()()()(1)() xx 22 ()()(112()nnnx， 。)l(arct22x) ,(4求幂级数 在区间 内的和函数 。 （2005 年考研题）nnx1)()1 ,()(xS解：设 ， ， ，则xS2)()nS21)(12)(n， 。1x ,， ，212)( xnxSn ) ,(， ，又 ，xdtl1)(02) ,(0)(1S故 .0 , ),1(,ln)(xxSU， ，212)(n) ,(故 )()(xSxS.0 ,0),1(,1ln2xxU
