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1、第四章 n 阶线性微分方程4.1 n 阶线性微分方程的一般理论一、教学目的与要求：（1）了解 n 阶线性微分方程与生产实践的关系；（2）掌握 n 阶线性微分方程的有关基本概念.（3）理解函数组在区间 I 上线性相关和线性无关的概念, 函数组的朗斯基(Wronski)行列式的定义.（4）掌握 n 阶线性齐次微分方程和 n 阶线性非齐次微分方程的通解结构定理及其证明.（5）掌握刘维尔(Liouvill e)公式及其应用.二、教学重点，难点：（1）分析应用实例，建立满足相应问题的 n 阶线性微分方程.（2）掌握 n 阶线性微分方程的有关基本概念.（3）函数组在区间 I 上线性相关和线性无关的概念,
2、函数组的朗斯基(Wronski)行列式的定义, 以及它们之间的关系.（4） n 阶线性齐次微分方程和 n 阶线性非齐次微分方程的通解结构定理及其证明.（5）刘维尔(Liouvill e)公式及其应用.4.1.1 线性微分方程的一般概念n 阶线性微分方程在自然科学与工程技术中有着极其广泛的应用在介绍线性方程的一般理论之前，先让我们来研究一个实际例子.例 1 弹簧振动.图 4-1设一质量为 m 的物体 B 被系于挂在顶板上一弹簧的末端，(我们将假设弹簧的质量与这一物体的质量比较起来是小的可以忽略不计的)，现在来求该物体在外力扰动时的运动微分方程式当物体 B 不受外力扰动时，重力被作用于物体 B 上
3、的弹簧的弹力所平衡而处于静止位置，把物体 B 的静止位置取为坐标轴 x 的原点 0，向下方向取为正向，如图 4-1 的( a). 若有一外力 f(t)沿垂直方向作用在物体 B 上，那么物体 B 将离开静止位置 0，如图4-1 的( b)，记 表物体 B 在 t 时刻关于静止位置 0 的位移，于是 分别表示xt 2,dxt物体 B 的速度和加速度由牛顿第二定律 F = ma, m 是物体 B 的质量， 是物体 B 位移的加速度，而2dxatF 是作用于物体 B 上的合外力这时，合外力 F 由如下几部分构成(1)弹簧的恢复力 f1，依虎克定律，弹簧恢复力 f1与物体 B 的位移 x 成正比，即1f
4、cx式中比例常数 c(0)叫作弹性系数，根据所取的坐标系，恢复力 f1的方向与位移 x 的方向相反，所以上式右端添一负号(2)空气的阻力 f2，当速度不太大时，空气阻力 f2可取为与物体 B 位移的速度成正比，亦即 2dxft式中比例常数 叫作阻尼系数，式中右边的负号，是由于阻力 f2的方向与物体 B 的(0)速度 的方向相反dxt(3) 外力 ()ft因此，我们得到 ()dxFcft从而我们得物体 B 在外力 作用下的运动微分方程式()ft(4.1)2()dxmcfttt我们将在本章第 4 节，详细叙述方程(4.1)所描述的弹簧振动的性质由于方程(4.1)是描述物体 B 在外力 f (t)经
5、常作用下的运动，所以方程(4.1)亦称为阻尼强迫振动例 2 电振荡在很多无线电设备(如收音机和电视机)中,我们经常见到如图(4.2)的回路. 它由四个元件组成,即电源(设其电动势为 E). 电阻 , 电感 以及电容器 . 为了简单起见, 电RLC容器的电容量我们也用 表示.它所储藏的电荷量为 .这时电容器的两个极板分别带着等Cq量但符号相反的电荷,极板间的电位差等于 1cEC此外, 当电路中流过交流电时, 电容器极板上的电量以及它们的正负符号均随时间发生变化. 根据电流定义, 这时有 .dqit根据基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律,在闭合回路中全部元件的电压的代数和等于零, 即 0iER
6、LdtC整理后可得(4.2)iqt考虑到 ,上式可写成dqit(4.3)2dqLREttC于是,得到了关于电荷量 的方程.q如果在式(4.2)两端对 求导数,并假设 是常量(直流电压),则可得关于电流的方程t(4.4)20diiLtt实验表明,在一定条件下,上述回路中的电流会产生周期振荡,因此我们把上述回路称为电振荡回路.不难看出,方程(4.1),(4.3)和(4.4)都具有一个明显的特点,就是在这些方程中,未知函数及其导数是一次式,因此这些方程称为线性微分方程.又由于出现在上述方程中的导数的最高阶数为 2,故我们称上述方程为二阶线性微分方程.一般的 n 阶线性微分方程可以写成如下形状：(4.
7、5)()(1)1()()nnnypxpxyfxL方程(4.5)的初始条件记为(4.6)(1)(1)000(),(),nnn 阶线性微分方程与第三章讲过的一阶线性微分方程组有着密切的关系，即可以把前者化成后者，而且二者是等价的，这样就可以把前者作为后者的特例加以处理.在方程(4.5)中，令 ,(4.5)就可以化成一阶方程组(1)12,nyyyL(4.7)12211()()()nnnndxydyxppxyfxLL(4.7)可以写成向量形式(4.8)()dYAFx其中 121000()()()()()nnnAxpxppx LL1210(),nyFxYyfM方程组(4.8)的初始条件可记为 0()Yx
8、其中 0010(1)00()()nnyyxM引理 4.1 方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若 是方程(4.5)在区间 I 上(yx的解，则 ,是方程组(4.7)在区间 I 上的解；反之，11(),(),()nyxyxL若 是方程组(4.7)在区间 I 上的解，则 是() ()yx方程(4.5)在区间 I 上的解.证明 设 是方程(4.5)在区间 I 上的解.令()yx (4.9)(1)121(),(),nnxxxL则有(4.10)12111()()()()()nnnndxxpxpxf LL在区间 I 上恒成立. 这表明， 是方程组(4.7)在区间1(),yyI 上的解. 反之，设
9、是方程组(4.7)在区间 I 上的解.于是11(),(),()nyxxL(4.10)式在区间 I 上恒成立.由(4.10)的前 n-1 个等式.可以看出，函数满足关系式(4.9)，将它们代入到(4.10)的最后一个等式，就有11(),()nxL()(1)1()()()nnnxpxpxpxfxL在区间 I 上恒成立，这就表明 是方程(4.5)在区间 I 上的解.证毕.y由引理 4.1 和第三章的定理 3.1,我们立即可以得到下面的定理定理 4.1 如果方程(4.5)的系数 及其右端函数 f(x)在区间 I 上()1,2)kpxnL有定义且连续，则对于 I 上的任一 及任意给定的 ，方程(4.5)
10、的满足初0 (1)00,y始条件(4.6)的解在 I 上存在且唯一.在下面的讨论中，总假设(4.5)的系数 及其右端函数 f(x)在区(),2)kpxnL间 I 上连续，从而，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在整个区间 I 上总存在且唯一.如果在(4.5)中， 在区间 I 上恒等于零, (4.5)变成()fx(4.11)()(1)1()()0nnnnyppxyL方程(4.11)称为 n 阶线性齐次微分方程 (或简称 n 阶齐次方程)，与此相应，(4.5)称为 n 阶线性非齐次微分方程(或简称 n 阶非齐次方程).有时，为了叙述上的方便，还称(4.11)为(4.5)的对应的齐次方程.4
11、.1.2 n 阶线性齐次微分方程的一般理论由引理 4.1，齐次方程(4.11)等价于下面的一阶线性齐次微分方程组(4.12)()dYAx这里 和 Y 与(4.8)中的相同.于是由第三章的定理 3.2 可知，齐次方程(4.11)的所有解()Ax也构成一个线性空间.为了研究这个线性空间的性质，进而搞清楚(4.11)的解的结构，我们需要下面的定义和引理.定义 4.1 函数组 称为在区间 I 上线性相关，如果存在一组12(),()nxxL不全为零的常数 ,使得12,naL(4.13)2()()()0nxax在区间 I 上恒成立. 反之，如果只当 时，才能使(4.13)在 I 上成立，12nL则称函数组
12、 在 I 上线性无关.12(),()nxxL引理 4.2 一组 n-1 阶可微的数值函数 在 I 上线性相关的充要条12(),()nxx件是向量函数组(4.14)12(1)(1)(1)2()()(),nnnnxxxLMM在 I 上线性相关.证明 若 在 I 上线性相关，则存在一组不全为零的常数12(),()n，使得12,naL(4.15)012()()()0naxaxL在 I 上恒成立.将(4.15)0 式对 x 逐次微分 n-1 次，得(4.15)112()()() (4.15)n-1(1)(1)(1)2 0nnnaxxaxL联合(4.15) 0，(4.15) 1，(4.15) n-1，就得
13、到向量函数组(4.14)是线性相关的. 反之，若向量函数组(4.14)在 I 上线性相关， 则存在不全为零的常数 ，使得(4.15)12,naL，(4.15)，(4.15) n-1 各式在 I 上恒成立，由(4.15)表明在 I 上线性相关. 证毕.12(),()nxxL由引理 4.2，为了建立函数组线性相关与线性无关的判别法则，自然需要引入下面的定义.定义 4.2 设函数组 中每一个函数 均有 n-12(),()nxxL()1,2)kxL1 阶导数，我们称行列式12(1)(1)(1)2()()()nnnnxxWxxLL为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式.有了以上的准备工作，我们现在
14、可以清楚地看到，齐次方程(4.11)的一般理论完全可以归结为第三章中一阶线性齐次微分方程组的一般理论来加以处理.由3.3 中关于齐次方程组的有关定理，可以自然地得到下面的关于齐次方程(4.11)的一系列定理.定理 4.2 齐次方程(4.11)的 n 个解 12(),()nxxL在其定义区间 I 上线性无关(相关)的充要条件是在 I 上存在点 x0，使得它们的朗斯基行列式 W(x ) 0 (W(x)0) .定理 4.3 如果 是方程(4.11)的 n 个线性无关解，则12,(),()nxL(4.16)()nyCC是方程(4.11)的通解，其中 为 n 个任意常数.12,通常称定理 4.3 为方程
15、(4.11)的基本定理.定义 4.3 方程(4.11)的定义在区间 I 上的 n 个线性无关解称为(4.11)的基本解组.由定义 4.3，方程(4.11)的基本定理又可叙述为：方程(4.11)的通解为它的基本解组的线性组合.例 3 易于验证函数 是方程12cos,iyx0y的解.并且由它们构成的朗斯基行列式 12cosin1yx在（，）上恒成立，因此，这两个函数是已知方程的两个线性无关解，即是一基本解组，故该方程的通解可写为 12()csiyxCx其中, 是任意常数. 不难看出，对于任意的非零常数 ， 函数组12,C1,k12cos,sinykxykx都是已知方程的基本解组.基本定理表明，齐次方程(4.11)的所有解的集合是一个 n 维线性空间.进一步，我们还有定理 4.4 n 阶齐次方程(4.11)的线性无关解的个数不超过 n 个.定理 4.5 n 阶齐次方程(4.11)总存在定义在区间 I 上的基本解组.最后，齐次方程(4.11)的解与它的系数之间有如下关系
