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1、 数形结合思想在解题中的应用 摘 要 数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数量关系与直观的图形的相互转化来解决数学问题。数形结合方法是数学解题中常用的思想方法。它被广泛地应用于解决数学问题之中。数形结合方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到解决问题的目的。本文阐述数形结合在中学数学中的应用，并结合适当的例题来加以说明。关键词 数形结合思想 解题 应用 抽象 直观学 号 分类号安康学院本科毕业论文（设计）1Several form combining the application in problem solving thinkingAbstract Several form
2、 combining, is according to the fractal number and the corresponding relation between the quantity relationship, with intuitive graphic conversion to solve mathematics problems. Several form combining method is used in mathematics problem-solving thought method .It is widely used in solving mathemat
3、ical problems. Several form combining method can make complex problem is simplified, abstract problem specific, achieve the purpose of solving problems. This paper describes Shuoxingjiege Mathematics in secondary schools, combined with appropriate examples to illustrate.Keywords Several form combini
4、ng ideas problem-solving application安康学院本科毕业论文（设计）2目 录一、前言5二、正文6（一）解决实数比较大小问题6（二）解决集合问题6（三）解决函数问题7（四）解决方程与不等式的问题9（五）解决三角函数问题11（六）解决线性规划问题12（七）解决数列问题14（八）解决解析几何问题14（九）解决立体几何问题16三、结束语18四、参考文献19五、致谢20安康学院本科毕业论文（设计）3前 言数 与 形 是 数 学 中 的 两 个 最 古 老 、 最 基 本 的 研 究 对 象 ， 它 们 在 一 定 条 件 下 可 以相 互 转 化 。 中 学 数 学 研
5、究 的 对 象 可 分 为 数 和 形 两 部 分 ， 但 是 数 与 形 是 有 联 系 的 ，这 种 联 系 就 被 称 之 为 数 形 结 合 。 我 国 著 名 数 学 家 华 罗 庚 曾 指 出 ： 数 形 结 合 百 般好 ， 隔 裂 分 家 万 事 非 ， “数 ”与 “形 ”反 映 了 事 物 两 个 方 面 的 属 性 。 我 认 为 ， 数形 结 合 主 要 指 的 是 数 与 形 之 间 的 一 一 对 应 关 系 。 数 形 结 合 就 是 把 抽 象 的 数 学 语 言 、数 量 关 系 与 直 观 的 几 何 图 形 、 位 置 关 系 结 合 起 来 ， 通 过
6、“以 形 助 数 ”或 “以 数解 形 ”， 即 通 过 抽 象 思 维 与 形 象 思 维 的 结 合 ， 可 以 使 复 杂 问 题 简 单 化 ， 抽 象 问 题具 体 化 ， 从 而 起 到 优 化 解 题 途 径 的 目 的 。 作 为 一 种 重 要 的 数 学 思 想 方 法 ， 数 形 结 合 的 应 用 大 致 又 可 分 为 两 种 基 本 形 式 ，一 方 面 是 对 “形 ”的 问 题 ， 引 用 坐 标 系 或 者 寻 找 数 量 关 系 式 。 在 解 析 几 何 中 就常 常 利 用 数 量 关 系 去 解 决 图 形 问 题 。 另 一 方 面 是 对 于 数
7、量 间 的 关 系 问 题 ， 分 析其 几 何 意 义 。 数 形 结 合 在 解 题 过 程 中 应 用 十 分 广 泛 ， 如 利 用 数 轴 解 决 实 数 比 较大 小 ， 解 决 集 合 问 题 ， 求 函 数 的 值 域 和 最 值 问 题 ， 解 方 程 和 解 不 等 式 问 题 ， 三角 函 数 问 题 ， 解决线性规划问题，解决数列问题，解决解析几何问题中都 有 体 现 。安康学院本科毕业论文（设计）4正 文数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解
8、题的途径,而且能避免复杂的计算与推理 ,大大简化解题的过程。 “数无形时不直观, 形无数时难入微” 。华罗庚先生恰当地指出了 “数” 与 “形” 的相互依赖、相互制约的辩证关系, 是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。然而，我们知道数形结合在中学教材中都有广泛的应用。比如：实数、集 合 问 题 、 函数、方程、不等式、线性规划、数列及解析几何等等。 本 文 就 针 对数 形 结 合 思 想 在 数 学 解 题 中 的 应 用 简 单 谈 一 下 自 己 的 看 法 。 下面，就结合例题，对此做一个系统的分析。(一)、实数比较大小例 1、（2004 年陕西省中考题 2题）如图 1，若数轴上的两
9、点 A、B 表示的数分别是 a、b，则下列结论正确的是（ ）Bb 20 1-1Aa图 1 （A） （B） 2b0ab(C) (D) 0a解：观察图 1，可知 , . .选（A）0b12评注：利用数轴将实数和直线上的点建立一一对应的关系(二)、解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例 2、已知集合 A= | a，易得出 经过y2B、C、D 三点。利用抛物线的对称性确定 的对称轴为 x=0， 的对称轴经过y12C 点，则可推出 D 点坐标。再利用图象上点的坐标应满足函数解析式，则可构造关于 a、c 的方程组，求出待定系数的值
10、。解：（1） aa1， 又 由 图 象 可 知 与 异 号0yxbc2213()()的 图 象 开 口 向 上yBCD2的 图 象 经 过 、 、 三 点（2） |BO|=|AO|Q的对称轴12x=-0bab=0B（1,0） 、C（3,y） 又 |BC|=|DC|Q的对称轴经过 C 点，且 D（5,0）2y将 B（1,0） 代入 ，得 a+c=0 (1)1y将 D（5,0） 代入 ，得 25a+c+8=0 (2)2解(1)、(2)可得 31ac， 213yx2043yx评注：观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论。这是数形结合分析、解决
11、问题的一个重要方面。利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。例 4、已知二次函数 若 ,则 的值是( )2(0),fxa()0fm1f安康学院本科毕业论文（设计）7A、正数 B、负数 C、零 D、符号与 有关a解：根据所给条件，画出图象，分析出 m的范围，问题便得到解决。,221()()4fxaxa对称轴为直线 ，且有.由如下图 4所示，可得 ,()0,fm(10), . 故应该选 A1(1)0ffx = x2+x+aA(0,a)0-0.5-1图 4评注：本题不仅需要对二次函数的性质能够灵活应用
12、，借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，而且能将函数图象的几何特征与数量特征紧密结合联系起来进行研究，体现了数形结合的特征与方法。恰当使用数形结合思想，不仅轻易直观地发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，很大程度上简化了解题过程。(四)、解决方程与不等式的问题处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例 5、方程 的解得个数为（ ）21xA、0 B、1 C、2 D、3安康学院本科毕业论文（设计）8错解：在同一个坐标系中，画出函数 和 的图象，()2fx2()1gx由图 5可
13、知，两图象只有一个交点，所以，选 B. gx = x2-1fx = 2x0图 5分析：此题由于草图粗糙而导致误判，事实上，考察函数 和()2fx的增长“速度”变化，由图 6可知，它们有 2个交点。故正确2()1gx答案应为 Cjgx = x2-1f x = 2x0图 6评注：上例说明熟悉函数解析式与熟悉函数图象性质同样重要，熟练而正确地勾画出图象的轮廓是数形结合的基础例 6、若 在（0， ）内恒成立，则 m的取值范围是_2logmx12解：原不等式可变为 ，令 ，2logmx2()fx()logx若 ，如图 7所示，显然要使不等式在（0， ）内恒成立时不可能的。1 1安康学院本科毕业论文（设计
14、）9从而就有 ，如图 8所示， 时， 。01m12x1()4f要使 ，在0, 内恒成立，2logx2须 l4m141llog26mm综上所述， 1,)6图 7 图 8评注：将不等式转化为函数, 利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。(五)、解决三角函数问题有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。例 7、 （2009.上海理）当 时，不等式 成立，则实数 的取值范01xsin2xkk围是_解析：设 （ ）则 （ ）2txt0t则 在 上恒成立.设 ,如图 9， sinkt02t12sin,kyt安康学院本科毕业论文（设计）10图 9需函数 在0, 上的图象在函数 的图象的上方，1sinyt22kyt2.kk例 8、当函数 （ ）取最小值时，
