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1、1最佳阵容问题摘要本文是根据运动员参加项目的得分情况及概率，假设每个人的成绩严格按照所给的概率，对比赛的最佳阵容问题做了模型研究。为了方便模型的建立，我们引入 0-1 模型，参加比赛时值为决策变量值 1，不参加时值为 0。再建立目标函数，将题中要求转化为约束条件，利用 Lingo 软件求解。第一问中，约束条件有四个，即每个项目可以有 6 名选手参加；每个队应有 4 人参加全能比赛；参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项；参加全能比赛的每个运动员需参加所有单项。在最悲观估算的条件下，目标函数为所有运动员所参加项目的最低得分之和的最大值，求解出最悲观估算得分最高的出场阵容，见表 1；而在求最
2、大期望的前提下，则需要将每个运动员在每个项目下得分的期望先求出，目标函数为所有运动员所参加项目的期望得分之和最大值，求解出出场阵容，见表 2。第二问中，假设每一个阵容的团体总分概率分布符合正态分布。该小题的目的是求出夺冠概率最大的阵容，因此目标函数应为该阵容超过规定分数的最大概率。约束条件还要加上得分大于等于 236.2，这里的得分为阵容最乐观的分数。 最乐观估计下的得分超过规定分数是得分超过规定分数的必要条件。因此仿照上一题，求解最乐观估计下的最高得分和夺冠概率，得到出场阵容见表3。再利用计算机模拟出夺冠分数的正态分布情况，求出其期望值为 ，次阵容有 90%的把握战胜的对手。关键词:最佳阵容
3、;0-1 模型;目标规划;计算机模拟一、问题重述21.1 条件有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许 10 名运动员参赛，每个项目可以有 6 名选手参加.每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10；9.9；9.8；0.1；0.每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者.此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项.每个队应有 4 人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛.现某代表队的教练已经对其所带领的 10 名运动员参加各个项目的成绩进行
4、了大量测试，教练发现每个队员在每个单项上的成绩稳定在 4 个得分上（见附录 1）.她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据.例如：8.40.158.40.15 表示取得 8.4 分的概率为 0.15）.1.2 问题（1） 每个选手的各单项得分按最悲观估算，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高.（2）若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于 236.2 分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？
5、它有 90%的把握战胜怎样水平的对手？二、模型假设1、每个人的成绩严格按照所给的概率得到。2、每一个阵容的团体总分概率分布符合正态分布。三：符号说明3表 1 主要变量符号说明一览表符号 意义bi 第 i 名运动员是否参加了全能比赛：是为 1，否为 0bij 第 i 名运动员是否参加了编号为 j 的单项比赛 ：是为 1，否为 0rijk 第 i 名运动员参加了编号为 j 的单项比赛得的第 k 项的成绩rij5 第 i 名运动员参加了编号为 j 的单项比赛的期望得分pijk 第 i 名运动员参加了编号为 j 的单项比赛得的第 k 项成绩的概率S11 每个选手的各单项得分按最悲观估算阵容总得分S12
6、 每个选手的各单项得分按均值估算阵容总得分S 每个选手的各单项得分按最乐观估算阵容总得分a 最乐观情况超过夺冠分数的分数Pa 最乐观情况的概率p 夺冠概率四、问题分析与模型建立4.1 第一问问题分析与模型建立（1）问题分析：该题目要求我们求出团体总分最高的阵容，可以引入 0-1 模型。在最悲观估算的条件下，要求团体总分尽可能高的出场阵容，即就是要求所有运动员所参加项目的最低得分之和的最大值；而在求最大期望的前提下，则需要将每个运动员在每个项目下得分的期望先求出，再求出所有运动员所参加项目的期望得分之和最大值时的出场阵容。由题可知，这是一个求最大得分的问题。因此目标函数为Max S；在最悲观估算
7、的条件下，S 为所有运动员所参加项目的最低得分之和，而在求最大期望的前提下，则需要将每个运动员在每个项目下得分的期望先求出，S为所有运动员所参加项目的期望得分之和。由于比赛规则所限，各队员所参加的比赛需要受到一定的限制，即为该模型的约束条件。为了方便模型的建立我们引入 0，1 变量 bi 和 bij。其中 bi 表示4第 i 名运动员是否参加了全能比赛(参加为 1，不参加为 0)；b ij 表示第 i 名运动员是否参加了编号为 j 的单项比赛(参加为 1，不参加为 0)。（2）模型模型：目标函数：1.悲观估计Max S11=941*ijbirj2.期望估计Max S12=9401ijkbijr
8、pij约束条件:1. 每个项目可以有 6 名选手参加， =041ji=041ji4.2 第二问题分析与模型建立5(1) 问题分析：本题的目的是求出夺冠概率最大的阵容，因此目标函数应为该阵容超过规定分数的概率 P，即 Max P；阵容的约束条件较上一题不变，但要加上得分的约束条件阵容最乐观的分数不小于 236.2。最乐观估计下的得分超过规定分数是得分超过规定分数的必要条件。因此仿照上一题，求最乐观估计下的最高得分。求得为 236.5 分，超过规定分数 0.3 分。观察数据我们发现，任何一位运动员在每一个项目上的最高分与其他分之差不会小于 0.2 分。也就是说，任何一种阵容最多只允许一名队员在一个
9、项目上取其他分，其余得分均为最高分。而且最高分与其他分的差不能大于（S-236.2 ）。这时，P 应为最乐观得分的概率（Pa）以及各种取其他分情况的概率和。由于每种情况下得分情况太多，为了方便求解，不妨假设每种情况下得分服从正态分布，所以只需用计算机将所得到的阵容模拟即可得出正态分布的参数，进而求出 90%的概率战胜怎样的对手。（2）模型建立目标函数：Max P=Pa+ kij*floor(a+rij 其他分-rij 最高分+1)*Pa*pij 其他分/pij 最高分。9401ij其中，Pa= (kij*pij 最高分+1-kij) ，a=S-236.2.9401ij解释：1.Pa 为该阵容取
10、得最好成绩的概率。它应为每个取最好得分概率的积。当k 为 1 时，因数为该得分的概率；k 为 0 时，因数为 1.2. 当（a+r 其他分-r 最高分）=0 时，该成绩取其他分是可以的，此时floor(a+r 其他分-r 最高分+1)=1 ，否则为 0.如果 k 为 1，则应该加上该种情况的概率。概率为 Pa*p 其他分/p 最高分。约束条件：1. 每个项目可以有 6 名选手参加， =041jbi5 本次夺冠的团体总分(S)估计为不少于 236.2 分,S= =236.29401ijbirj=041jbi=236.29401ijirj五、模型求解将上述模型代入 Lingo 软件中进行求解。具体
11、程序及结果详见附录。表 2 最悲观估计的出场阵容队员 参加项目1 3（跳马）2 全能3 4（自由体操）4 2（平横木） 3（跳马）5 全能6 全能7 1（高低杠）8 2（平横木）9 全能10 1（高低杠） 4（自由体操）7最悲观估计的出场阵容得分为 212.3 分。表 3 按均值估计的出场阵容队员 参加项目1 3（跳马）2 全能3 全能4 3（跳马）5 2（平横木） 4(自由体操）6 1（高低杠）7 1（高低杠）8 全能9 2（平横木） 4(自由体操）10 全能得分期望为 224.7 分。表 4 夺冠概率最大的阵容队员 参加项目1 2（平横木） 3（跳马）2 3（跳马）3 1（高低杠） 4（自
12、由体操）4 全能5 4（自由体操）6 1（高低杠） 2（平横木）7 全能8 全能9 全能10 无夺冠概率为 0.2758522E-18，8在确定了参赛阵容后,使用计算机仿真该阵容参与比赛的过程。得到仿真得分 100 个(表 5):表 5 仿真得分结果220.8 223.3 220.8 222.6 223.2 221.4 221 220.8 221.1 225.1223.1 222 223.4 223.1 220.5 223.3 223.2 224.4 222.2 224223.2 223.6 223.4 222.5 223.8 223.3 223.3 220.5 222.5 221.7224
13、221 222.6 221.4 220.9 220.9 222.4 221.1 222.4 220.8221.5 222.7 221.7 223.4 222.6 220.8 219 225.6 222.5 223.4222.8 222.8 223.4 222.5 223.3 225.1 220.2 214 224 222.5224 222.5 222.5 222.1 222.8 222.8 223.7 225.4 224.7 218.7219.8 220.9 222.9 224.7 221.7 224.4 222.4 221.5 223.2 223.4222.8 224 219.8 222.1
14、 221.7 221.5 225.4 222.9 223.6 221.7225.1 223 224.7 220.7 225.1 220.1 223.2 220.9 223.4 221.5对以上数据进行拟合优度 x2 检验,得出上述数据满足正态分布。设运动队获得总分为随机变量 x,根据极大似然法估计 xN(222.5,1.9)。得分前景为 222.5 分。运动队能够有 90%把握战胜怎样的对手,即 P(k=0;b21+b22+b23+b24-4*b2=0;b31+b32+b33+b34-4*b3=0;b41+b42+b43+b44-4*b4=0;b51+b52+b53+b54-4*b5=0;b6
15、1+b62+b63+b64-4*b6=0;b71+b72+b73+b74-4*b7=0;b81+b82+b83+b84-4*b8=0;b91+b92+b93+b94-4*b9=0;b01+b02+b03+b04-4*b0=0;b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+b9+b0=4;r111=8.4; r112=9.0; r113=9.2; r114=9.4; r121=8.4; r122=8.8; r123=9.0; r124=10;r131=9.1; r132=9.3; r133=9.5; r134=9.8; r141=8.7; r142=8.9; r143=9.1; r144=9.
16、9;r211=9.3; r212=9.5; r213=9.6; r214=9.8; r221=8.4; r222=9.0; r223=9.2; r224=9.4;r231=8.4; r232=8.8; r233=9.0; r234=10; r241=8.9; r242=9.1; r243=9.3; r244=9.6;r311=8.4; r312=8.8; r313=9.0; r314=10; r321=8.1; r322=9.1; r323=9.3; r324=9.5;r331=8.4; r332=9.0; r333=9.2; r334=9.4; r341=9.5; r342=9.7; r343=9.8; r344=10;r411=8.1; r412=9.1; r413=9.3; r414=9.5; r421=8.7; r422=8.9; r423=9.1; r424=9.9;r431=9.0; r432=9.4; r433=9.5;
