高三复习专题---导数

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1、高三复习专题-导数导数应用（一）一、填空题：1当 h 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 2(3)h2若函数 的增区间为（ 0，1） ，则 的值是 lnyxaa3曲线 在点（ ）处的切线方程为 si3,24函数 y=x3-3x+1 在闭区间-3 0上的最大值与最小值分别为_ 5函数 的单调递增区间为 _()ln(0)f6当 时， 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 1321xm7设 , 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0)围成的封闭图形的面积为 S(t)，则 ),3 ()t11设 a、 b 为实数且 b-a=2，若多项式函数 在区间（a, b）上的导函数 满足)f xf，则 与 的大

2、小关系是_ ()0fx(1)fa()2fb12母线长为 1 的圆锥体积最大时，圆锥的高等于_ 13圆形水波的半径 50cm/s 的速度向外扩张，当半径为 250cm 时，圆面积的膨胀率为 14已知数列a n满足 2an+1= -an3+3an 且 ，则 an 的取值范围为_)1,0(二、解答题15已知函数 ， ，是否存在整数 m，使得函数 f(x)与 g(x)图像在2()10fxx7()gx区间(m,m+1)内有且仅有两个公共点，若有，求出 m 的值，若没有，请说明理由16用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点 F 的光源所射出的光线 FP 经抛物线上任一 6 8 4 点 反射后（该点处的切

3、线反射）反射光线 PM 与抛物线对称轴平行0(,)Pxy17如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深 8cm，上口宽 6cm，水以 20 的流量倒入杯中，scm2当水深为 4cm 时，求水面升高的瞬时变化率18 （07 连云港三模）函数 f(x)=x 3-3tx+m(m, t 为实常数)是偶函数，且 g(x)= f(x)x2（1）求实数 m 的值并比较 f( )与 f(2 )( t0)的大小；t t（2）求函数 y=f(x)在区间-2,2上的最大值 F(t)19烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境

4、内有两个烟囱 A,B 相距20km，其中 B 烟囱喷出的烟尘量 A 的 8 倍，该乡要在两座烟囱连线上一点 C 处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低20设 f(x)=x(x-p)(x-q) (pq0)且函数 f(x)在 x=a 和 x=b (ab)处取得极值（1）求证:paqb ；（2）若 p+q2_12321xm7设 、 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0)围成的封闭图形的面积为 S(t)，则 = 3(0), ()t；3t11设 a、 b 为实数且 b-a=2，若多项式函数 在区间（a, b）上的导函数 满足)f xf，则 与 的大小关系是 ()0fx(1)f()2fb

5、1()2af12母线长为 1 的圆锥体积最大时，圆锥的高等于 313圆形水波的半径 50cm/s 的速度向外扩张，当半径为 250cm 时，圆面积的膨胀率为 25014已知数列a n满足 2an+1= -an3+3an 且 ，则 an 的取值范围为 (0,1)1,0(二、解答题：15.已知函数 ， ，是否存在整数 m，使得函数 f(x)与 g(x)图像2()10fxx7()gx在区间(m,m+1)内有且仅有两个公共点，若有，求出 m 的值，若没有，请说明理由.变式题:已知函数 f(x)=x3 +bx2+3cx+8和 g(x)=x3+bx2+cx(其中- b0)， 32F(x)=f(x)+5g(

6、x), (1)= (m)=0.fg（1）求 m 的取值范围；（2）方程 F(x)=0 有几个实根？为什么？点拨：两曲线的公共点一般转化为方程的根问题，根据方程特点，利用三次函数的单调性，极值（最值）及图像特征是解决问题的突破点.解：函数 f(x)与 g(x)公共点的横坐标即是方程 的解, 也就是方程23710xx1031x2xy xO的根. 记 h(x)= ，则 32107x32107x2()60hxx令 得 ，由单调性易知，h(0)和 分别是极大值和极小值.)(h10,3x 30（如图）,由图形知 有三个零点 ,()27()321,且 又 h(3)=1,h(4)=5,故 ,即 故可取 m=3

7、.12310,xx234x34(,)x又 区间(m,m+1)长度为 1，故 m 不可能有其他值.综合知，存在整数 m=3 满足题意.Q变式点拔：（1） ，由题设易得/2/2()3,()fbxcgbc，消去 c 得 ，故 ，再由- b0230bc960293132可解得 m 的取值范围是 .(,0)(,1)3U（2）方程 F(x)=0，化简有 3x3+3bx2+4cx+4=0.记 Q(x)= 3x3+3bx2+4cx+4,则 Q/(x)= 9x2+6bx+4c,- b0,c = - ,-1c 0,0，故 Q/(x)=0 有相异两实根,即函32 2b+33数Q(x)有两个极值点 ,不妨设为 x1,

8、 x2 (x1x 2),则 Q(x)极大值为 Q(x1)，极小值为 Q(x2).下面要确定两个极值的符号，显然十分困难，从函数结构特征上发现 Q(0)=4,它就是此题的一个“启示点” ，因为 Q（x）在区间（x 1,x2）内为减函数,所以 Q(x1) Q(0) Q(x 2),则 Q(x1)一定为正，从而只须确定 Q(x2)的符号即可. 而三次函数 Q(x2)= 3 x23+3b x22+4c x2+4 的符号较难确定,函数 Q（x）具有一个特性，即 Q/(x2)恒为 0 (x2为 Q(x)的极值点),以此为中心,利用它的特性进行两次降次，由 3 次降至 1 次,寻求解决问题的思路.Q(x 2)

9、= 3 x23+3b x22+4c x2+4= x2(9 x22+6b x2+4c)+b x22+ c x2+4=0+ b x22+ c x2+4= (9 x22+6bx2+4c)13 83 83 b9+( c- b2) x2+4- bc =( c- b2)x2+4- bc.83 23 49 83 23 49由韦达定理得 x1+x2= - b , x1x2= c ,0x 1+x21, - x 1x20,x 10x 2,x123 49 49- ,1x 1+x2- +x2,9x22-9x2-40 ,0x 2 ,49x2 49x2 43于是 Q(x 2)=( c- b2)x2+4- bc( c- b

10、2) +4- bc- +40,83 23 49 83 23 43 49 329故 Q（x）与 x 轴只有一个交点,所以方程 F(x)=0 只有一个实根 点评: 此题从函数特性中抓“启示点”引领思维“寻路” 。特殊函数可以帮助我们轻松地选择思维的起点、方向、重心，以特殊函数特征、特性为中心，对信息层层剖析，使推理更具针对性、目标性。 此题充分利用三次函数 Q(x2)具有的 Q/(x2)=0 这个特性,因势利导, 由三次降为一次 ,拨开云雾挖掘出深层次的内涵, 突破了关口.它的特性有着画龙点睛，凝神聚气之奇效!是思维的导向标!16.用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点 F 的光源所射出的光线

11、FP 经抛物线上任 6 8 4 FMNTHyxOP一点 反射后（该点处的切线反射）反射光线 PM 与抛物线对称轴平行.),(0yxP点拨：要证两直线平行，可从多种角度入手根据导数意义及切线特点，从角方面研究本题较为方便.证：设抛物线方程为 , 则焦点为 .2(0)yax1(0,)4Fa由抛物线定义知 ，又 ， 014PFxQ故 PN 的方程为 ，02()yx令 x=0 得 0a14T,TPFT轴FPHM且 ,/NMy17如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深 8cm，上口宽 6cm，水以 20 的流量倒入杯中，当2cms水深为 4cm 时，求水面升高的瞬时变化率.变式:已知圆台形水桶高 60cm，

12、上口直径为 60cm，底面直径为 40cm，现将水以 20 的流量倒入桶中，3cs当水深为 20cm 时，求水面升高的瞬时变化率. 点拨：什么是水面升高的变化率？是 ，还是 ？)(thth它们与导数有何关系？当 时，水增量形状如何？0t这些都会导致对问题的不同思考与解法.解法 1：设当水深 hcm 时圆锥横截面半径为 rcm，对应体积为 V 可知，, , 38rh233()864Vh3()64hVtt又当 时， 且 ，2 2()(64httt020t即 ，当 时， .30 28(cms)94h答：当水深为 4cm 时，水面升高的瞬时变化率为 . 9解法 2：由 得2310364Vrht13 3

13、36420640htht于是 又当 时， 故 . 30ht 289答：当水深为 4cm 时，水面升高的瞬时变化率为 . cms解法 3：易知当水深为 4 时，水面直径为 3，设经秒 后水面上升为 ，则此时水的th增量近似地（看成圆柱）为 .2380()0,/s9hht且 O 1o答：当水深为 4cm 时，水面升高的瞬时变化率为 . 80cms9点评：法 1 从导数定义出发，解决实际问题；法 2 则从实际问题中先提炼出函数解析式，然后对函数求导，法 3 是从变化率的本质入手，运用以直代曲思想使问题获解,解法新颖别致,给人耳目一新之感18函数 f(x)=x 3-3tx+m(m,t 为实常数)是偶函

14、数，且 g(x)= . （1）求实数 m 的值f(x)x2并比较 f( )与 f(2 )( t 0)的大小；（2）求函数 y=f(x)在区间-2,2上的最大值 F(t).t t变式（07 福建改编）已知函数 .()exfkR，（1）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；0k0k（2）设函数 ，求证： ()()Fxf12(1)2()e)()nFnNL点拔：（1）由 恒成立易得 m=0而 ，xf 3fttt，故 f( )=f(2 )；tttf 268)( t t（2）由于函数 f(x)是偶函数，故要讨论函数f(x)在-2,2的最大值，只需讨论函数 f(x)在0,2的最大值.令 h(x)= -3tx (x0,2)，x 3h /(x)=3 -3t.x 2当 t0 时，h /(x)=3x2-3t0, (仅当 t=0,x=0 时，h /(x)=0)，从而 h(x)是增函数，h(x )的值域为0,8-6t，F(t)= 8-6t当t0 时,分类的标准如何确定，先画出在 x0 时函数 f(x)的图像,如图所示，而(1)中结论f( )=f(2 ),以这个铺垫为中心，点明分类讨论的标准是什么，即区间0，2边界值 2 与t t和 2 大小关系为分类标准.分类为：当 2 ,即 t4 时，h /(x)=3x2-3t0, 从而