《放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径》由会员分享，可在线阅读，更多相关《放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。1、 先放缩再求和例 1 （05 年湖北理）已知不等式 其中 为不大于 2 的整数，,log21321nL表示不超过 的最大整数。设数列 的各项为正且满足log2nn2logna，证明： ，11),0(nnaba)4,(log22nbnL5,43分析：由条件 得：1nnan1an1)2(121n12a以上各式两边分别相加得： 21Lnn 1banlog21n)3(n= blog
2、22nan)3(n本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。例 2 （04 全国三）已知数列 的前 项和 满足： ， nanSnna)1(2（1）写出数列 的前三项 ， ， ；na12a3（2）求数列 的通项公式；（3）证明：对任意的整数 ，有4m87154maaL分析：由递推公式易求：a 1=1,a2=0,a3=2；由已知得： （n1）11()()nnnnaS化简得： 112(),)()1(1nn 32)1(32)(nna故数列 是以 为首项, 公比为 的等比数列.32)(na1a故 1)()1(nn 2(1)3nn数列 的通项公式为： .na2nna观察要证的不等式，左边很复杂
3、，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边= ，如果我们把232451111 ()mmLL上式中的分母中的 去掉，就可利用等比数列的前 n 项公式求和，由于-1 与 1 交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，323211，因此，可将 保留，再将后面的项两两组合后放缩，即44312可求和。这里需要对 进行分类讨论， （1）当 为偶数 时，mm)4(aa1154L)(1654 aaL)21234m(87（2）当 是奇数 时， 为偶数，m)4(1m8711165454 maaaaLL所以对任意整数 ，有 。154本题的关键是并项后进行适当的放缩。2、 先求和再放缩例 3（武汉市模拟）定义数列如下： Nnaan,1,2211证明：（1）对于 恒有 成立。Nnn（2）当 ，有 成立。且 121L（3） 。12062206 aa分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由 得：121nn)(a1nn )(112a以上各式两边分别相乘得：，又)1(211nnL21aaa（3）要证不等式 ，1212062106 a可先设法求和： ，再进行适当的放缩。20621aL)(1nnaQnnna111nnaa20621L )11()1()( 2072063221 aaaL20712061aL又 20612062061aL原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。
