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1、2012 届毕业生毕业论文题 目: Bellman 不等式的推广及应用 院系名称: 理学院 专业班级: 信息与计算科学 F0801 学生姓名: 张宏伟 学 号: 200848490105 指导教师: 侯长顺 教师职称: 讲师 2012 年 5 月 25 日1摘要Bellman 不等式的研究在常微分方程，偏微分方程，Bellman-ford 算法等方面取得的成就是非常重要的。但关于积分不等式的推广与应用是一个难题，也是一个实用性很强的一个知识点。到现在为止也没有一些具体且全面的方法，使其对一般不等式的应用变得简单易行,所以研究这个问题非常重要.现在的研究更加关注于是不是可以找到一个标准，使其更方
2、便地应用到实际生活中。Bellman 不等式是数学研究里的一个非常重要的环节.研究 Bellman 不等式的原因主要是为了解决更多的实际问题.这个研究题目的重要意义就是能够更快，更方便，更加系统地了解 Bellman 不等式的应用与推广问题。现有文献的主要内容是将各类积分不等式加以归纳概括并应用到实际中,并且针对不同的实际问题，又可以采取不同的方法，所以如果从这点出发可能会使 Bellman 不等式的研究有一个比较系统的分类.关键词、Bellman 不等式，实际问题，应用与推广2Title: Bellman inequality of popularization and applicatio
3、nAbstractThe Bellman inequality research has made a lot of achievements,in ordinary differential equations, partial differential equations, the Bellman-fordalgorithm and it is very important.but it is a difficult problem on the popularization and applications, and it is also a very strong point of t
4、he practical knowledge,until now there is no specific and comprehensive method, made it easy to general inequality application, so the study of this problem is very important. Now the research is more concerned to study that whether it can find a standard or not, so that it can be more easily applie
5、d to the actual life. Bellman inequality is a very important part of the mathematics research, the cause of study Bellman inequality is to solve more problems in fact. The significance of topic research is faster, more convenient, more systematic to understand application and extension of Bellmanine
6、quality.The main contents of the existing literature is that all kinds of integral inequality will be induction and generalization,and applied to the actual. And according to the different actual problems,it can take many different methods. So if from this perspective, may make Bellman inequality ha
7、ve a systematic classification.Keywords: Bellman inequality,practical problem,Application and popularization3目录一、引言 .4二、Bellman 不等式的证明及解的存在性，唯一性证明 .41、Bellman 不等式的证明 .42、解的存在唯一性定理 .73、Bellman 不等式的推广 .8三、Bellman 不等式与微分方程的解 .91定义和引理 .92、定理 .103、唯一性定理及证明 .11四、关于 Bellman 不等式的几个充分条件 .121、关于 Bellman 不等式 .
8、122、定理及证明 .133、 B中零元素的个数对条件的影响 .17五、Bellman 不等式的推广 .181、相关定理及推广定理 .182、推广定理 7 及证明 .19结论 .21致谢 .22参考文献 .234一、引言现在很多数学分析家都分析研究了 Bellman 不等式的很多基本的理论和基本的研究方法，而且也有很多数学家研究分析了 Bellman 不等式在实际当中的应用和推广的诸多方法。Bellman 不等式的理论研究是以 Bellman 原理应用于不等式为研究对象的，而且 Bellman 不等式的研究对象属于不等式的应用范围。Bellman 不等式的研究情况是不等式研究的中心课题，是由数
9、学家贝尔曼提出来的。它是贝尔曼原理的推广与发展，是一种新型的不等式应用。在历史上 Bellman 原理曾经发挥出了很大的作用，它相对于处理像常微分方程的解的存在性及唯一性来说已经足够了，可是对于某些实际应用中的问题来说还是不够用的。从 Bellman 原理的实际应用范围来看， Bellman 原理比 Bellman 不等式的应用更加的广泛。这两种研究理论既有密切的联系，又有着本质区别。Bellman 原理不仅包含了 Bellman 不等式里所使用的诸多研究方法，并且还在很大的程度上减少了对 Bellman 不等式的一些局限性。所以相对于 Bellman 不等式的应用来说，Bellman 原理在
10、实际中处理一些问题是比较灵活的。二、Bellman 不等式的证明及 解的存在性，唯一性证明1、Bellman 不等式的证明定理1(Bellman 不等式) 假设 是非负的常数, 与 是在区间k)(tftg上面的连续并且非负的函数, 并且满足以下不等式t。这时候就有ttdsgkf,)()( tatdsgkf .),(exp)( 证明1 我们假设5tatdsgfktw,)()( 对上式两边分别进行微分,可以得到 ),()()(twtfdt也就是 .0)()(tgt上式的两边再同时乘以下面的积分因子 并且使用全微分tads),exp,可以得到udvwtasgtwd.0)(e)(再将上面式子的两边分别
11、从 到 进行积分,可以得到 ,)(exp)(tatdst也就是 tasgktw),(e)(可以得到 所以就有),(tftatdsktf .),(exp)( 证明2 我们假设 ta twtsgfktw,0)(.,)()(下面分两种情况进行讨论(i)当 时, 因为 因此 ；又因为0)(t ),(tf)(tf所以tadsgk,)exp, tatfdsgk);(0)(exp(ii)当 时，又可以分 和 这样两种情况进行讨论.0)(tw)tt如果 , 因为 , 所以 ，又因为, kg, (fw)(tfk, 因此有tadsk)(exp6);()(exptfkdsgkta如果 , 因为 , ,因此 , 又因为 ，故0)(tg)(twf0t1)(tw0)(tg. 也就是有)()(ttwf,)()(tgdsfktta上式也可以写成下面的形式.tatgsfdt )()(ln(上式两边再分别从 到 进行积分, 可以得到at tatadsgkdsfktsgfk ,)(ln
