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1、综合编程实验问题第一章 常微分方程问题求解第 1 节 ODE45 求解初值问题1. 基于数学建模中的传染病模型，应用 ODE45 求解传染病 SIR 问题，在同一图中画出 i(t)和 s(t)随 t 变化的曲线。 对于不同的初始条件，在相平面中画出三条相轨线。2. 基于数学建模中的种群竞争模型，种群依存模型和食饵捕食模型，应用 ODE45 求解模型，在时间空间和相平面上画出种群变化的图像，分析稳定点的稳定性。第 2 节 编程计算 ODE 初值问题1。编一个用 Euler 方法解 atuTtf)(,00的程序，使之使用于任意右端函数 ，任意步长 和任意区间 。fh,0Tt用 分别计算初值问题16
2、/,84/h06.15)()4,(2ut在结点 打印出问题的精确解（真解为 。计)16,.0(4/i )16/()tteu算近近似解、绝对误差、相对误差、先 验误差界，分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）2.编一个与上题同样要求的改进 Euler 法的 计算程序， 的初值用1muEuler 方法提供，迭代步数 为输入参数。用它求解上题的问题，并将s两个绍果加以比较。3。编一个程序用 Taylor 级数法求解问题 1)0(,ut取 Taylor 级数法的截断 误差为 ，即要用 的值 2hO)(),.(20 tut提示：可用一个简单的递推公式来获得 31),(ntu4。用四阶古典 方法（或其他
3、精度不低于四阶的方法），对KutaRnge时的标准正态分布函数0x xdtexx0,2121)(02产生一张在 之间的 80 个等距结点（即 ）处的函数值表。5,0 6/h提示: 寻找一个以 为解的初值问题。)(x5。（一个“刚性”的微分方程）用四阶 方法解初值问题：KutaRnge0)( 30,1512ut取 。每隔 8 步打印出数值解与真解的值（ ），画出它/1h ttu2/)(们的大致图象，并对产生的结果作出解释。 提示:当初值 时，方)0(程的真解为 teutC206.分别用 Adams 二步和四步外插公式，用 求解。16/h1)0( 30,7482utt将计算结果与真解 进行比较，并
4、对所产生的现象进tett/28行理论分析。7。用 Adams 二步内插公式预测、Adams 四步外插公式校正一次的预-校算法重新求解上题的方程、将结果与上题 作比较并解释产生差异的原因。8。对（1.3）式所示的 Lotka-Volterra“弱肉强食模型，令， ，即5,03,12,4tkdlekr 5,30yxtyxt,)(,)(24（l）取 ，用任过一种精度不低于三阶的办法求解，要求结果至6/1h少有三位有效数字。作出 的图像及 关于 的图像。)(,tyxyx（2）对 解这同一个模型分别画出 关于 的函数图象。5.2,)0(y（3）讨论所获得的结果并分析原因。提示:注意 平面上的点（3，2）
5、、xy它被称为平衡点)第 3 节 常微分方程边值问题1.调用函数 bvp4c 求解 MATLAB 的的 5 个例子，分析把高阶方程变为等价的一阶方程组的方法，剖析程序，总结编程求解过程。2.取 和 ，计算以下两点边值问题 的差分解，并与精确64/1h128/解比较（1） ，精确解：5.0)1(,1,22uxdx xu1（2） ，精确解：3)(,)0(,sin2xexx精确解： 。uxcos（3） ，精确解：)(,0)0,cos22uxxdx xusin2并分析差分解与精确解的误差之所以会有些大有此小的原因。5 数值方法（英文版）习题和实验项目（ODE 数值解， 9.1.3 习题）16考虑一阶微
6、分方程 )t(qy)t(p 证明：一般解 可用两个特殊积分求出。首先定义 如下：)t(y )t(Fdt)(petF然后，定义 为)t( Cdt)(q)t(F1Y提示：对乘积 求导。)t(yF17考虑放射物的衰减。如果 是 t 时刻放射物的量， 则 将逐渐)(y)t(y减少。实验表明， 的变化率与未衰减物质的量成正比。于是放射物)t(衰减的初值问题为 0 y)(,ky(a)证 明其解 为 。kt0e)t(b)放射物质的半衰期是初始物质衰减一半所需的时间， 14C 的半衰期是 5730 年。请给出求 t 时刻 14C 的量的公式 。提示：求 k 使得)t(y.0y5)73(y(c)分析一 块木头后
7、知，其中的 14C 的量是树木活着时的 0.712，该木头样本的年代有多久?(d)在某个时刻，一种放射物质的量为 10mg，23 s 之后，该物质只剩1mgg。该物质的半衰期为多少 t在习题 18 和习题 19 中，推导初值问题的方程并求解。18一个新的职业足球联赛的年度售票量计划以正比于 t 时刻的销售量和上限 3 亿美元之差的速度增长。假设最初的年售票量为 0 美元，并且必须在 3 年后达到 4000 万美元(否则联赛取消) 。基于这些假设，年销售量需要多久能达到 2200 万美元?19一个新图书馆的内部容量为 5 百万立方英尺。通风系统以每分钟45 万立方英尺的速度引入新鲜空气。在通风系
8、统打开之前，图书馆内部的二氧化碳和外面新鲜空气中的二氧化碳量分别为 0. 4和 0 .5。求通风系统打开 2 小时之后图书馆中的二氧化碳百分比.9.2 欧拉方法7汪明当用欧拉方法求解 上的初值问题b,a0y)(tfy 时，结果为 ，它是逼近区间 上 的定积分的黎1Mkh)t(f)b(yb,a)t(f曼(Riemann)和。8说明欧拉方法不能求初值问题： 0)(y,5.1),t(fy3/ 的近似解 。证明你的结论，其中遇到了什么困难?2/3t)(y9能用欧拉方法求解0，3上的初值问题 0)(y,12 吗?提示：精确解为 。)tan(typ-7指数种群增 长。某一种群以正比于当前数量的速度增长，且
9、遵循O，5上的初值问题 50)(y,2.0 (a)应 用公式 (10)，求出 y(5)的欧拉逼近，步 长为 h=1，h=1/12 和h=1/360.(b)(a)中当 h 趋下 0 时的极限是什么?p-8.一名跳伞运动员自飞机上跳下，降落伞打开之前的空气阻力正比于 (v 为速度) 。设时间区间为O，6，向下方向的微分方程 为2/3v 0)(v,032.v/ 用欧拉方法和 h=0.05 估计中 v(6)的值。p-9流行病模型。流行病的数学模型描述如下：设有 L 个成员的构成的群落，其中有 P 个感染个体，Q 为未感染个体。令 )表示时刻 tt(y感染个体的数量。对于温和的疾病，如普通感冒，每个个体
10、保持存活，流行病从感染者传播到未感染者。由于两组问有 PQ 种可能的接触， 的变化率正比于 PQ。故该问题可以描述为初值问题：)t(y 0 y)(,L(ky(a)用 L=25000，t=0.00003，h=0.2 和初值条件， ，并用程序250)(9.1 计算0，60上的欧拉近似解。(b)画出(a)中的近似解。(c)通 过求 (a)中欧拉方法的纵坐标平均值来估计平均感染个体的数目。 (d)通过用曲线拟合(a)中的数据，并用定理 110(积分均值定理)，估计平均感染个体的数目。P-10 考虑一 阶积分-常微分方程 t02 d)(y1.y5.03.1y(a)在区 间 O，20上，用欧拉方法和 h=
11、0. 2，y(0)=250 以及梯形公式求方程的近似解。提示：欧拉方法的一般迭代公式为 )d(y.01y25.3.1(hykt0kkk1 如果梯形公式用于逼近积分，则该表达式为 )h(T.( k2kkk1其中 ，且 ，0)h(T)yh)T)h(11 9,.10(b)用初值 y(O)=200 和 y(O)=300 重复(a) 的 计算。(c)在同一坐标系中画出(a)和(b)的近似解：13捕食者-被捕食者模型。非线性微分方程的一个例子是捕食者 -被捕食者模型。设 x(t)和 y(t)分别表示兔子和狐狸在 时刻 t 的数量，捕食者-被捕食者模型表明， 和 满足)t(xty)t(Dyt)(CtBxA
12、一个典型的计算机模拟可使用系数A=2， B=0.02， C=0.0002D=0.8如果(a)x(O)=3000 只兔子，y(0)=120 只狐狸(b)x(0)=5000 只兔子，y(0)=100 只狐狸 在区间0，5上用 M=50 步和 h=0.2 求解。6 case Study ODE Problems1. The rate of change of the concentration of pollution in a lake is equal to the difference between the concentration of polluted water entering t
13、he lake and that leaving the lake. Assume that water containing a constant concentration of C kg / km3 of pollutants enters the lake at a rate of 150 km3 / year , and water leavesthe lake at the same rate. Also assume that the volume of the lake remains constant at 5000km3 .(a) Formulate a mathemati
14、cal model to represent the rate of change of concentration of pollution in the lake. Find a mathematical solution.(b) If the initial concentration of pollution is 40 kg / km3 , find the particular solution to the problem.(c) The fastest possible cleanup of the lake will occur if all pollution inflow
15、 ceases. This is represented by C = 0 . If all pollution into the lake was stopped immediately, how long would it take to reduce pollution to 50% of its current value?(d) Use the computer to graph your solution for the first 100 years after pollution stops. What happens to the concentration as time goes on?2. A projectile of mass 0.20kg is shot vertically upward with an initial velocity of 10 m/sec. It is then slowed down due to the forces exerted by gravity and air resistance.(a) If the force due to air resistanc
