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1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -专题补充：数列求通项公式和及求和一、 通项公式用于 1()naf型已知条件 先写出数列前几项 观察数列变化 规律猜测出通项后，用数学 归纳法证明（“退一步” 思想）即由已知推出相 邻 的递推式后将两式作差化简得出结论 构造等差等比数列等）公式法叠加法用于等差、等比数列相关公式递推方法猜想归纳法构造辅助数列叠乘法chengcheng 法观察法数列求通项的一般方法nS与 a的关系利用 12,nsa，易漏 n=1 哟！用于 1()nafg型已知条件 二、数列求和 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和把通项公式是分子为非
2、零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和倒序相加法裂项相消法错位相减法分组求和法主要是针对等差等比数列，直接应用求和公式公 式 法数列求和的一般方法（五种）若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子设数列 na的等比数列，数列 nb是等差数列，求数列 b的前 项和时，常常将 a的各项乘以 n的公比，并向后 错一项与 n的同次项对应相减，即可 转化为特殊数列求和补充：2222 33(1)2(1),264nnLL1高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -典
3、型 例 题 一 通 项类 型 1： 等 差 求 通 项 思 想 ： 叠 加 求 通 项 ， 用 于 型 ；11()()nnafaf例 1： （03 全国 19）已知数列| |满足 （I）求 （II ）n )2(3,11nn ;,32证明： 213na变式 1：（08 四川）设数列 中， ， ，则通项 = an121naan变式 2：(08 江西 5)在数列 中， ， ，则 （ ） 1l()A B C Dln2()l l类 型 2： 等 比 求 通 项 思 想 ： 叠 乘 求 通 项 ， 用 于 型 ； 11()()nnafaf例 2： 在 数 列 中 ， 则na11,(2),na?n变式 1：
4、设 是首项为 1 的正项数列，n则它的通项公式是1221() 0(1,2)nnnaaLn_变式 2：在数列 中，已知 求通项 ；a21,nnSna类 型 3： 已 知 求 通 项 ： 112,nsnna，nS例 3： （07 福建 21）数列 的前 项和为 ， ， （）求数nS1a*1()nSN列 的通项 ；（）求数列 的前 项和 nannT高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -变式 1：(09 全国 19）设数列 的前 n 项和为 ，已知 ， （）设anS1a142nSa，证明数列 是等比数列；（）求数列 的通项公式； 2nnbanb变式 2：( 07 重庆）已知各项
5、均为正数的数列 n的前 项和 n满足 1，61)nnSN （）求 a的通项公式；（）设数列 nb满足 (2)nba，并记 nT为nb的前 项和，求证： 231log(3)nnTaN， 变式 3：若 ，则2log()nS?n变式 4:正项数列 na满足： 是其前 项之和，且 ，求 ；1,nS121nnSanS、类 型 4： 构造等比或等差数列（递归数列）类型一：用于 1nakb型已知条件。 转化方法：设 nam1()nk，由 km-m=b 求出 m 的值，则数列 是以 为公比的等比数列；通过求出 间接求出通项 .nkbna类型二：用于 型已知条件。1nkp转化步骤：（1）等式两边同时除以 ： ；
6、（ 2）令 ，则n1nakpnabp；1nnkbp当 时， 是以 1 为公差的等差数列； 当 时，转化为类型一构造等比数列；nb1kp类型三：用于 型已知条件。1naklc转化步骤：设 ，由 求出：1()()nxyaxy(1),()kxnlkyxc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -，则 是以 为公比，2(),1lklcxy 2()1nlklcbak为首项的等比数列；通过求出 间接求出通项 .12()lak nbna例 4： （06 重庆）在数列 na中，若 11,23(1)na，则该数列的通项 n_变式 1：（08 四川 21）已知数列 的前 n 项和 ()求 ；(
7、)证明：数,nS34a、列 是一个等比数列.()求 的通项公式.2ana变式 2：(06 福建 22）已知数列 满足 , ,（I）证n1221,3,nn*()N明：数列 是等比数列；（II）求数列 的通项公式；1n例 5： （08 全国 19）在数列 中， ， 求数列 的前 项和na112nnananS变式 1：（08 四川 21）已知数列 的前 n 项和 ()求 ；(2)求a ,nS34a、的通项公式.an例 6： （08 全国 19）在数列 中， ， （）设 证明：na112nna 12nab数列 是等差数列；（）求数列 的前 项和 nbS变式 1：（08 天津 20）已知数列 中， ，
8、，且 ，na12a11()nnqa （）设 ，证明 是等比数列；（）求数列(20)nq ， 1()b*Nb的通项公式；a小 结 ： 先 证 明 新 数 列 为 等 差 或 等 比 再 求 通 项 问 题 ， 先 从 问 题 入 手 按 证 明 等 差 或 等 比 方 法 证 明 问题 ， 再 由 等 差 或 等 比 的 通 项 公 式 间 接 解 决 问 题 。类 型 5： 分式型递归数列 解决办法；1nnpaqr高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -解决步骤：（1）两边颠倒分子分母 ,得到： ；（2 ）令 1nba，则1nnrqap当 时, nb为等差数列；当 时,转
9、化为类型 4 中问题.1nnrqbp1r例 7： 数列 na中， 则*112,(),nnaN10?a变式 1：.(08 陕西 22)已知数列 的首项 ， ， （）求n13512nn12L， ，的通项公式；na类 型 6： 指 数 型 递 归 数 列 （ 两 边 取 对 数 ） 如 ： ：两边取对数得到：1()rnnap、 为 常 数，令 ，则 ，则 转化为类型 4；1lgllgnnparlgnblgb1lgnbpr例 ， 数 列 满足： ，求 的通项；12,514n类 型 8： 递 推 思 想 （ 升 标 或 降 标 法 ） ： 据 已 知 条 件 推 出 类 似 等 量 关 系 后 两 式
10、再 作 差 （ 用 于 知 与ns或 与相邻项之间的关系） ；na例 7： (04 全 国 卷 )若 数 列 na满足 1121,()nnaaL(2),则 na的通项na1,_2n.变式 1：数 列 满足 (2)n,则 na?*123(1)2(naaNL综合练习：1 （05 天津）在数列a n中,a 1=1,a2=2,且 )( )2 nn则 10S=_2 （ 07 江西）已知数列 a对于任意 *pqN， ，有 pqpa，若 9a，则36a_3 （ 04 全国 19）数列a n的前 n 项和记为 Sn，已知a1 1， an1 2Sn（n 1 ，2，3 ，） 证明()数列 nS是等比数列； ()S
11、n1 4a n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -4.(08 四川 20)设数列 的前项为 ，已知 nanS2(1)nnbaS（）证明：当 时， 是等比数列；（）求 的通项公式2b12 a5 （ 09 四川 22）设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，nanSn51nS记 .（I ）求数列 的通项公式；*4()1nnabNnb6. (07 福建）等差数列 na的前 项和为 13292nSaS， ， （）求 na的通项 na与前 项和 S；（）设 ()nbN，求证：数列 nb中任不同的三项不可能成为等比数列；7.(07 北京）数列 na中， 12， 1n
12、ac（ 是常数， 123L， ， ， ） ，且123a， ，成公比不为 的等比数列 （I）求 的值；（II）求 na的通项公式8.(07 山东）设 na是公比大于 1 的等比数列， nS为数列 n的前 项和已知 37S，且1234a， ，构成等差数列 （1）求数列 a的通项公式（2 ）令 1l2nnbL， ， ， ， 求数列 nb的前 项和 T9 （ 06 陕西) 已知正项数列a n，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列，求数列a n的通项 an .二 数 列 求 和例 1： 求下列数列的前 项和： n22 21010()lg,l,lg33nL高考资源网（） 您身边的高考专家
