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1、第一章有理数11天气预报中的数学法导引1自然数：表示物体的个数的数，如 0，1，2，3，叫做自然数2小数：仿照整数的写法，写在整数个位的右边，用圆点（小数点）隔开，用来表示十分之几、百分之几、的数，叫做小数，如 3.2，0.01，9.8，4对于自然数有最小的，没有最大的，最小的自然数是 0思维整合解析重点1负数的引入在生活、生产和科研活动中，常遇到数的表示和运算的问题，如零上 5和零下 10；高出海平面 1500米和低于海平面 100米，它们这类情况如何用数表示呢？在这里，它们都表示一对相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正的，把另一种意义相反的量规定为负的，这就产生了负数2数和负数的概念（
2、3）零：零既不是正数也不是负数由定义可知，一个正数和负数都是由两部分组成，一部分是性质符号“” 、 “” ，另一部分是数字，正数的“”通常省略，如2 通常写作 23相反意义的量的表示把一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“”表示，则另一个“意义”必定用“”表示“”读作“正”是正号；“”读作“负”是负号，都是性质符号， “”和“”的界用零“0”表示一般地，用正负表示的意义如下；（1）收入、前进、零上、上升、提高、增加、盈利、胜、高出、上、东、北、右都用“”表示（2）支出、后退、零下、下降、降低、减少、亏损、输、低于、下、西、南、左都用“”表示（3）不投入也不支出；不前进也不后退；不盈也不亏；
3、不增加也不减少；海平面的高度；水结冰的温度；某一个标准或基准；都用“0”表示剖析难点1正数、负数的判断：正负数的判断不能只看符号，要看数的本质，如0 不是负数0 也不是正数，0 和0 本质都是 0，既不是正数，也不是负数2相反意义的量的表示：用正、负数表示相反意义的量时，规定正、负的标准是相对的不是绝对的，不同的规定有不同的表示，如规定向东走 3米为3 米，那么向西走 5米就记作5 米，但要是规定向东走 3米为3 米，则向西走 5米就是5 米了3零的意义：零不是表示什么也没有，它表示具体的，现实的量，它是标准或基准，要根据实际问题来理解零的具体意义点击易错点【例 1】 （1）水面上升10 m
4、的含义是什么？（2）在 2004年，A、B、C、D 四个国家的军费开支比上年的变化情况是：A 国增长14%，B 国减少 1.5%，C 国与上年持平，D 国增加 21%，写出这四国的军费增长率是_，增长率最小的国家是_解析（1）正、负数是用来表示相反意义的量，上升10 m中的“”号表示相反意义，它表示与“上升”相反，实际上就是下降的意思；（2）若增长用正数表示，则减少就可用负数表示，所以 B国的军费开支增长率就是1.5%；C 国的军费开支不增不减，保持不变，用“0”表示它的增长率；增长率最小的是 B国解（1）水面上升10 m 的含义是水面下降 10 m（2）14%，1.5%，0，21%，B 国【
5、例 2】把下列各数分别填入相应的大括号里：正数集合： ；非负整数集合： ；整数集合： ；负分数集合： 解析首先明确各集合的意义，正数集合包括所有的正整数、正分数；非负整数集合包括所有的正整数和 0；整数集合包括所有的正整数、负整数和 0，负分数集合包括所有的负分数（包括负小数，因任意有限小数和无限循环小数都可转化为分数） 非负整数集合：72，0， ；整数集合：2，72，0， ；负分数集合：2.5，0.6，0.0101， 点拨（1）正数与整数的区别，正数是相对负数而言的，而整数是相对于分数而言的；（2）任意有限小数和无限循环小数都可转化为分数，因此2.5，3.14 等都是分数能力升级平台综合能力
6、升级本节知识正数和负数由表示相反意义的量而产生，所以我们应熟悉日常生活中常见的相反意义的量，并能用正数、负数表示它们及应用它们解决问题【例 3】若向东走 8米，记作8 米，一个人从 A地出发先走18 米，再走15 米，又走20 米，最后走12 米，你能判断此人这时在何处吗？解析因为规定向东走为正，所以走15 米，12 米，即为向西走 15米和 12米那么这个人最后应在 1815201211 米处，即在 A处以东 11米处解1815201211 即11故这个人最后在 A处以东 11米处【例 4】体育课上，体育教师对初三男生进行了引体向上测试，以能做 7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用
7、负数来表示，其中 8名男生成绩如下：2，1，0，3，2，3，1，0（1）这 8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少个引体向上？解析本题的关键是理解 0，1 和 2不是普通意义上的 0，1 和 2，而是相对于 7而言， “0”表示这名同学刚好完成 7个；“1”表示这名同学做的引体向上次数比标准 7少 1个，实际做了 6个；“2”则表示比标准多 2个，实际做了 9个（2）8 名同学共做个数为（72）（71）7（73）（72）（73）71）756（个） 应用能力升级正数和负数在实际生活中应用广泛，如零上温度和零下温度、水位、海拔高度、零件图上标注的长度等等，所以本节应用题解决问题较广泛，但
8、主要考查对正、负数表示相反意义的理解和应用【例 5】 课桌的高度比标准高 2毫米记作2 毫米，那么比标准高度低 3毫米记作什么？现在有 5张课桌，量得它们的尺寸比标准尺寸高1 毫米，1 毫米，0 毫米，3 毫米，1.5 毫米，若规定课桌的高度比标准高度最高不能超过 2毫米，最低不能少于 2毫米就算合格，问上述 5张课桌中有几张合格？解析用正、负数表示两种相反意义的量，把比标准高度高记为正，则比标准高度低应记为负；规定课桌的高度比标准高度最高不能超过 2毫米，最低不能少于 2毫米就算合格，也就是量得尺寸比标准尺寸高、低在2 毫米与2 毫米之间算合格，知1 毫米、1 毫米、0 毫米、1.5 毫米均
9、为合格解3 毫米，4 张点拨理解题目中1，1 等正负数和 0所表示的真正意义是解这类应用题的关键创新能力升级结合问题实际，灵活应用正数、负数的意义、综合所有学过的知识进行解答【例 6】上午 10时气温 5 ，晚上 10时气温比上午 10时低 2 ，凌晨 2时气温又比晚上 10时气温低 4 ，那么凌晨 2时的气温为多少度？凌晨 2时比上午 10时低几度？解析要求出凌晨 2时的气温必须求出与它有联系的时刻的温度，所以在此题中要先找出晚上 10时的气温是多少度，同时还要注意在凌晨 2时气温在零上还是零下，以便正确地表示它；凌晨 2时与上午 10时的气温差可借助温度计的示意图找出差距，可分别找出它们到
10、 0 的差再比较解因为上午 10时气温为 5 ，晚上 10时比上午低 2 ，所以晚上 10时的气温是 3 ，又因为到凌晨 2时气温又下降了 4 ，所以凌晨 2时气温是零下 1 ，即1 ；因为 5 到 0 的差是 5 ，1 到 0 的差是 1 ，所以凌晨 2时比上午 10时气温低 516 中考能力升级本节知识在中考中，为填空题、选择题，注重应用性和创新性的考查，多和现实生活联系起来重点考查正、负数的意义【例 7】 （2004 年，山东淄博）某项科学研究，以 45分钟为 1个时间单位，并记每天上午 10时为 0，10 时以前为负，10 时以后为正，例如，915 记为1，1045 记为 1等等依此类
11、推，上午 745 应记为（）A3B3C2.5D7.45解析本题关键是理解题中的规定，首先明确上午 745 在 10时以前，应为负数，然后再按时间单位求出这个数，因为从 745 到 1000 恰好是 135分钟，即 3个时间单位，故上午 745 应记为3解B点拨本题主要考查了正、负数的意义，具有一定的创新性，这里理解规定的标准是关键12数轴学法导引1相反意义的表示：把一对相反意义的量，其中一个规定用“”表示，则另一个用“”表示2正数：大于 0的数叫做正数3负数：小于 0的数或正数前加“”的数叫做负数4零：既不是正数也不是负数的数，一般表示一个标准或基准思维整合解析重点1数轴的概念画一条水平直线，
12、在直线上取一点表示 0（叫做原点） ，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到如图 121 所示的数轴简单定义为：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（如图 122 所示） 数轴的定义包含三层含义：第一层含义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；第二层含义是说数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层含义是说原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的点拨：定义中的“规定”二字，是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的通常，习惯取向右为正方向，为了方便起见，本书中数轴一律取向右为正2数轴的
13、画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线） ；（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下边标上“0” ） ；（3）确定正方向（一般规定向右为正） ，用箭头表示出来；（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为 1，2，3，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，点拨：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时可两个或更多个单位长度取一点，有时可隔一个单位长度的或几分之一取一点3用数轴表示数由画数轴可知，数轴上的点都能表示数，在正半轴上的点表示的数都是正数；在负半轴上的点表示的
14、数都是负数；原点表示 0在数轴的正半轴和负半轴上都有无数多个点，而每一个点都表示一个数，不同的点所表示的数不同；不同的数用不同的点来表示，任何一个有理数都能用数轴上的点表示而数轴上的点表示的数不一定是有理数，可能是无理数（八年级学到） 4相反数的概念（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点表示的数，叫做互为相反数，点拨：（1）在数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点两侧，并且到原点的距离相等；（2）相反数的代数定义：符号相反，绝对值相等的两个数互称相反数，0 的相反数是0；（3） “0的相反数是 0”是相反数定义的一部分，千万不能把它漏掉；（4）相反数是成对出现的，
15、不能单独存在，例如：3 和3 互为相反数，是说3 是3 的相反数，3 也是3 的相反数5相反数的表示如果 a表示一个有理数，那么 a的相反数是a，例如 a5 时，a（5） ，因为5 的相反数是 5，所以a（5）5；再如 a0 时，a0，而 0的相反数是0，所以a00点拨：（1）相反数的表示实质就是求一个数 a的相反数，只要在这个数前加上一个“”号就可以了；（2）这里的字母 a可以表示有理数，也可以表示任意一个式子，如 axy，则 a的相反数便是a（xy） ，这里注意 xy 是一个整式，故添加“”号前要先加括号6绝对值的概念（1）绝对值的几何定义：数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值（absolute value） ，记作“|a|” （2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0绝对值的代数定义用式子可表示为：点拨：（1）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，所以离原点越远，绝对值越大，离原点越近，绝对值越
