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1、第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛参考试题及详解“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次。今年是第二届。问 2000 年是第几届？ 【解法】“每隔一年举行一次”的意思是每 2 年举行一次。今年是 1988 年，到 2000 年还有2000-1988=12 年，因此还要举行 122=6 届。今年是第二届，所以 2000 年是 26=8 届答：2000 年举行第八届。【分析与讨论】这题目因为数字不大，直接数也能很快数出来：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000 年分别是第二、三、四、五、六、七、八届。一个充气的救生圈（如图 32）。虚线所示的大圆，半径是 33 厘
2、术。实线所示的小圆，半径是 9 厘米。有两只蚂蚁同时从 A 点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行。问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁？【解法】由于两只蚂蚁的速度相同，由距离速度=时间这个式子，我们知道大、小圆上的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈长的比。而圈长的比又等于半径的比，即：339。要问两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈，就是要找一个最小的时间，它是大、小圆上蚂蚁各自爬行一圈所斋时间的整数倍。由上面的讨论可见，如果我们适当地选取时间单位，可以使小圆上的蚂蚁爬一圈用 9 个单位的时间，而大圆上的蚂蚁爬一圈用 33 个单位的时间。这样一来，问题就化为求 9 和 33
3、的最小公倍数的问题了。不难算出 9 和 33 的最小公倍数是 99，所以答案为 999=11。答：小圆上的蚂蚁爬了 11 圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁。【分析与讨论】这个题目的关键是要看出问题实质是求最小公倍数的问题。注意观察，看到生活中的数学，这是华罗庚教授经常启发青少年们去做的。图 33 是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？【解法】这个题目的做法很多。由于时间所限，直接数是来不及的，而且容易出错。下图（图 34）给出一个较好的算法。把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如图 34。平行四边形中的棋孔数为 99=91，每个小三角形中有 10 个棋孔。所以棋孔的总数是 81104=
4、121 个答：共有 121 个棋孔。【分析与讨论】玩过跳棋的同学们，你们以前数过棋孔的数目吗？有兴趣的同学在课余时都可以数一数，看谁的方法最巧？有一个四位整数。在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是 2000.81。求这个四位数。【解法 1】由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前。如果小数点加在十位数之前，所得的数是原米四位数的百分之一，再加上原来的四位数，得数 2000.81 应该是原来四位数的 1.01 倍，原来的四位数是 2000.811.011981。类似地，如果小数点加在百位数之前，得数 2000.81 应是原来四位数的 1.001 倍，小数点加在千位数
5、之前，得数 2000.81 应是原来四位数的 1.0001 倍。但是（2000.811.001）和（2000.811.0001）都不是整数，所以只有 1981 是唯一可能的答案。答：这个四位数是 1981。【解法 2】注意到在原来的四位数中，一定会按顺序出现 8，1 两个数字。小数点不可能加在个位数之前；也不可能加在千位数之前，否则原四位数只能是 8100，在于 2000.81 了。无论小数点加在十位数还是百位数之前，所得的数都大于 1 而小于 100。这个数加上原来的四位数等于 2000.81，所以原来的四位数一定比 2000 小，但比 1900 大，这说明它的前两个数字必然是 1，9。由于
6、它还有 8，1 两个连续的数字，所以只能是 1981。【分析与讨论】解法 1 是用精确的计算，解法 2 靠的是“判断”。判断也需要技巧，而且是建立在对问题的细致分析上。这里需要指出，不能一看到得数 2000.81 中有二位小数就得出“小数点正好加在十位数之前”的结论。请同学们想想为什么？图 35 是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是 14 厘米，白色小正方形的边长是 6 厘米。问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？【解法】格子布的面积是图 36 面积的 9 倍，格子布白色部分的面积也是图 36 上白色面积的9 倍。这样，我们只需计算图 36 中白色部分所占面积的百分比就行了。这个计算很简
7、单：答：格子布中白色部分的面积是总面积的 58。【分析与讨论】这个题目的关键是看到格子布可以分割成 9 块如图 35 的正方形。这实质上是利用了格子布的“对称性”：格子布图案是由一块图案重复地整齐排列而成的。“对称”不仅是数学中的重要概念，而且是自然界构成的一条基本规律。因此，自古以来，在各个不同领域，如数学、物理学、化学、甚至美学等，都把“对称性”与“不对称性”作为重要的课题来研究。著名数学家 H魏尔曾专门写过一本名为对称的书（有中译本），内容非常丰富，思想极其深刻，很值得一读。图 37 是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字。问：这六个方框中的数字的连乘积等于多少？图 37【解法】两
8、数相减，习惯上先考虑个位数。但仔细看一下就会发现，两个二位数的个位是不确定的：这两个个位数同时加 1 或同时减 1，它们的差不变。这样一来，六个方框中的数字的连乘积就会不确定了，除非有一个方框的数字是 0，使得乘积总是 0。这就启发我们试着找方框中的 0。两个三位数的首位当然不是 0，因此减数的首位最少是 1，被减数的首位至多是 9。但因为差的首位是 8，所以只有一种可能，就是被减数首位是 9，减数的首位是 1。这样一来，第二位数上的减法就不能借位了。被减数的第二位至多是 9 而减数的第二位至少是 0，这两数的差是 9，所以也只有一种可能：被减数的第二位是 9，减数的第二位是 0。这样我们就确
9、定了六个方框中有一个方框里的数必是 0。答：六个方框中的数字的连乘积等于 0。【分析与讨论】这道题不需要完全确定这两个三位数，而且也不能完全确定，例如被减数与减数可以分别是（996，102），也可以是（994，100），（999，105），等等。有的同学会说：这个题目的答案是猜出来的。“猜”也是数学上的一种方法。数学上有许多著名的猜想对数学的发展产生了重要的影响。这里要着重说明二点：第一，数学上的“猜想”不是毫无根据的“胡思乱想”，而是指数学家对问题经过深入的分析或大量的例证检验后所设想的答案；是有一定道理的。象本题的解法中，我们经过分析发现，如果六个方框中没有 0，这个题目的答案就不是唯一的
10、了，所以猜想答案是 0。如果猜测答案是 100 就没有道理了。第二，“猜想”不等于答案，猜想要经过严格的证明才能成为答案。例如，著名的哥德巴赫猜想至今还未能得到证明，因此仍然被称为“猜想”。图 38 中正方形的边长是 2 米，四个圆的半径都是 1 米，圆心分别是正方形的四个顶点。问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？【解法】每个圆和正方形的公共部分是一个扇形，它的面积是圆的面积的四分之一。因此，整个图形的面积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积。而四块四分之三个圆的面积等于圆面积的三倍。因此，整个图形的面积等于正方形的面积加上圆面积的三倍，也就是2211313.42（平方米）。答
11、：这个正方形和四个圆盖住的面积约是 13.42 平方米。有七根竹竿排成一行。第一根竹竿长 1 米，其余每根的长都是前一根的一半。问：这七根竹竿的总长是几米？【解法】我们这样考虑：取一根 2 米长的竹竿，把它从中截成两半，各长 1 米。取其中一根作为第一根竹竿。将另外一根从中截成两半，取其中之一作为第二根竹竿。如此进行下去，到截下第七根竹竿时，所剩下的一段竹竿长为因此，七根竹竿的总长度是 2 米减去剩下一段的长，也【分析与讨论】中国古代就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这样一个算术问题。就是说，有一根一尺长的短棍，每天截去它的一半，永远也截不完。那么，每天剩下多少呢？第七天剩下多少呢？用上面的
12、解法计算七根竹竿的总长，时间是绰绰有余的。但如果先把每根竹竿都算出来再相加，需要通分，时间恐怕就来不及了。同学们不妨试一试。有三条线段 A、B、C，A 长 2.12 米，B 长 2.71 米，C 长 3.53 米，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形。问：第几个梯形的面积最大？【解法】首先注意，梯形的面积（上底下底）高2。但我们现在是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以 2，这样只须比较（上底下底）高的大小就行了。我们用乘法分配律：第一个梯形的面积的 2 倍是：（2.123.53）2.712.122.173.532.71第二个：（2.713.53）2.122.712.
13、123.532.12第三个：（2.122.71）3.532.123.532.713.53先比较第一个和第二个。两个式子右边的第一个加数，一个是 2.122.71，另一个是 2.712.12。由乘法交换律，这两个积相等。因此只须比较第二个加数的大小就行了。显然 3.532.71 比 3.532.12 大，因为 2.71 比 2.12 大。因此第一个梯形比第二个梯形的面积大。类似地，如果比较第一个和第三个，我们发现它们有边第二个加数相等，而第一个加数 2.122.712.123.53。因此第三个梯形比第一个梯形面积大。综上所述，第三个梯形面积最大。答：第三个梯形面积最大。【分析与讨论】做这个题目应
14、该充分利用所学过的乘法交换律、乘法分配律等知识，而不应该直接计算面积。很明显，直接计算三个梯形的面积要浪费很多时间。有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。中午 12 点整， 电子钟响铃又亮灯。问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？【解法】因为电子钟每到整点响铃，所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了。从中午 12 点起，每 9 分钟亮一次灯，要过多少个 9 分钟才到整点呢？由于 1 小时60 分钟，这个问题换句话说就是：9 分钟的多少倍是 6O 分钟的整数倍呢？这样一来问题的实质就清楚了：是求 9 分和 60最小公倍数。不难算出 9 和 60 的最小公倍数是 180。这就是说，从正午起
15、过 180 分钟，也就是 3 小时，电子钟会再次既响铃又亮灯。答：下一次既响铃又亮灯时是下午 3 点钟。【分析与讨论】这样的问题在生活中到处都会遇到。同学们能不能再举些例子呢？一副扑克牌有四种花色，每种花色有 13 张。从中任意抽牌。问：最少要抽多少张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？【解法】这里“保证”的意思就是无论怎样抽牌，都一定有 4 张牌为同一花色。我们先看抽 12 张牌是否能保证有 4 张同花的？虽然有时 12 张牌中可能有 4 张同花，甚至 4张以上同花，但也可能每种花色正好 3 张牌，因此不能保证一定有 4 张牌同花。那末，任意抽 13 张牌是否保证有 4 张同花呢？我们说可以。
16、证明如下：如果不行的话，那末每种花色最多只能有 3 张，因此四种花色的牌加起来最多只能有 12 张，与抽 13 张牌相矛盾。所以说抽 13 张牌就可以了。这种证明的方法称为反证法。答：至少要抽 13 张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。【分析与讨论】这个题目用的是所谓“抽屉原则”。比如说有 4 个抽屉，要在里面放 13 本书，那么至少有一个抽屉要放 4 本。这个原则也被称作“鸽子笼原则”或“重迭原则”。抽屉原则虽然简单，在数学上却有很多巧妙的应用。有兴趣的同学可以阅读常庚哲著的抽屉原则及其他这本书。有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐 9 人。问：这个班共有多少同学？【解法 1】假定先增加一条船，那么正好每条船坐 6 人。现在去掉两条船，就会余下 6212 名同学没有船坐。而现在正好每条船 9 人，也就是说，每条船增加 9-63 人，
