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1、第七章 动态电路中电压电流的约束关系当一个实际电路的几何尺寸远远小于工作信号的波长时，我们称它为集总参数电路。集总参数电路中的 电压电流受到两类约束，一类约束是拓扑约束，另一类是元件特性的 约束。描述电路中电压电流约束关系的数学方程称为电路方程。由独立电源和电阻元件构成的电阻电路，其 电路方程是一 组代数方程。由独立电源和电阻元件以及动态元件构成的动态电路，其电路方程是一组微分方程。本章首先回顾集总参数电路的基本定律和几种常用的电阻元件的电压电流关系。然后介绍两种储能元件 电容元件和电感元件。最后介绍电路微分方程的建立和开关电路中初始条件的确定。7-1 集总参数电路中电压电 流的约束关系一、基
2、尔霍夫定律基尔霍夫定律描述集总参数电路中各电流之间以及各电压之间的约束关系。基尔霍夫电流定律(KCL)：在任一时刻，流出集总参数电路中任一结点或封闭面的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式 为：基尔霍夫电压定律(KVL)：在任一时刻，集 总参数电路中任一回路或 闭合路径的全部支路电压的代数和等于零。其数学表达式为基尔霍夫定律给集总参数电路中的电压或电流施加了一种线性约束。它反映电路中各元件的连接关系，与元件的特性和参数无关。它适用于任何集总参数电路，也就是说它既适用于由独立 电源和电阻元件构成的 电阻电路，也适用于由独立电源和 电阻元件以及动态元件构成的 动态电路。二、电阻元件的电压电流关
3、系我们将实际电路抽象为电路模型来进行研究，集 总参数电 路的电路模型是由一些理想的电路元件连接而成。 现代电路理论规定了几种 电路元件来模拟各种实际的电路。这些 电路元件的不同特性对电路中的 电压电流也施加了一种约束关系。在电阻电路分析中定义了以下几种常用的电阻元件。1.线性电阻线性电阻的符号和特性曲线如图(a)和(b)所示。)17(01nkinku1)2()37( )(tRiu线性电阻的定义是在任一时刻，其 电压和电流由 ui 平面上通过原点的直线所确定的二端元件，称为线 性电阻元件。数学表达式 u=Ri 中的 R 称为电 阻，是表示 线性电阻特性的一个参数。2.独立电压源独立电压源的符号和
4、特性曲线如图(a)和(b)所示：独立电压源的定义是在任一时刻，其 电压 u(t)按照给定的规律 uS(t)变化，而与其中电流无关的二端元件，称为独立电压源，简称电压源。u S(t)为常数的电压源称为直流电压源。3. 独立电流源独立电流源符号和特性曲线如图(a)和(b)所示：独立电流源的定义是在任一时刻，其 电流 i(t)按照给定的规律 iS(t)变化，而与其中电压无关的二端元件，称为独立电流源，简称电流源。i S(t)为常数的电流源称为直流电流4.受控源和理想变压器受控源和理想变压器都是一种双口电阻元件，它 们的电压电 流关系由两个代数方程描述。受控源一条支路的电压或电流受到另外一条支路 电压
5、或电流的控制，有以下四种类 型。理想变压器惟一的参数是 n，称 为变比。受控源和理想 变压 器的元件符号和电压电流关系如下图所示：47()(tus)57()(tis )67(02121irugi)8(2121i970iui)1(221ni综上所述，无论是二端电阻元件或者是 电阻双口元件，它 们 的电压电流间存在一种代数约束关系。由电路元件特性确定的这种约束关系，称 为元件约束。由 KCL 和 KVL 确定的约束关系，称为拓扑约束。72 电容元件一、电容元件电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其 电荷与 电压之间的关系由 uq 平面上一条曲线所确定， 则称此二端元件为电 容元件。图 7
6、5a) 电 容元件的符号 (c) 线性时不变电容元件的符号b) 电容元件的特性曲线 (d) 线性时不变电容元件的特性曲线电容元件的符号和特性曲线如图 7-5(a)和(b) 所示。其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式 为式中的系数 C 为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法拉, 用F 表示。实际电路中使用的电容器类型很多， 电容的范围变化很大，大多数电容器的漏电很小，在工作电压 低的情况下，可以用一个 电容作 为它的电路模型。
7、当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并 联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还 需要增加一个电感来构成电 容器的电路模型,如图 76 所示。图 76 电容器的几种电路模型二、电容元件的电压电流关系对于线性时不变电容元件来说，在采用 电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式)17(uq此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同， 电容电流与此 时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激励的电路模型中，当各 电压电流均不随时间变 化的情况下，电容元件相当于一个开路 (i=0)。在已知电容电压 u(t)的条件下
8、，用式(712) 容易求出其电流 i(t)。例如已知 C=1mF 电容上的电压为 u(t)=10sin(5t)V，其波形如图 77(a)所示，与电压参考方向关联的电流为图 7-7例 7-1 已知 C=0.5mF 电容上的 电压波形如图 78(a)所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流 iC(t),并画出波形图。图 7-8解：根据图 78(a)波形的具体情况，按照时间分段来进行计算1.当 0t1s 时，u C(t)=2t，根据式 712 可以得到2.当 1st3s 时 ，uC(t)=4-2t，根据式 712 可以得到3.当 3st5s 时 ，uC(t)=-8+2t，根据式 712 可以得到4
9、.当 5st 时， uC(t)=12-2t，根据式 712 可以得到)127(d)()(tuCtqi A)5cos(0 1din )(6tttuCiA1=0d)2(15.0d)(66C i 4. 66i图78例7110d)2(105.d)( 66i5在已知电容电流 iC(t)的条件下，其电压 uC(t)为其中称为电容电压的初始值。从上式可以看出电容具有两个基本的性质(1)电容电压的记忆性。从式（713）可见，任意时刻 T 电容电压的数值 uC(T)，要由从-到时刻 T 之间的全部 电流 iC(t)来确定。也就是说，此时刻以前流 过电容的任何电流对时刻 T 的电压都有一定的贡献。这与电阻元件的电
10、压 或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆 元件。例 7-2 C=0.5mF 的电容电流波形如 图 7-9(b)所示， 试求电容电压uC(t)。图 7-9解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算1.当 t0时，i C(t)=0，根据式 7-13 可以得到2.当 0t0 时，W (t)不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于 电容电压确定了电容的储 能状态，称 电容电压为状态变量。从式(715) 也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变， 这 是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在 电流有界的情况下，是不可能造成电场能
11、量发生跃变和电容电压发生跃变的。73 电感元件一、 电感元件如果一个二端元件在任一时刻，其磁通 链与电流之间的关系由 i y 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件 为电感元件。 电感元件的符号和特性曲线如图 7-13(a)和(b) 所示。图 7-13(a) 电感元件的符号 (c) 线性时不变电感元件的符号(b) 电感元件的特性曲线 (d) 线性时不变电感的特性曲线其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电感元件称为线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线 性时不变电感元件的符号与特性曲 线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为式中的系数 L 为常量，与直
12、 线的斜率成正比，称 为电感，单位是亨利,用 H 表示。实际电路中使用的电感线圈类型很多， 电感的范围变化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个 mH(1mH=10-6H) ,低频滤波电路中使用扼流圈的电感可以大到几亨。 电感线圈可以用一个电 感或一个电感与电阻的串联作为它的电路模型。在工作 频率很高的情况下，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如 图 714 所示。图 714 电感器的几种电路模型二、电感的电压电流关系对于线性时不变电感元件来说，在采用 电压电流关联参考方向的情况下，可以得到)167(i)17(d)()tiLtu9此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，
13、与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同， 电感电压与此 时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激励的电路中，磁 场不随时间变化,各电压电流均不随 时间变化时，电感相当于一个短路 (u=0)。在已知电感电流 i(t)的条件下，用式(7 17)容易求出其电压 u(t)。例如 L=1mH 的电电感上，施加电流为 i(t)=10sin(5t)A 时，其关联参考方向的电压为电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关系，例如将电感电流增加一个常量 k，变为 i(t)=k+10sin5tA 时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元件在电压电流之间有确定关系的特性。例 7-5
14、 电路如图 715(a)所示，已知 L=5mH 电感上的电流波形如图715(b)所示，求 电感电压 u(t),并画出波形图。图 7-15解：根据图 715(b)波形的具体情况，按照时间分段来进行计算1.当 t0时，i(t)=0，根据式 717 可以得到2.当 0t3ms 时，i(t)=210 3t，根据式 717 可以得到3. 当 3mst4ms 时， i(t)=24103-6103t，根据式 717 可以得到4. 当 4mst 时，i(t)=0，根据式 717 可以得到根据以上计算结果，画出相应 的波形，如 图 715(c)所示。这说明电感电流为三角波形时，其电感电压为 矩形波形。V)5co
15、s015 din)(3titu0d)15)(6Lu 10mV=260=V13d)45)(36iLu)()(6tLu图 7 15 例7510在已知电感电压 uL(t)的条件下，其电流 iL(t)为其中称为电感电流的初始值。从上式可以看出电感具有两个基本的性质。(1)电感电流的记忆性。从式（718）可见，任意时刻 T 电感电流的数值 iL(T)，要由从- 到时刻 T 之间的全部 电压来确定。也就是说，此时刻以前在电感上的任何 电压对时刻 T 的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压 或电流仅取决于此时刻的 电流或电压完全不同，我们说电感是一种记忆 元件。例 7-6 电路如图 7-16(a)所示，已知 L=0.5mH 的电感电压 波形如(b)所示，试求电感电流。)187d1)0( L 0 ttti i11图 7-16解：根据图(b)波形，按照时间分段来进行积分运算1.当 t0 时，电感吸收功率；当 p0 时， 电感发出功率。电感在从初始时刻 t0 到任意时 刻 t 时间内得到的能量为若电感的初始储能为零，即 i(t0)=0,则任意时刻储存在电感中的能量为此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值 增大时， 电感储能增加；电感 电流的绝对值减小时， 电感储能减少。由于电感电流确定了电感的储能状态，称 电感电流为状态变 量。从
