第三章微分中值定与导数的应用

《第三章微分中值定与导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章微分中值定与导数的应用（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1第三章 微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理微分中值定理为基础 ,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.一、费马引理：设函数 在点 的某邻域 内有定义，并且在 处可导，如果对()fx00

2、()Ux0x任意的 ，有 （或 ） ，那么 。0U()f0()f()f证：不妨设 时， ，对于 ，有0x0()fx0xUx，故当 时， ；00()(fxf0)(f当 时， ，0)(fx由保号性，0000()()limxffxfxf，故 。 0()fx罗尔定理（Rolle）：如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续 （2）在开区间 内可()fx,ab(,)ab导， （3） ，则至少存在一点 ，使得 在该点的导数ab()fx等于零： =0()f证明：由于 在 上连续，故在 上 有最大值 和最小值 。x,ab()fxMm 时，则 时， ，故 ， ，Mmab()fxm0(,)xab2即 内任一点均可作为

3、 ，(,)ab()0f当 时，因为 ，故不妨设 （或设Mm()fab()fabM） ，则至少存在一点 ，使 ，因 在 内可导，()f()fx,ab所以 0 0()()()li lim)x xfxffxff f 因 ，故 ， ，所以 。fM)f0f(0注：1、证明一个数等于 0 往往证其 ，又 ，或证明其等于它的相反数2、称导数为 0 的点为函数的驻点（或稳定点，临界点） 。3、罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.例： ,1()0xf()fx1,(),0,1fx,在 不 连 续 0,在 不 可 导 ()f图：4、罗尔定理中 这个条件是相当特

4、殊的,它使罗尔定理的应用受到()fab限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.例 1：不求导数, 判断函数 的导数有几个零点及()1(2)3,fxx这些零点所在的范围.解：因为 ，所以 在 上满足罗尔定理()230ff,的三个条件，所以在 内至少存在一点 ，使 ，即 是 的1, 11()01()fx一个零点，又在 内至少存在一点 ，使 ，即 是 的一个零点，(2,3)22()f2(f又 为二次多项式，最多只能有两个零点，故 恰好有两个零点fx )x分别在区间 ， 内。1,(,)3

5、例 2：证明方程 有且仅有一个小于 1 的正实根.510,x证: 1) 存在性 .设 则 在 0 , 1 连续 , (),f()fx(0),()3.ff由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根0,02) 唯一性 .假设另有 为端点的区间满11(,),x1(),f使 ()fxQ在 以 01,足罗尔定理条件 至少存在一点0x在 之 间 .使但 矛4()5f,故假设不真!二、拉格朗日中值定理1）Lagrange 中值定理（或有限增量定理，微分中值定理） ：如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续， （2）在开区间 内可导。()fx,ab(,)ab则至少存在一点 ，使(,)ab()()ffa证明：

6、构造辅助函数 ()()()fxf xa则 在 上连续，在 内可导，且,ab,b()0b所以至少存在一点 ，使 ，即()()0，所以()fafb()()fafa显然 时，此公式也成立，此公式称为 Lagrange 公式。ba注 1：拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在,b内某点 处函数的局部变化率的关系.因此,拉格朗日中值定理是联结局(,)部与整体的纽带.2：直线 ，故(): ()fbaAByfax既为有向线段 值的函数。()MNxf直 线 M43：当 时，此定理即为罗尔定理，故罗尔定理是拉格朗日中()fab值定理的特殊情形。几何意义：若连续曲线 的弧 上除端点外处处具有不垂直

7、于 轴的()yfxABx切线，那么这弧上至少有一点 C，使曲线在 点处切线平行于弦 。ABLagrange 公式变形：设 ， ，则有在,ab,ab或 上就有,x(0)xx(0)（ ）)()ff1或记 ，则有 ，故也叫有限增量定理(xyfx注： 当 不是很小，而是有限时，)dfdy定理：如果函数 在区间 I 上的导数恒为零，则 （ ，C 为常(fx ()fxI数）证：对 ， ， （设 ） ，则由 Lagrange 公式有12I12222()(),()fxffxx由 ，有 ，所以 ，0 1)f(fCxI推论：连续函数 在区间 上有 ，则(,fxgI)(g()fxgC证：对 ，设 ，则 ，所以I)(

8、)Ffx0Ff，即()FxC(fxC例 3：证明 arcsinros(1),2xx证：设 ()c,fx,则 在 上由推论可知 arsirsxC5令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立.2C(1),2f1,例 4：证明当 时， 。xln()1xx证：设 ，则 在 上连续，在 内可导，所以至少有()ln)ff0,(0,)x一点 ，使 ，即 ，0,x()fxln1(f因 ，当 时， 。1()f,)x1f所以 。ln()x例 5：设 在 上连续，在 内二阶可导，连接点f,ab(,)ab的直线和曲线 交于点（ ） ， ，证明(,)(,)ayfx,()cfacb在 内至少存在一点 ，使 。

9、,b()0证明：因 在 上连续，在 内可导，又因为 ，所以至少()fx,ab,abc存在一点 ，使1c1()fcf至少存在一点 ，使2(,)2()fcb因为点 ， ， 在同一直线上，所以 。又(,)afbf(,)cf 12()ff因为 在 内可导，故在 内可导，且在 上连续，yx(, 12, 2,由 Rolle 定理，至少有一点 ，使 ，()()0xff1(,)ab二、柯西中值定理柯西中值定理：如果函数 及 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且()fxF,ab(,)ab在 内的每一点处均不为零，那么在 内至少有一点 ，使()Fx,ab(,)6成立。()()fbafF证明：构造辅助函数 ()(

10、) ()fbaxfaFxa则 在 上连续，在 内可导，且 ，那么由罗尔定理，,()0b至少存在一点 ，使 。(,)ab()0即 所以()()ffF ()()ffaFb设 为： ，其它与 Lagrange 辅助函数设法相同。AB()XxYfab注：1）Lagrange 定理是柯西中值定理 的情况()Fx2）：因 中 是同一个字母，若分子、分母分别使用 Lagrange 定理，则()fF为两个字母。 RoleLagrneCauchy推:f(a)=b:F(x)例 5：设函数 在0, 1上连续, 在(0, 1)内可导 . 试证明至少存在一点使(0,1).()2(1)0ff证: 问题转化为证 ()()2

11、ff2fx设 则 在 0, 1 上满足柯西中值定理条件2(),Fx(),fxF因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使 (1)0()2ff7即 ()2(1)0ff课堂练习：1、设 为满足 的实数, 试证明方123,naL121()032naaL程12coscos)naxx在 内至少存在一个实根.(0,)22、设 在 上连续, 在 内可导, 且 证明: ()fxab()ab()0fab存在 , 使 成立.()ff3、设函数 在 上连续, 在 内可导, 且 若存在()fxab()ab()0fab常数 使得 试证至少存在一点 使得,c()0fc,()f8罗尔（Rolle，16521719）简

12、介：罗尔是法国数学家。1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特，1719 年 11 月 8 日卒于巴黎。罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得。1682 年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员。1685 年进入法国科学院，担任低级职务，到 1690 年才获得科学院发给的固定薪水。此后他一直在科学院供职，1719 年因中风去世。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程

13、的研究。罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这一新生事物不存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员。1700 年，在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战。在这场论战中，罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误，并说：“微积分是巧妙的谬论的汇集” 。瓦里格农、索弗尔等人之间，展开了异常激烈的争论。约翰.贝努利还讽刺罗尔不懂微积分。由于罗尔对此问题表现得异常激动，致使科学院不得不屡次出面干预。直到 1706 年秋天，罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经放弃了自己的观点，并且充分认识到无穷小分析新方法价值。罗尔于 1

14、691 年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程 至少有一个根。一百多年后，0)(xf 0)x(f即 1846 年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813）简介：据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家 F.A.雷维里（R-evelli）指导下学几何学后，萌发了他的数学天才。17 岁开始专攻当时迅速发展的数学分析。他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766 年以前） 、柏林时期（17661786） 、巴黎

15、时期（17871813） 。拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过 500 篇。拉格朗日的学术生涯主要在 18 世纪后半期。当时数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学了主9流是力学；天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下：数学分析的开拓者1变分法 这是拉