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1、云 南 大 学数学分析习作课（3）读书报告题 目： 傅里叶变换的应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 信息与计算科学 姓名、学号： 朱凌霄 20141150059 任课教师： 黄辉 时 间： 2015 年 12 月 8 日 摘 要数学与应用数学（Mathematics and Applied Mathematics）是一个学科专业，该专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。数学是一门和实际生产生活结合很密切
2、的学科，正是人类生产力的不断发展促使了数学的发展。利用傅里叶级数以及傅里叶变换在日常生活工作领域中启到了重要的作用，如在物理学，信号处理，声学，光学，海洋学等领域应用广泛。因此，掌握傅里叶变换及其应用尤为重要。因此研究傅里叶变换及其应用更具有现实意义。此论文主要内容就是用傅里叶变换以及应用进行归纳。关键词：傅里叶 级数 傅里叶变换正文部分一、傅里叶变换的定义在（ - ，+ ）内绝对可积，则称 是 的傅里叶变换，记)(xfdxefiw)()(f作 或 .即Fwfdxffi)()(二、傅里叶变换的性质 内的连续函数；)1(），（是 -f20lim三、傅里叶变换的物理意义对于任何的周期函数 ，作周期
3、为 的函数 ：当 时，xfTxfT2，然后把它延拓为整个实轴上周期为 的函数，延拓后的函数记作xfT，则有xfTli将其展开为复数形式的傅里叶级数ecfixnnT21其中 dxifTnn2 即 eff xinxiTT nndx2-1则上式中令 ，所得的就是 的展开式，即xf =xf efxinxiTT nnd2-1lim记 ，则 ， 即 ，则上式可以变换为n210 efxinxiTnndxf2-0li现在，从上式的形式来考察,在 的条件下，将积分的是上极限和下极限变成， ，同时，离散的分布 也就密布在整个 上，变成连续和 xffT变 成 n的分布 ，因此上述积分在 时成为Tfdfex另一方面，
4、展开式中和式内的每一项都趋于零，而和式又是无限累加，因此可以把这一和式看成积分，即可以得到 xinTxinnedfxf201lim= ，efxi2其中 dxeffi即是 的傅里叶变换，并称ffxfxi21是 的傅里叶逆变换，又称fdexfxf ii是傅里叶积分公式，把它和傅里叶级数作比较，就会看出，一个非周期函数可以分解为许多简单谐波 的叠加积分，而傅里叶变换 表示在 中xie dxeffixf频率为 所占有的成分。i的 谐 波4、傅里叶变换的一些特殊的性质傅里叶变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和概率论中有很重要的应用。性质 1（线性） ，其中 和 是任意的 2 个常数。2121 f
5、FaffaF1a2性质 2（平移） 对任何 ，设 ，那么 ，这个xf sxfsfFefsis性质表明平移后的傅里叶变换等于平移前的傅里叶变换乘以 i性质 3（导数） 设 ，则 f0ffdxF性质 4 fdxiF证明xeffdi= diixfF性质 5（乘法） dixf性质 6（卷积） 设 是绝对可积函数，令gf,，则tgxfgFff5、傅里叶变的应用例 1 用傅里叶变换法解热传导方程定解问题：Rxutt,0,02解：作关于 的傅里叶变换，设 ，方程可变成xxdxetutUtui,ttd,2可解得tetU2,则txtxeTFeFt 442211, 从而方程的解为 dsexttxUt4221, 则
6、tFtxu,1detxfet txttx 404 2221,注：傅里叶变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法，但傅里叶变换要求原函数在 R 上绝对可积，并且在整个数轴上都有意义。傅里叶变换法求解问题的步骤：1、对方程的两边做傅里叶变换将偏微分方程变成常微分方程2、对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对应的定解条件3、求常微分方程和定解条件的解4、对解的变换式取相应的逆变换，再求解例 2、求衰减函数 的傅里叶变换0,xaexf或解： idxi10傅里叶积分的三角形式：defxf xii21 dxfixfxi sincos记 dGin因为其是奇函数，于是 dxfxfcs21例 3、 求函数
7、的富里埃变换和富里埃变换积分公式。,0,2hfx解： dxeffi= 220TTih= sinhf0傅里叶积分公式为deTxf xi2sin21例 4、设 在 内绝对可积，证明 内连续.f, ,在f证明： 对 ,AA使 得总 有由于 ，后者收敛且不含参变 ，这表明dxfdxefif 在 上一致收敛，根据一致收敛积分的连续性，得xi,连续，则其在 上连续.,Af在 R例 5、求下面函数的傅里叶变换: ;00,sinxExf 0,解 deffxi 0sin00dxeEi= 20 isin2 0由于 在 R 上连续，则f 00f6、傅里叶变换在实际生活中的应用举例傅里叶变换在信息传导的实质是将一个信
8、号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式，既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零，但有密度上的差别，所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零在幅度谱上，表现为无限大，但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说
9、，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。0总结傅里叶变换可以将复杂的问题简单化，巧妙地运用傅里叶变换即节省了时间又提高了效率，熟练地掌握傅里叶变换对数学的学习有重要的意义。【参考文献】1 陈传璋，欧阳光中. 数学分析，高等教育出版社，2007.12参考文献1 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005.2 论如何加强数学人才在求职中的优势，杨汉春，张 庆，高等理科教育，No.4（2003）：2226.
